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\hyphenation{tales vemos induce}

\Materia{Taller de Cálculo Avanzado}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2013}
\Titulo{Prefinal}

\begin{document}

\maketitleParcial
\thispagestyle{empty}

\vspace*{.05cm}

\begin{center}
\setlength{\extrarowheight}{5pt}
\begin{tabular}{*{7}{|m{4em}}|}
\hline
1&2&3&4&5&6& \\
&&&&&& \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace*{1cm}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item Si $f:\RR\to\RR$ es una función continua, entonces el conjunto
  \[
  \Gamma = \{(x,f(x))\in\RR^2:x\in\RR\}
  \]
es un subconjunto cerrado de~$\RR^2$.


%%%%%%%%%%
\item Escribamos $\floor{x}$ a la parte entera de $x$, y
sean $\alpha:x\in\RR\mapsto\floor{x}\in\RR$ y $\beta:x\in\RR\mapsto
x-\floor{x}\in\RR$. Muestre que las integrales
  \begin{align*}
  &\int_0^3 x^2\d\alpha,
  &
  &\int_0^3 x^2\d\beta
  \end{align*}
existen y calcule sus valores.

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(a_n)_{n\geq1}$ una sucesión de números reales positivos
tal que $\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+2}}{a_n}<1$.
\begin{ejitems}

\item Muestre que la serie $\sum_{n\geq1}a_{2n}$ converge.

\item ¿Converge la serie $\sum_{n\geq1}a_n$?

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Encuentre todos los $x\in\RR\setminus\{0\}$ tales que $1\leq x+\frac1x\leq 3$.

\item Sea $f:(-1,1)\to\RR$ una función con valores positivos. Si 
  \[
  \lim_{x\to0}\left(f(x)+\tfrac1{f(x)}\right) = 2,
  \]
entonces $f$ es acotada en un abierto que contiene a~$0$ y
$\lim_{x\to0}f(x)=1$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
Observemos primero que existen $\delta_0\in(0,1)$ y $K>0$ tales que
$f(x)<K$ si $\abs{x}<\delta_0$. En efecto, si este no fuera el caso
tendríamos una sucesión $(x_n)_{n\geq1}$ con valores en $(-1,1)$,
convergente y con límite $0$ tal que $f(x_n)\geq n$ para todo $n\in\NN$, y
esto es absurdo porque entonces
  \(
  \lim_{n\to\infty}(f(x_n)+f(x_n)^{-1}) = +\infty
  \),
contradiciendo la hipótesis.

Sea $\eps>0$. Por hipótesis, existe $\delta\in(0,\delta_0)$ tal que si $\abs{x}<\delta$
es $\abs{f(x)+f(x)^{-1}-2}<\eps^2/K$, y entonces, como $\delta<\delta_0$, para
cada $x\in(-\delta,\delta)$ tenemos que
  \[
  (f(x)-1)^2
    < \frac{\eps^2}{K} f(x)
    < \eps^2,
  \]
así que $\abs{f(x)-1} < \eps$. Concluimos de esta forma que
$\lim_{n\to0}f(x)=1$, como queríamos.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(a_n)_{n\geq0}$ una sucesión de números reales y sea $p\in\RR$. Si
$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-a_{n-1})=p$, entonces
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=p$.

%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que si $f:[0,+\infty)\to\RR$ es una función continua tal que el límite
$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ existe y es finito, entonces $f$ es uniformemente
continua.

\begin{Solucion}
Llamemos $L$ al límite considerado en el enunciado.
Sea $\eps>0$. Existe $M>0$ tal que 
  \begin{equation} \label{eq:aa1}
  x > M \implies \abs{f(x)-L}<\eps/2.
  \end{equation}
Por otro lado, como la restricción de~$f$ a~$[0,M+1]$ es continua y
ese intervalo es compacto, esa restricción es uniformemente continua, y
entonces existe $\delta\in(0,1)$ tal que 
  \begin{equation} \label{eq:aa2}
  x,y\in[0,M+1],\,\abs{x-y}<\delta \implies \abs{f(x)-f(y)} < \eps.
  \end{equation}
Sean ahora $x$,~$y\in[0,+\infty)$ tales que $\abs{x-y}<\delta$. 
Si $\max\{x,y\}\leq M+1$, entonces $x$,~$y\in[0,M+1]$ y \eqref{eq:aa2}~nos
dice que $\abs{f(x)-f(y)}<\eps$. Si, por el contrario, $\max\{x,y\}>M+1$,
entonces como $\delta<1$ tenemos que $x$,~$y>M$ y \eqref{eq:aa1} nos dice
que $\abs{f(x)-f(y)}\leq\abs{f(x)-L}+\abs{L-f(y)}<\eps$. Así, en cualquier
caso vemos que $\abs{f(x)-f(y)}<\eps$ y concluimos que $f$ es uniformemente
continua, como queríamos.~\qed
\end{Solucion}


\end{ejercicios}

\end{document}
