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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2012}
\Practica{8}
\Titulo{Geometría riemanniana}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\nabla$ una conexión afín sobre $M$ y sea $(U,x)$ una carta
de~$M$.
\begin{ejitems}

\item Hay una única matriz de 1-formas $\omega_{i}^{j}$ en
$U$, llamadas las \emph{formas de conexión} para esta carta, tal que
  \[
  \nabla _{X}\frac{\partial}{\partial x^{i}}
    = \omega_{i}^{j}(X)\frac{\partial}{\partial x^{j}}
  \]
para todo $X\in TM$.

\item Sean $\{\tau^1,\dots,\tau^n\}$ las \emph{$2$-formas de torsión},
definidas por la ecuación
  \[
  \tau (X,Y)=\tau ^{j}(X,Y)\frac{\partial }{\partial x^{j}}
  \]
en la que $\tau$~es el tensor de torsión de la conexión~$\nabla$.
Pruebe las «primeras ecuaciones de estructura de Cartan»,
  \[
  \d\varphi ^{j}=\varphi ^{i}\wedge \omega _{i}^{j}+\tau ^{j}.
  \]

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(M,g)$ una variedad riemanniana y sea  $\nabla$ una conexión
sobre $M$. La conexión~$\nabla$ es
compatible con~$g$ sii las $1$-formas de conexión $\omega _{i}^{j}$ del
ejercicio anterior asociadas a cada carta $(U,x)$ satisfacen
  \[
  g_{jk}\omega _{i}^{k}+g_{ik}\omega _{j}^{k}=\d g_{ij}.
  \]
En particular, la matriz  $\omega _{i}^{j}$ de $1$-formas de la conexión
Riemanniana con respecto a una carta cuyos campos $\frac{\partial
}{\partial x^{i}}$ son ortonormales es antisimétrica.

%%%%%%%%%%%%
\item Recordemos que un campo vectorial $V$ es \emph{paralelo} si $\nabla
V\equiv 0$, esto es, si $\nabla_XV=0$ para todo campo~$X$.
\begin{ejitems}

\item Si $p\in \RR^{n}$ y $V_{p}\in T_{p}\RR^{n}$, entonces $V_{p}$ tiene
una única extensión a un campo vectorial paralelo sobre $\RR^{n}$.

\item Sea $U$ un abierto de la esfera $S^{2}$ sobre el cual están
definidas las coordenadas esféricas $(\theta,\varphi)$ y sea
$V=\frac{\partial}{\partial \theta}$. Calcule $\nabla _{\frac{\partial
}{\partial \theta }}V$ y $\nabla _{\frac{\partial }{\partial \varphi }}V$ y
concluir que $V$ es paralelo \emph{a lo largo} del ecuador y de todos los
meridianos.

\item Sea $p=(0,\frac{\pi }{2})$ en coordenadas esféricas. Si $V$ es el
campo de la parte anterior, entonces $V_{p}$ no tiene extensión paralela a
ninguna vecindad de $p$.

\item Usando la primera y la tercera partes de este ejercicio, muestre que
ningún entorno de~$p$ es isométrico a un abierto de~$\RR^2$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Sean que $\widetilde{M}$ y $M$ variedades y sea
$p:\widetilde{M}\rightarrow M$ una submersión sobreyectiva. Para todo $y\in
M$ llamamos \emph{fibra de~$p$ sobre $y$}, y escribimos
$\widetilde{M}_{y}$, a $p^{-1}(y)\subset
\widetilde{M}$. Verifique, usando el teorema de la función implícita, que
las fibras de~$p$ son subvariedades emebidas y cerradas de~$\widetilde M$. 

Si $\widetilde{M}$ tiene una métrica Riemanniana $\widetilde{g}$, en cada
punto $x\in \widetilde{M}$ el espacio tangente $T\widetilde{M}_{x}$ se
descompone en una suma directa ortogonal 
  \[
  T\widetilde{M}_{x}=H_{x}\oplus V_{x}
  \]
con $V_{x}\colonequals\ker p_{\ast }$ el «espacio vertical» y
$H_{x}\colonequals V_{x}^{\perp }$ el «espacio horizontal.» Si $g$ es una métrica
Riemanniana sobre~$M$, decimos que $p$ es una submersión Riemanniana si
$\widetilde{g}(X,Y)=g(p_{\ast}X,p_{\ast }Y)$ para par de de vectores horizonatles
~$X$~e~$Y$.
\begin{ejitems}

\item Todo campo vectorial $W$ sobre $\widetilde{M}$ puede
ser escrito de forma única como $W=W^{H}+W^{V}$, con $W^{H}$ 
horizontal, $W^{V}$ vertical y ambos suaves.

\item Si $X$ es un campo vectorial sobre $M$, hay un único
campo suave horizontal $\widetilde{X}$ sobre $\widetilde{M}$,
llamado \emph{levantamiento horizontal} de $X$, que es $p$-relacionado a $X$,
esto es, tal que $p_{\ast }\widetilde{X}_{q}=X_{p(q)}$ para todo
$q\in\widetilde M$.

\item Sea $G$ un grupo de Lie actuando suavemente sobre $\widetilde{M}$ por
isometrías de $\widetilde{g}$ tal que $p\circ \varphi =p$ para todo
$\varphi\in G$, y supongamos que $G$ actúa transitivamente en cada fibra
$\widetilde{M}_{y}$. Pruebe que hay una única métrica Riemanniana $g$
sobre $M$ tal que $p$ es una submersión Riemanniana. 

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $p:(\widetilde{M},\widetilde{g})\rightarrow (M,g)$ una submersión
Riemanniana. Un campo vectorial sobre  $\widetilde{M}$ es \emph{horizontal} o
\emph{vertical} si sus valores están en el subespacio horizontal o vertical
en cada punto, respectivamente.
\begin{ejitems}

\item Si $X$, $Y$ son campos vectoriales sobre $M$, entonces
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]

\item $\langle\widetilde{X},\widetilde{Y}\rangle = p^{\ast }\langle X,Y\rangle$;

\item $[\widetilde{X},\widetilde{Y}]^{H} = \widetilde{[X,Y]}$;

\item $[\widetilde{X},W]$ es vertical si $W$ lo es.

\end{enumerate}

\item Sean $\widetilde{\nabla }$ y $\nabla $ las conexiones Riemannianas de
$\widetilde{g}$ y $g$. Si $X$ e $Y$ son campos sobre~$M$, entonces
  \[
  \widetilde{\nabla }_{\widetilde{X}}\widetilde{Y}=\widetilde{\nabla _{X}Y}+
  \frac{1}{2}[\widetilde{X},\widetilde{Y}]^{V}
  \]

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\nabla $ la conexión Riemanniana de una variedad $(M,g)$ y sean
$\omega _{i}^{j}$ las $1$-formas de conexión del ejercicio 1 con respecto a
una carta $(U,x)$. Hay una matriz de 2-formas $\Omega _{i}^{j}$, llamada
la \emph{matrix de curvatura},  tal que
  \[
  \Omega _{i}^{j}=\frac{1}{2}R_{kli}^{j}\d x^{k}\wedge\d x^{l}.
  \]
Pruebe que $\Omega _{i}^{j}$ satisface la «segunda ecuación estructural de Cartan»:
  \[
  \Omega _{i}^{j}=\d\omega _{i}^{j}-\omega _{i}^{k}\wedge \omega _{k}^{j}.
  \]

%%%%%%%%%%%%
\item \begin{ejitems}

\item Si $u\in C^{\infty }(M)$ y $X$,~$Y\in\X(M)$, entonces
  \[
  \nabla ^{2}u(X,Y)=Y(Xu)-(\nabla _{Y}X)u.
  \]

\item Si $\eta $ es una $1$-forma, escribamos
 \[
 \eta_{i;jk}dx^{i}\otimes dx^{j}\otimes dx^{k}
 \]
la expresión local de $\nabla^{2}\eta$. Pruebe la \emph{identidad de Ricci}:
  \[
  \eta _{i;jk}-\eta _{i;kj}=R_{jki}^{l}\eta _{l}.
  \]

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Una conexión lineal $\nabla$ sobre una variedad $M$ es 
\emph{plana} si $R(X,Y)Z\equiv 0$. Muestre que las siguientes afirmaciónes
son equivalentes:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]

\item La conexión~$\nabla $ es plana.

\item Alrededor de todo punto $p\in M$ hay una carta cuyos campos de vectores coodenados son paralelos.

\item Si $p$,~$q\in M$, la traslación paralela a lo largo de una
curva~$\gamma$ desde~$p$ a~$q$ depende sólo de la clase de hopotopía de
$\gamma$.

\item Todo punto tiene un entorno tal que la translación paralela a lo
largo de toda curva cerrada contenida en él es la identidad.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(M,g)$ una variedad Riemanniana orientada con elemento de
volumen $\d V$. El \emph{operador de divergencia} $\div:X(M)\rightarrow C^{\infty
}(M)$ está definido por 
  \[
  \d(\iota_{X}\d V)=(\div X)\d V
  \]
donde $\iota_{X}$ denota la multiplicación interior por $X$.
\begin{ejitems}

\item Si $M$ compacta, orientada y Riemannniana, entonces para cada
$X\in\X(M)$ vale que
 \[
 \int_{M}\div X\d V=\int_{\partial M}\langle X,N\rangle\d\widetilde{V},
 \]
con $N$ la normal unitaria exterior  a $\partial M$ y $\d\widetilde{V}$ el
elemento de volumen inducido por la métrica sobre $\partial M$.
 
\item Si $u\in C^\infty(M)$ y $X\in\X(M)$, entonces
  \[
  \div(uX)=u\div X+\langle\grad u,X\rangle,
  \]
con $\grad u$ el campo definido por $\langle\grad u,\place\rangle=du$.
Deduzca de esto la siguiente fórmula de «integración por partes»:
  \[
  \int_{M}\langle\grad u,X\rangle\d V
    = -\int_{M}u\div X\d V+\int_{\partial M}u\langle X,N\rangle\d\widetilde{V}.
  \]

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Si $f\in C^\infty(M)$ es una función diferenciable sobre una variedad Riemannniana orientable~$M$, definimos
  \[
  \Delta f=\div(\grad f).
  \]
\begin{ejitems}

\item En $\RR^ n$ con la métrica usual este operador es el
Laplaciano usual.

\item Si $M$ es una variedad Riemanniana orientada compacta sin borde,
muestre que si $f\in C^infty(M)$ es armónica, esto es, si $\Delta f=0$, entonces
   \[
   \int_M\norm{\grad f}^2dV=0.
   \]
Usando esto, concluya que sobre una variedad compacta las únicas funciones armónicas son las localmente constantes.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Si $G$ un grupo de Lie con una métrica bi-invariante $g$, entonces
  \[
  R(X,Y)Z=\frac{1}{4}[ Z,[ X,Y]] 
  \]
siempre que $X$,~$Y$ y~$Z$ son campos invariantes a izquierda sobre~$G$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Vectores de Killing}

Si $g$ es una forma bilineal sobre una variedad $M$, la derivada de Lie en la
dirección de un campo $K$ es
  \[
  (L_Kg)(X,Y)=K(g(X,Y))-g([K,X],Y)-g(X,[K,Y]).
  \]

%%%%%%%%%%%%
\item Esta expresión es $C^\infty(M)$-lineal en $X$ e $Y$, y por lo tanto
define un tensor $L_Kg:\X M\times \X M\to C^ \infty(M)$.

\item Si en coordenadas $g$ tiene la expresión $g=g_{ij}\d x^ i\otimes\d x^
j$, entonces
  \[
  L_Kg
        = K(g_{ij})\d x^ i\otimes \d x^ j 
          + g_{ij}\d K(x^ i)\otimes \d x^ j 
          + g_{ij}\d x^ i\otimes \d K(x^ j).
  \]

%%%%%%%%%%%%
\item Es $L_Kg=0$ si y sólo si el flujo asociado a $K$ es una isometría con
respecto a $g$.

%%%%%%%%%%%%
\item Si $\nabla$ es una conexión sin torsión compatible con $g$, entonces
$L_Kg=0$ si y solamente si para cada par de campos $X$ e $Y$ se tiene
  \[
  g(\nabla_XK,Y)+g(X,\nabla_YK)=0
  \]
Un tal campo vectorial se denomina un \emph{vector de Killing}.

%%%%%%%%%%%%
\item Si $K$ y $K'$ son dos vectores de Killing, entonces $[K,K']$ también
lo es.

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $K$ un vector de Killing, sea $f\in C^\infty(M)$ y supongamos que
$fK$ también es un vector de Killing. 
\begin{ejitems}

\item Si $K_p\neq0$, entonces $K_p(f)=0$.

\item Si $X_p\perp K_p$, entonces $_p(f)=0$.

\item Si $K$ es no nulo sobre un abierto denso de~$M$ y $M$ es conexa,
entonces $f$ es constante.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item \begin{ejitems}

\item Consideremos un abierto coordenadas en~$S^2$ con coordenadas
esféricas $\theta$ y $\phi$. ¿Es alguno de los campos $\partial_\theta$ o
$\partial_\phi$ un campo de Killing?

\item Adapte la pregunta anterior al toro embebido en~$\RR^3$ y respóndala.

\item Encuentre todos los vectores de Killing en $\RR^n$ para a métrica
usual.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad Riemanniana orientada, $K$ un vector de Killing
sobre $M$ y $\nu$ la forma de volumen determinada por la orientación y la
métrica. Pruebe que $L_K\Omega=0$ y concluya que $K$ tiene divergencia
cero. ¿Esto explica alguna parte del ejercicio anterior?

\end{ejercicios}

\end{document}
