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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2012}
\Practica{7}
\Titulo{Variedades Riemannnianas}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sea la métrica sobre $S^{2}\subseteq \RR^{3}$ inducida por
$\RR^{3}$ y sea $(U,x)$ la carta tal que $x^{-1}:(0,\pi )\times (0,2\pi
)\rightarrow S^{2}$ es
  \[
  x^{-1}(\theta,\alpha)=(\sin(\theta)\cos(\alpha),\sec(\theta)\cos(\alpha),\cos(\theta)).
  \]
Encuentre la expresi\'on local de la m\'etrica $g$ en la carta $(U,x)$ y
exprese el elemento de volumen correspondiente en la misma carta, esto es,
la $2$-forma $\omega$ tal que $\omega(p)(v_{1},v_{2})=\pm 1$ si
$\{v_{1},v_{2}\}$ es base ortonormal de $S_{p}^{2}$).

\item Sea $\RR_{+}^{2}:=\{(x,y):y>0\}$ metrizado con respecto
a la carta usual $(\RR_{+}^{2},\id)$ con la m\'{e}trica
$g=\frac{1}{y^{2}}dx\otimes dx+\frac{1}{y^{2}} dy\otimes dy$. Exprese la
conexi\'{o}n de Levi-Civita en la carta usual.

\item Calcule la conexi\'{o}n de Levi-Civita para la m\'{e}trica de
Lorentz en $\RR^{n+1}$ dada, con respecto a la carta usual, por $g_{ii}=1$
si $1\leq i\leq n$ y $g_{n+1,n+1}=-1$. Muestre que el teorema de Levi-civita
se puede extender a m\'{e}tricas pseudo-Riemannianas. 

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo que act\'{u}a sobre una variedad $M$ de manera
propiamente discontinua y sea $g$ una métrica sobre~$M$.
\begin{ejitems}

\item De una definicion razonable para el concepto de \emph{m\'{e}trica
$G$-invariante}.

\item Si $g$ es $G$-invariante, entonces la variedad $M/G$ hereda
una m\'{e}trica de $M$, esto es, tiene una m\'{e}trica con la que la
proyecci\'{o}n $M\rightarrow M/G$ es un morfismo de variedades de Riemann.

\item Si $G$ es finito, $\overline{g}=\frac{1}{\left|
G\right|}\sum\limits_{h\in G}h^*(g)$ es una métrica invariante invariante
sobre~$M$.

\item ¿Qu\'e sucede si en el punto anterior se tiene una
m\'{e}trica de tipo $(r,s)$?

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item El espacio proyectivo $\RR P^{n}$ hereda una m\'{e}trica de $S^{n}$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Escriba la ecuaci\'{o}n de las geod\'{e}sica en t\'{e}rminos de los
s\'{i}mbolos de Christoffel. Muestre que las geod\'{e}sicas en $\RR^{n}$ son
las rectas, y que las geod\'{e}sicas en el semiplano de Poincar\'{e} son o
bien rectas verticales, o bien semic\'{i}rculos con centro en el eje $x$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $(U,x)$ es una carta de una variedad $M$, entonces la asignaci\'{o}n
  \[
  (X,\sum\limits_{i}\alpha _{i}\frac{\partial}{\partial
  x_{i}})\mapsto\sum\limits_{i}X(\alpha _{i})\frac{\partial }{\partial x_{i}}
  \]
define una conexi\'{o}n sobre $U$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\nabla $ una conexi\'{o}n sobre una variedad $M$ y sea
$T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]$ su torsi\'{o}n. Muestre que $T$ es
$C^\infty(M)$-bilineal y que, por lo tanto, define un tensor de tipo $(1,2)$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Una combinaci\'{o}n lineal $\sum\limits_{i}\alpha _{i}\nabla _{i}$ de
conexiones con $\sum\limits_{i}\alpha _{i}=1$ es
una conexi\'{o}n.

\item La diferencia entre dos conexiones es un tensor.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $\nabla$ es una conexi\'{o}n con torsi\'{o}n $T$,
entonces $\nabla-\frac{1}{2}T$ es una conexi\'{o}n sim\'{e}trica. Encuentre
sus s\'{i}mbolos de Christoffel en funci\'{o}n de los de $\nabla$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una subvariedad de codimensi\'{o}n 1 de $\RR^{n\text{.}}$.
Sea $g$ la m\'{e}trica can\'{o}nica en $\RR^{n}$, sea $g_{M}$ la
m\'{e}trica pull-back de $g$ y sea $\nabla$ la conexi\'{o}n asociada a
$g_{M}$. Muestre que, si $X$,~$Y\in\X(M)$, el campo~$\nabla_XY$ coincide con la
proyecci\'{o}n ortogonal sobre $TM$ de la derivada de $i_{\ast}(Y)$ en la
direcci\'{o}n de $i_{\ast}(X)$, donde $i:M\rightarrow \RR^{n}$ es la
inclusi\'{o}n.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad de dimensi\'{o}n $n$ y sea $\nabla$
una conexi\'{o}n sobre~$M$. Si $c:I\rightarrow M$ es una curva diferenciable,
$t_{0}\in I$ y $v_{1},v_{2},\dots,v_{n}$ es una base de $M_{c(t_{0})}$,
sea $X_c^{\Vert}$ el conjunto de los campos paralelos a lo largo de~$c$ y 
sean $X_{1},\dots,X_{n}\in X_{c}^\Vert$ 
tales que $X_{i}(t_{0})=v_{i}$.

\begin{ejitems}

\item El conjunto $X_{c}^\Vert$ es un $\RR$-espacio vectorial de
manera natural.

\item Para todo $t\in I$, los vectores $X_{1}(t)$, \dots, $X_{n}(t)$ son
elementos linealmente independientes en $M_{c(t)}$.

\item Determine la dimensión de~$X_c^\Vert$.

\end{ejitems}

\end{ejercicios}

\end{document}
