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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2012}
\Practica{5}
\Titulo{Integrales}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Consideremos un diagrama conmutativo de la forma
  \[
  \xymatrix{
  0 \ar[r]
        & A \ar[r]^-{i} \ar[d]_-{\alpha}
        & B \ar[r]^-{j} \ar[d]_-{\beta}
        & C \ar[r] \ar[d]_-{\gamma}
        & 0
        \\
  0 \ar[r]
        & A' \ar[r]^-{i'}
        & B' \ar[r]^-{j'}
        & C' \ar[r]
        & 0
  }\]
con filas exactas. 
\begin{ejitems}

\item Muestre que $i(\ker\alpha)\subseteq\ker\beta$ y
$j(\ker\beta)\subseteq\ker\gamma$, que hay funciones bien definidas
$\tilde{i'}:A'/\alpha(A)\to B'/\beta(B)$ y $\tilde{j'}:B'/\beta(B)\to
C'/\gamma(C)$ tales que 
  \begin{align*}
  \tilde{i'}(a'+\alpha(A))=i'(a')+\beta(B), \\
  \tilde{j'}(b'+\beta(B))=j'(b')+\gamma(C),
  \end{align*}
y que hay sucesiones exactas
  \[
  \xymatrix{
  0 \ar[r]
    & \ker\alpha \ar[r]^-{i|_{\ker\alpha}}
    & \ker\beta \ar[r]^-{j|_{\ker\beta}}
    & \ker\gamma
    \\
  {}
    & A'/\alpha(A) \ar[r]^-{\tilde{i'}}
    & B'/\beta(B) \ar[r]^-{\tilde{j'}}
    & C'/\gamma(C) \ar[r]
    & 0
  }
  \]

\item Prueba el Lema de la Serpiente en detalle.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $C=\bigoplus_{n\in\ZZ}C_n$ es un espacio vectorial graduado de
dimensión total finita, la \emph{característica de Euler de~$C$} es 
  \[
  \chi(C) = \sum_{n\in\ZZ}(-1)^n\dim C_n.
  \]
\begin{ejitems}

\item Si $C$ es un complejo, de manera que para cada $n\in\ZZ$
tenemos una función linea $d_n:C_n\to C_{n+1}$ y es $d_{n+1}\circ d_n=0$
para todo~$n$, podemos construir otro espacio vectorial graduado
$H(C)=\bigoplus_{n\in\ZZ}H^n(C)$, con componentes homogéneas $H^n(C)=\ker
d_n/\im d_{n-1}$.
Muestre que $\chi(C)=\chi(H(C))$.

\item Si $C$ es exacto, entonces $\chi(C)=0$.

\item Si 
  \[
  \xymatrix{
  0 \ar[r]
    & C' \ar[r]
    & C \ar[r]
    & C'' \ar[r]
    & 0
  }\]
es una sucesión exacta corta de complejos de espacios vectoriales graduados
de dimensión total finita, entonces 
  \[
  \chi(C) = \chi(C') + \chi(C'').
  \]

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $M$ es una variedad tal que
$\dim\bigoplus_{n\in\ZZ}H^n(M)<\infty$, la \emph{característica de Euler
de~$M$} es 
  \[
  \chi(M) = \sum_{n\in\ZZ}(-1)^n\dim H^n(M).
  \]
\begin{ejitems}

\item Si $M=U\cup V$ con $U$ y $V$ dos abiertos de~$M$, entonces
  \[
  \chi(M) = \chi(U) + \chi(V) - \chi(U\cap V).
  \]

\item Determine la característica de Euler de las esferas, del cilindro
$S^1\times(0,1)$, de la banda de Moebius, de la botella de Klein, de
$\RR^n\setminus V$ con $V$ un subespacio lineal de~$\RR^n$.

\item Muestre que el toro tiene
característica nula, y que la característica de una esfera a la que se le
agregan $g$ manijas es $2-2g$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que, como variedades diferenciables,
$\GL(n,\RR)\cong\O(n,\RR)\times\RR^{n(n+1)/2}$ y
$\SL(n,\RR)\cong\SO(n,\RR)\times\RR^{n(n+1)/2-1}$.
Concluya que 
  \begin{align*}
  &H^\bullet(\GL(n,\RR))\cong H^\bullet(\O(n,\RR)\times\RR^{n(n+1)/2}), \\
  &H^\bullet(\SL(n,\RR))\cong H^\bullet(\SO(n,\RR)\times\RR^{n(n+1)/2-1}).
  \end{align*}
Calcule, en particular, $H^\bullet(\SL(2,\RR))$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad, $X\in\X(M)$ un campo tangente a~$M$ y
$\L_X:\Omega^\bullet(M)\to\Omega^\bullet(M)$ la derivada de Lie de formas.
Muestre que $d\circ\L_X=\L_X\circ d$, de manera que $\L_X$ induce un
endomorfismo bien definido en la cohomología de de Rham $H^\bullet(M)$.
Pruebe que, de hecho, ese endomorfismo es nulo.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo de Lie y sea $\exp:\g\to G$ la aplicación
exponencial. Decimos que una forma $\omega\in\Omega^k(G)$ es
\emph{invariante a izquierda} si para todo $g\in G$ es
$(L_g)_*(\omega)=\omega$. 
\begin{ejitems}

\item La imagen de~$\exp$ contiene un entorno abierto de~$e\in G$, y genera
un subgrupo abierto, cerrado y conexo de~$G$.

\item Sea $v\in T_eG$, sea $g=\exp(v)$, sea $X\in\X(G)$ el campo invariante
a izquierda tal que $X_e=v$ y sea $\phi:\RR\times G\to G$ el flujo
correspondiente a~$X$. Muestre que
  \[
  L_{\exp(tv)} = \phi_t
  \]
para cada $t\in\RR$ y, en particular, $L_g=\phi_1$. 

\item Si $g\in G$, la translación a izquierda $L_g:G\to G$ induce un
isomorfismo lineal $(L_g)_*:H^\bullet(M)\to H^\bullet(M)$. Si $g$ está en
la componente conexa de la identidad en~$G$, entonces este morfismo
$(L_g)_*$ es, de hecho, la identidad.

\end{ejitems}




\end{ejercicios}

\end{document}
