\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
\usepackage[nosolutions]{practicas}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\usepackage[all]{xy}
\usepackage{graphics}

\overfullrule5pt
\relpenalty=10000
\binoppenalty=10000
\hyphenation{siguiente}

\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\B{\mathscr{B}}
\newcommand\A{\mathscr{A}}
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter\norm{\lVert}{\rVert}
\DeclarePairedDelimiter\ip{\langle}{\rangle}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\let\O\relax
\DeclareMathOperator{\O}{O}
\DeclareMathOperator{\U}{U}
\newcommand\eps{\varepsilon}
\newcommand\ol{\overline}

\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2012}
\Practica{2}
\Titulo{Espacios tangentes}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad diferenciable de dimensión $n$ y $\A$ su atlas
maximal. Sea $TM=\bigcup_{p\in M}M_{p}$ y sea $\pi :TM\to M$
definida por $\pi (v)=p$ si $v\in M_{p}.$ Para cada $(U,x)\in \A$, sea
$TU=\bigcup_{p\in U}M_{p}\subset TM$ y $\ol{x}:TU\to
x(U)\times \RR^{n}$ la aplicación definida por 
  \[
  \ol{x}(v)=(x(\pi (v)),v(x^{1}),\dots ,v(x^{n}))
  \]
o, equivalentemente,
  \[
  \ol{x}
        \Bigl(\sum_{i=1}^{n}v(x^{i})\frac{\partial}{\partial x^{i}}\Big|_{p}\Bigr)
        = (x^{1}(p),\dots ,x^{n}(p),v(x^{1}),\dots ,v(x^{n}))
  \]
para cada $p\in U$ y $v\in M_{p}$. Escribiendo
$\ol{x}=(\ol{x}^{1},\dots ,\ol{x}^{n},\ol{x}^{n+1},\dots ,\ol{x}^{2n})$, será,
para cada $n\in\{1,\dots,n\}$,
  \begin{gather*}
  \ol{x}^{i}(v)=x^{i}(\pi (v))=x^{i}\circ \pi (v)
\shortintertext{y}
  \ol{x}^{n+i}(v)=v(x^{i}).
  \end{gather*}
\begin{ejitems}

\item La función $\ol{x}:TU\to x(U)\times \RR^{n}$ es una biyección
con inversa tal que
  \[
  \ol{x}^{-1}(a,b^{1},\dots,b^{n})
        = \sum_{i=1}^{n}b^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\Big|_{x^{-1}(a)}
  \]
para cada $a\in x(U).$

\item Si $(U,x)$,~$(V,y)\in \A$ y $U\cap V\neq\emptyset$, entonces $\ol{x}(TU\cap
TV)\times\RR^{n}$ es un abierto de $\RR^{2n}$ y 
la biyección $\ol{x}\circ \ol{y }^{-1}:y(U\cap V)\times\RR^{n}\to x(U\cap V)\times 
\RR^{n}$ está dada por
  \[
  \ol{x}\circ \ol{y}^{-1}(a,b)
        =\left( 
                x\circ y^{-1}(a),
                \sum_{i=1}^{n}b^{i}\frac{\partial (x^{1}\circ y^{-1})}{\partial u^{i}}\Big|_{a},
                \dots,
                \sum_{i=1}^{n}b^{i}\frac{\partial (x^{n}\circ y^{-1})}{\partial u^{i}}\Big|_{a}
         \right),
  \]
así que, en particular, es diferenciable.

\item Deduzca de esto que $TM$ admite una estructura diferenciable que lo transforma en
una variedad diferenciable de dimensión $2n$.

\item Con esta estructura diferenciable, la proyección $\pi :TM\to
M$ es diferenciable.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad diferenciable de dimensión $n$ y $f\in
C^\infty(M)$. Probar que la aplicación $df:TM\to \RR$ es
diferenciable.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad diferenciable de dimensión $n$ y $(U,x)$ una
carta de $M$. Sean $p\in U$ y $a=x(p)$. Entonces la aplicación $(x^{-1})_{\ast a}:
\RR_{a}^{n}\to M_{p}$ es tal que
  \[
  (x^{-1})_{\ast a}(D_{i}\big|_{a})=\frac{\partial }{\partial x^{i}}\Big|_{p}
  \]
para todo $1\leq i\leq n$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $M$ y $N$ variedades diferenciables y sea $f:M\to N$ una función
diferenciable.
\begin{ejitems}

\item Si $f$ es constante, entonces $f_{\ast p}=0$ para todo $p\in M$.

\item Si $M$ es conexa y $f_{\ast p}=0$ para todo $p\in M,$ entonces $f$ es
constante.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Calcule $f_{\ast p}$ para
\begin{ejitems}

\item $f=\pi_1:M\times N\to M$;

\item $f=\pi_2:M\times N\to M$;

\item $f:S^n\to S_{\rho }^{n}$ con $f(u)=\rho u$;

\item $f:E \to F$, una tranformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $f:\RR^{2}\to \RR^{2}$ y $g:\RR^{2}\to \RR^{3}$ las funciones definidas por
  \begin{gather*}
  f(x,y)=(x^{2}-2y,4x^{3}y^{2}), \\
  g(u,v)=(u^{2}v+v^{2},u-2v^{3},v\exp (u)).
  \end{gather*}
Encuentre la matriz de $f_{\ast
(1,2)}$ y de $g_{\ast (u,v)}$ y calcule $g_{\ast (0,1)}(4 \frac{\partial
}{\partial u}\big| _{(0,1)}-\frac{\partial }{\partial v}\big| _{(0,1)})$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad de dimensión $n$. Sean $\pi:TM\to M$ la
proyección natural y $v\in TM$. Calcular $\pi _{\ast v}(\frac{\partial 
}{\partial \ol{x}^{i}}\mid _{v})$ si $(TU,\ol{x})$ es la
carta de $TM$ asociada a la carta $(U,x)$ de $\pi (v)$.

\end{ejercicios}

\foto{Whitney}{Hassler Whitney\\1907--1989, Estados Unidos}{}

\end{document}
