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\newcommand\B{\mathscr{B}}
\newcommand\A{\mathscr{A}}
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter\norm{\lVert}{\rVert}
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\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2012}
\Practica{1}
\Titulo{Variedades}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión $n\geq1$ y sea
$\B=\{v_1,\dots,v_n\}$ una base de~$V$. Sea $\phi:\RR^n\to V$ la función
tal que $\phi(t_1,\dots,t_n)=\sum_{i=1}^nt_iv_i$.
\begin{ejitems}

\item Hay una única topología que hace que $\phi$ sea un homeomorfismo, y
esa topología no depende de la base~$\B$ elegida.

\item La estructura diferenciable determinada por el atlas
$\A=\{\phi^{-1}\}$ sobre~$V$ no depende de la base~$\B$ elegida.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Si $M$ es una variedad de dimensión~$m$ y $U\subseteq M$ es un
abierto no vacío, entonces $U$ tiene una estructura natural de variedad
diferenciable de dimensión~$m$. Con respecto a esta estructura, la
inclusión $U\hookrightarrow M$ es una función diferenciable.

\item Si $n\geq1$, el conjunto $\GL(n,\RR)\subset M_n(\RR)$ de las matrices
inversibles es una variedad diferenciable de dimensión $n^2$ de manera
natural. 

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que el conjunto de vectores normales unitarios a una curva
regular en~$\RR^3$ tiene una estructura natural de variedad diferenciable.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Construya explícitamente un atlas sobre los siguientes espacios
topológicos:
\begin{ejitems}

\item el cilindro $Z=\{(x,y,z)\in\RR^3:x^2+y^2=1\}$;

\item el toro $T^n=\underbrace{S^1\times\cdots\times S^1}_{\text{$n$ factores}}$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que los siguientes espacios son variedades diferenciales y
determine sus dimensiones.
\begin{ejitems}

\item $\GL(n,\CC)\subset M_n(\CC)$, el conjunto de las matrices complejas
$n\times n$ inversibles;

\item $\SL(n,\RR)\subset M_n(\RR)$, el conjunto de las matrices reales
$n\times n$ de determinante~$1$;

\item $\SL(n,\CC)\subset M_n(\CC)$, el conjunto de las matrices complejas
$n\times n$ de determinante~$1$;

\item $\O(n,\RR)\subseteq M_n(\RR)$, el conjunto de las matrices
reales $n\times n$ que son ortogonales;

\item $\U(n,\RR)\subseteq M_n(\CC)$, el conjunto de las matrices
complejas $n\times n$ que son unitarias;

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M=\RR$. 
\begin{ejitems}

\item Los conjuntos $\A=\{\id:M\to\RR\}$ y $\A'=\{\phi:t\in
M\mapsto t^3\in\RR\}$ son dos atlas sobre~$M$ que no son compatibles, de
manera que los atlas maximales que los contienen son distintos y determinan
variedades diferenciales $(M,\A)$ y $(M,\A')$ distintas.

\item Las variedades diferenciales $(M,\A)$ y $(M,\A')$ son difeomorfas.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $M$ y $N$ variedades de dimensiones~$m$ y~$n$, respectivamente.
\begin{ejitems}

\item El espacio producto $M\times N$ tiene una estructura natural de
variedad diferenciable de dimensión~$m+n$, y las proyecciones $p_1:M\times
N\to M$ y $p_2:M\times N\to N$ son funciones diferenciables.

\item Si $P$ es una variedad y $f:P\to M$ y $g:P\to N$ son funciones
diferenciables, existe exactamente una función diferenciable $h:P\to
M\times N$ tal que $p_1\circ h=f$ y $p_2\circ h=g$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $M$ es una variedad, las funciones $\id:M\to M$ y $\Delta:x\in
M\mapsto (x,x)\in M\times M$ son diferenciables.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Las funciones 
  \begin{gather*}
  \mu:(A,B)\in\GL(n,\RR)\times\GL(n,\RR)\mapsto AB\in\GL(n,\RR)
\shortintertext{e}
  \iota:A\in\GL(n,\RR)\mapsto A^{-1}\in\GL(n,\RR)
  \end{gather*}
son diferenciables. Como $(\GL(n,\RR),\mu,\iota)$ es un grupo, esto nos
dice que $\GL(n,\RR)$ es un \emph{grupo de Lie}.

\end{ejercicios}

%\foto{Newton}{Isaac Newton\\1643--1727, Inglaterra}{%
%}.
%}

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
