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\hyphenation{siguiente como Como abierto existe manera muestra
super-ficie super-ficies}

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\hyphenation{tales vemos induce}

\Materia{Geometría Diferencial}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2012}
\Titulo{Segundo Parcial}

\begin{document}

\maketitleParcial
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\fcolorbox{white}{blue!10}{%
\hskip1em%
\url{http://parcialgd.blogspot.com.ar/}%
\hskip1em%
}
\bigskip
\end{center}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ una variedad y, como siempre, sea $\Omega^k(M)$ el espacio de
las $k$-formas sobre~$M$ y $\d:\Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M)$ la
diferencial exterior.
\begin{ejitems}

\item Si $\Omega^k_c(M)\subseteq\Omega^k(M)$ es el subespacio de las formas
con soporte compacto, entonces
$\d(\Omega^k_c(M))\subseteq\Omega^{k+1}_c(M)$. Se sigue de esto que tenemos un
complejo
  \[
  \xymatrix@C-5pt{
  \Omega^0_c(M) \ar[r]^-\d
    & \Omega^1_c(M) \ar[r]^-\d
    & \cdots \ar[r]^-\d
    & \Omega^{n-1}_c(M) \ar[r]^-\d
    & \Omega^{n}_c(M)
  }\]
La cohomología de este complejo es por definición la \emph{cohomología
de de Rham de~$M$ con soporte compacto}, que escribimos $H^\bullet_c(M)$.

\item Calcule $H^\bullet_c(\RR)$ y $H^\bullet_c(\RR^2)$ «a mano.»

\item Si $U\subseteq M$ es un abierto e $\iota:U\to M$ es la inclusión, hay
exactamente una función $\iota_*:\Omega^\bullet_c(U) \to \Omega^\bullet_c(M)$ tal
que para cada forma $\omega\in\Omega^k_c(U)$ es 
$\iota_*(\omega)|_U = \omega$ y $\supp \iota_*(\omega)\subseteq U$.
Esta función~$\iota_*$ es compatible con los diferenciales
de~$\Omega^\bullet_c(U)$ y de~$\Omega^\bullet_c(M)$, en el sentido de que
para cada $\omega\in\Omega^k_c(U)$ es
$\d\,\iota_*(\omega) = \iota_*(\d\omega)$,
y entonces $\iota_*$ induce un homomorfismo $\iota_*:H^\bullet_c(U)\to
H^\bullet_c(M)$.

\item Si $\{U,V\}$ es un cubrimiento abierto de~$M$ y las funciones
las funciones del diagrama
  \[
  \xymatrix@-10pt{
    & U \ar[rd]^{\iota_1} \\
  U\cap V \ar[ru]^{\rho_1} \ar[rd]_-{\rho_2}
    &
    & M
    \\
    & V \ar[ru]_-{\iota_2}
  }\]
son inclusiones, entonces 
  \[
  \xymatrix@C+7.5pt{
  0 \ar[r]
    & \Omega^\bullet_c(U\cap V) 
        \ar[r]^-{\begin{psmallmatrix}\rho_{1*}\\\rho_{2*}\end{psmallmatrix}}
    & \Omega^\bullet_c(U)\oplus\Omega^\bullet_c(V)
        \ar[r]^-{\begin{psmallmatrix}\iota_{1*} & -\iota_{2*}\end{psmallmatrix}}
    & \Omega^\bullet_c(M) \ar[r]
    & 0
  }\]
es una sucesión exacta corta de complejos. Pasando a la cohomología,
obtenemos una sucesión exacta larga de Mayer-Vietoris para la cohomología
de de~Rham con soporte compacto:
  \[
  \xymatrix@C-7.5pt{
  \cdots \ar[r]
    & H^k_c(U\cap V) \ar[r]
    & H^k_c(U)\oplus H^k_c(V) \ar[r]
    & H^k_c(M) \ar[r]
    & H^{k+1}(U\cap V) \ar[r]
    & \cdots
  }\]
Es importante observar que en esta sucesión los espacios que aparecen
están en un orden distinto que en la sucesión usual de Mayer-Vietoris.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%
\item Decimos que una variedad $M$ de dimensión~$n$ es de \emph{tipo
finito} si posee un cubrimiento abierto finito $\mathcal U=\{U_i:1\leq
i\leq m\}$ tal que cada intersección de elementos de~$\mathcal U$ es o bien
vacía o bien difeomorfa a~$\RR^n$.

Muestre que la cohomología $H^\bullet(M)$ y la cohomología con soporte
compacto $H^\bullet_c(M)$ tienen dimensión total finita.

%%%%%%%%%%
\item Una variedad compacta conexa orientable y sin borde de dimensión
positiva no es contráctil.

%%%%%%%%%%
\item Sea $n\geq1$ y $\Sigma\subseteq\RR^n$ un conjunto finito. Calcule la
cohomología de de~Rham de $M=\RR^n\setminus\Sigma$ e, idealmente, explicite
formas que representen una base de $H^\bullet(M)$.

%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo de Lie de dimensión~$n$, sea $\g=T_eG$ su álgebra
de Lie y fijemos un producto interno $g_e:\g\times\g\to\RR$ sobre~$\g$
\begin{ejitems}

\item Hay una única métrica riemanniana $g$ sobre~$G$ que es
invariante a izquierda y cuyo valor en~$e\in G$ es $g_e$.

\item Si $\B=\{v_1,\dots,v_n\}$ es una base de~$\g$ y $X_1$,~\dots,~$X_n$
son los campos tangentes a~$G$ invariantes a izquierda que extienden a los
elementos de~$\B$. Para cada $i$,~$j$, es \emph{constante} la función
$g_{i,j}=g(X_i,X_j)$. Por otro lado, ya sabemos (porque el corchete de Lie
de campos invariantes a izquierda es él mismo invariante a izquierda)
que existen constantes $c_{i,j}^k$ tales que
  \[
  [X_i,X_j] = \sum_k c_{i,j}^k X_k.
  \]
Calcule los símbolos de Christoffel de la conexión de Levi-Cività de~$G$
con respecto a los campos $X_1$,~\dots,~$X_n$ en términos de los escalares
$c_{i,j}^k$ y $g_{i,j}$.

\item Supongamos que $G=\RR_{>0}\times\RR$ es el grupo de Lie con producto
dado por
  \[
  (a,b)\cdot(c,d) = (ac,ad+b)
  \]
para cada $(a,b)$,~$(c,d)\in G$, de manera que $G$ es isomorfo de la forma
evidente al grupo de matrices
  \[
  \left\{
    \begin{psmallmatrix} a & b \\ 0 & 1\end{psmallmatrix}
    : a > 0, b \in\RR
  \right\}.
 \]
El elemento neutro de~$G$ es $e=(1,0)$, y su álgebra de Lie~$\g=T_eG$ se
identifica de manera natural (porque $G$ es un abierto de~$\RR^2$) con
$\RR^2$. Dotemos a~$G$ de su única métrica invariante a izquierda que
en~$T_eG$ restringe al producto interno usual de~$\RR^2$. Encuentre todas
las geodésicas pasan por~$e$ que pueda.

Calcule (las componentes en una carta del) tensor de curvatura $R(X,Y)Z$
sobre~$G$ y la \emph{curvatura escalar}
  \[
  K(p) = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{1\leq i,j\leq n} g(R(z_i,z_j)z_i,z_j)
  \]
para cada $p\in G$, con $\{z_1,\dots,z_n\}$ una base ortonormal de~$T_pG$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{2} Recordemos que la conexión de Levi-Cività es tal que para cada
terna de campos $X$,~$Y$,~$Z\in\X(G)$ es
  \begin{multline} \raisetag{3em}\label{eq:2g}
  2g(\nabla_X Y,Z) \\
    = Xg(Y,Z) + Yg(Z,X) - Zg(X,Y)
      +g([X,Y],Z) - g([Y,Z],X) - g([X,Z],Y)
  \end{multline}
Si $X=X_i$, $Y=X_j$ y $Z=X_k$, entonces las funciones $g(Y,Z)$, $g(Z,X)$ y
$g(X,Y)$ son constantes sobre~$G$, porque tanto la métrica como sus
argumentos son invariantes a izquierda, así que los tres primeros sumandos
del miembro izquierdo de esta igualdad se anulan. Es
  \begin{gather*}
  g([X_i,X_j],X_k) = g(c_{i,j}^rX_r,X_k) = c_{i,j}^rg_{r,k}
\shortintertext{y} 
  g(\nabla_{X_i}X_j,X_k) = g(\Gamma\indices{^{}_{i,j}^r}X_r,X_k) 
        = \Gamma\indices{^{}_{i,j}^r}g_{r,k},
  \end{gather*}
así que podemos reescribir~\eqref{eq:2g} como
  \[
  2\Gamma\indices{^{}_{i,j}^r}g_{r,k}
    = c_{i,j}^rg_{r,k} - c_{j,k}^rg_{r,i} - c_{i,k}^rg_{r,j}.
  \]
Multiplicando por $g^{k,l}$, sumando con respecto al indice $k$ y
simplificando, vemos que
  \[
  2\Gamma\indices{^{}_{i,j}^l}
    = c_{i,j}^l - c_{j,k}^rg_{r,i}g^{k,l} - c_{i,k}^rg_{r,j}g^{k,l}.
  \]
Notemos que si los vectores $X_1$,~\dots,~$X_n$ son ortonormales, de manera
que $g_{i,j}=\delta_{i,j}$, esta expresión se simplifica a
  \begin{equation} \label{eq:gamma:O}
  2\Gamma\indices{^{}_{i,j}^l}
    = c_{i,j}^l - c_{j,l}^i - c_{i,l}^j.
  \end{equation}

\ejitem{3} La función $L_{(a,b)}:(c,d)\in G\mapsto (ac,ad+b)\in G$ tiene
diferencial 
  \[
  (L_{(a,b)})_{*(1,0)}:T_{(1,0)}G\to T_{(a,b)}G
  \]
tal que $
  (L_{(a,b)})_{*(1,0)}\bigl(\fder{x}\big|_{(1,0)}\bigr)
        = a \fder{x}\big|_{(a,b)}$ y $
  (L_{(a,b)})_{*(1,0)}\bigl(\fder{y}\big|_{(1,0)}\bigr)
        = a \fder{y}\big|_{(a,b)}
  $
así que los campos invariantes a izquierda que extienden a~$\fder{x}$ y
a~$\fder{y}$ son
  \begin{align*}
  &X_1 = x\fder{x},
  &
  &X_2 = x\fder{y}.
  \end{align*}
Calculando, vemos que $[X_1,X_2]=X_2$, y como el corchete de Lie es
antisimétrico, es
  \begin{align*}
  & c_{1,1}^1 = c_{1,1}^2 = c_{2,2}^1 = c_{2,2}^2 = c_{1,2}^1 = c_{2,1}^1 = 0, 
  && c_{1,2}^2 = 1, 
  && c_{2,1}^2 = -1.
  \end{align*}
Como los campos $X_1$ y $X_2$ son ortonormales, podemos usar la
expresión~\eqref{eq:gamma:O}
obtenida para los símbolos de Christoffel en la parte anterior para ese
caso especial, y vemos que de los ocho los únicos no nulos son
  \begin{align*}
  &\Gamma\indices{^{}_{2,1}^2} = -1,
  &&\Gamma\indices{^{}_{2,2}^1} = 1.
  \end{align*}

\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%
\item Calcule la cohomología de de Rham de la botella de Klein.

\end{ejercicios}

\end{document}
