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\hyphenation{siguiente como Como abierto existe manera muestra
super-ficie super-ficies}

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\hyphenation{tales vemos induce}

\Materia{Teoría de Álgebras}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2012}
\Titulo{Parcial}

\begin{document}

\maketitleParcial
\thispagestyle{empty}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%
\item Para las álgebras $\kk S_3$ y $\kk A_4$, con $\kk$ un cuerpo
algebraicamente cerrado de característica~$2$ o $3$: describa los
módulos proyectivos indescomponibles y decida si son básicas y, en caso
de no serlo, calcule el álgebra básica asociada. Construya el quiver
ordinario y dé una presentación admisible.

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\kk$ un cuerpo algebraicamente cerrado de característica nula.
Si $q\in\kk$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad, sea $A$ el cociente
del álgebra libre $\kk\lin{x,y}$ por el ideal generado por los elementos
  \[
  x^3 - 1, \qquad
  y^2, \qquad
  yx-qxy.
  \]
\begin{ejitems}

\item Muestre que el conjunto $\mathcal B=\{x^iy^j:0\leq i<3,0\leq j<2\}$
es una base de~$A$.

\item Muestre que hay exactamente $3$ módulos simples y que los tres tienen
dimensión~$1$.

\item Determine el radical de~$A$.

\item Encuentre el quiver ordinario de~$A$ y una presentación admisible.

\item* Describa todos los módulos indescomponibles de dimensión finita
para~$A$.

\item* Usando las mismas ideas, generalice los resultados obtenidos para el
álgebra $A(n,m,q)$, con $n$,~$m\geq2$ y $q\in\kk$ una raíz $n$-ésima
primitiva de la unidad, cociente del álgebra libre~$\kk\lin{x,y}$ por el
ideal generado por los elementos $x^n-1$, $y^m$, $yx-qxy$.

\end{ejitems}
\begin{Indicacion}
Una forma de verificar que el conjunto~$\mathcal B$ es linealmente independiente, es
mostrar que hay un morfismo de álgebras $\phi:A\to M_6(\kk)$ tal que
  \[
  \phi(x)=
        \left(
        \begin{BMAT}(rc,12pt,12pt){cc:cc:cc}{cc:cc:cc}
        1&&&&& \\
        & 1 &&&&\\
        && q &&&\\
        &&& q &&\\
        &&&& q^2 &\\
        &&&&& q^2
        \end{BMAT}
        \right),
  \qquad
  \phi(y) =
        \left(
        \begin{BMAT}(rc,12pt,12pt){cc:cc:cc}{cc:cc:cc}
        &&&&0&0\\
        &&&&1&0\\
        0&0&&&&\\
        1&0&&&&\\
        &&0&0&&\\
        &&1&0&&
        \end{BMAT}
        \right),
  \]
y observar que bajo ese morfismo la imagen de~$\mathcal B$ es linealmente
independiente.
Para las demás afirmaciónes, es útil la observación de que la subálgebra
$C\subseteq A$ generada por~$x$ es isomorfa al álgebra de grupo~$\kk C_3$
del grupo cíclico de orden~$3$.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo.
\begin{ejitems}

\item Un ideal izquierdo $I\subseteq A$  es un sumando directo
de~$A$ sii existe un idempotente $e\in A$ tal que $I=Ae$.

\item Si $I\subseteq A$ es un ideal izquierdo \emph{minimal} tal que
$I^2\neq0$, entonces $I$ es un sumando directo de~$A$.

\begin{Indicacion}
La hipótesis implica que existe $x\in I$ tal que $I=Ix$, y entonces que
existe $e\in I$ tal que $ex=x$. Si $e\neq e^2$, entonces $R(e-e^2)=I\ni e$
y de esto se deduce que $x=0$.

\end{Indicacion}

\end{ejitems}
Estas dos afirmaciones implican que \emph{un ideal izquierdo minimal
$I\subseteq A$ es un sumando directo de~$A$ sii $I^2\neq0$.}
\begin{ejitems}[resume]

\item Si $A$ es artiniano a izquierda, las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
\begin{tfae}

\item $A$ es semisimple.

\item $A$ no contiene ningún ideal izquierdo nilpotente no nulo.

\item $A$ no contiene ningún ideal izquierdo no nulo que sea \emph{nil}, 
esto es, tal que todos sus elementos son nilpotentes.

\item $A$ no contienen ningún ideal izquierdo no nulo con cuadrado nulo.

\item Si $x\in A$, entonces $xAx=0$ si y solamente si $x=0$.
\end{tfae}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $R$ un anillo conmutativo y $A$ una $R$-álgebra separable. Si
$I\subseteq A$ es un ideal, entonces $A/I$ es separable y que el centro
de~$\Z(A/I)$ es
  \[
  \Z(A/I) \cong \frac{\Z(A) + I}{I}.
  \]
De un ejemplo para mostrar que este último isomofismo puede ser falso si
$A$ no es separable.

%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\kk$ un cuerpo. El álgebra $M_n(\kk)$ contiene una subalgebra
isomorfa a~$M_m(k)$ sii $m\mid n$.



\end{ejercicios}

\end{document}
