\documentclass[a4paper,fleqn,11pt,oneside]{article}
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\def\KK{\mathbb{K}}
\def\NN{\mathbb{N}}
\def\CC{\mathbb{C}}
\def\RR{\mathbb{R}}
\def\ZZ{\mathbb{Z}}
\def\QQ{\mathbb{Q}}
\let\l\lambda
\let\a\alpha
\def\E{\mathcal E}
\def\B{\mathcal B}
\def\U{\mathcal U}
\def\Id{I\!d}
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\def\lin#1{{\langle #1 \rangle}}
\def\place{{\mathord{-}}}
\def\norm#1{{\lVert #1\rVert}}

\hyphenation{in-va-rian-te}

\Materia{Álgebra lineal}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2011}
\Practica{9}
\Titulo{Espacios vectoriales con producto interno}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial sobre $k\in\{\RR,\CC\}$, y sea
$\B=\{v_1,\dots,v_n\}$ una base de $V$.
\begin{ejitems}
\item Mostrar que existe exactamente un producto interno sobre $V$ que hace de
$\B$ una base ortonormal.
\item Determinar ese producto interno explícitamente en los siguientes casos:
\begin{ejitems}
\item $V=\RR^2$, $k=\RR$, $\B=\{(1,1),(-1,-2)\}$;
\item $V=\RR^3$, $k=\RR$, $\B=\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\}$;
\item $V=\CC^3$, $k=\CC$, $\B=\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\}$;
\item $V=\CC^4$, $k=\CC$, $\B=\{(1,0,0,i),(0,1,0,i),(i,i,i,0),(0,2,0,0)\}$;
\item $V=\RR[X]_3$, $k=\RR$, $\B=\{x^i\}_{i=0}^3$;
\item $V=\RR[X]_3$, $k=\RR$, $\B=\{(x-1)^i\}_{i=0}^3$.
\end{ejitems}
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determinar para que valores de $a,b,c\in\RR$ la forma bilineal
  \[
  \phi(x,y)=ax_1y_1+bx_1y_2+bx_2y_1+bx_2y_2+(1+b)x_3y_3+cx_1y_3
  \]
resulta un producto interno en $\RR^3$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Determinar condiciones sobre una matriz $B\in M_n(\RR)$ de manera que 
$\lin{x,y}=x^tBy$ resulte un producto interno sobre $\RR^n$. 
\item Sea $V$ un espacio vectorial con producto interno $\lin{\place,\place}_V$,
y sea $T:W\to V$ una transformación lineal. Definamos
  \[
  \lin{x,y}_W=\lin{Tx,Ty}_V, \qquad\forall x,y\in W.
  \]
Determinar condiciones necesarias y suficientes para que $\lin{\place,\place}_W$
resulte un producto interno.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Hallar los complementos ortogonales de los siguientes subespacios,
describiendo bases ortonormales de los mismos:
\begin{ejitems}
\item $V=\RR^3$, $S=\{(x_1,x_2,x_3)\in V:x_1-2x_2+x_3=0\}$, con respecto al
producto interno usual;
\item $V=\RR^3$, $S=\lin{(1,2,1)}$, con respecto al producto interno dado por
  \[
  \phi(x,y)=2x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3-x_1y_2-x_2y_1;
  \]
\item $V=\RR[X]_4$, $S=\lin{x^2,x^4+x^2+1}$, con respecto al producto interno
dado por
  \[
  \phi(p,q)=\int_0^1pq\,\mathrm dx;
  \]
\item $V=\lin{f_1,f_2,f_3}\subset C^\infty(\RR)$ con $f_1(x)=x$,
$f_2(x)=e^x$ y $f_3(x)=x^2$, $S=\lin{f_1+f_2}$, y 
  \[
  \phi(f,g)=f(0)g(0)+\tfrac12f(1)g(1)+f(\tfrac12)g(\tfrac12);
  \]
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V=M_n(\CC)$, y $\phi(A,B)=\tr AB^*$. Mostrar que $\phi$ es un
producto interno sobre $V$, y determinar el complemento ortogonal del subespacio
de las matrices diagonales.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Sea $w:[-1,1]\to\RR^+$ una función continua y positiva. Sea $n\in\NN$ y
$V=\RR[X]_n$, y definamos
  \[
  \phi(f,g)=\int_{-1}^1f(x)g(x)w(x)\,\mathrm dx.
  \]
Muestre que $\phi$ es un producto interno sobre $V$.
\item Realice el proceso de Gram-Schmidt a la base $\{1,X,X^2,X^3\}$ cuando
$n=3$ y $w(x)\equiv1$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $p$ la proyección ortogonal de $V=\RR^3$ sobre su subespacio
$S=\{(x_1,x_2,x_3)\in V:2x_1-x_2=0\}$ con respecto al producto interno usual.
\begin{ejitems}
\item Encontrar todas las rectas $L\subset V$ tales que $p(L)=\{(1,2,1)\}$.
\item Encontrar una recta $L_1\subset V$ tal que $p(L_1)=L_2$, si $L_2=\{x\in
V:2x_1-x_2=x_1-x_3=0\}$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V=\RR^3$ con producto interno determinado por la matriz
  \[
  \begin{pmatrix}
    1&1&0 \\
    1&2&1 \\
    0&1&2
  \end{pmatrix}
  \]
y sea $\phi\in V^*$ tal que $\phi(x)=2x_1-2x_2-3x_3$. Encontrar $v\in V$ tal que
$\phi=\lin{\place,v}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determinar $f^*$ si
\begin{ejitems}
\item $f:\RR^2\to\RR^2$, $f(x_1,x_2)=(3x_1+x_2,-x_1+x_3)$;
\item $f:\CC^3\to\CC^3$,
$f(x_1,x_2,x_3)=(2x_1+(1-i)x_2,x_2+(3+2i)x_3,x_1+ix_2+x_3)$;
\item $f:\RR^3\to\RR^3$ tal que si $\B=\{(1,2,-1),(1,0,0),(0,1,1)\}$, entonces
  \[
  [f]_{\B,\B} = \begin{pmatrix}
                        1&0&1\\
                        2&0&-1\\
                        0&1&0
                \end{pmatrix};
  \]
\item $f:\RR[X]_3\to\RR[X]_2$ tal que $f(p)=p'$, con respecto a los productos
internos dados por $\lin{p,q}=\int_{-1}^1p(x)q(x)\,\mathrm dx$;
\item $f:M_n(\CC)\to M_n(\CC)$ tal que $f(A)=PAP^{-1}$, para una matriz
inversible fija $P\in\GL_n(\CC)$ y el producto interno $\lin{A,B}=\tr AB^*$ en
$M_n(\CC)$.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Sea $f\in\End(\RR^3)$ tal que en la base canónica es
  \[
  [f]=\begin{pmatrix} -1 & -3 & -2 \\
                      4  & 6  & 2 \\
                      -3 & -3 & 0 
      \end{pmatrix}
  \]
Determinar un producto interno en $\RR^3$ para el que $f$ resulte autoadjunta.
\item ¿Es cierto que para todo endomorfismo $f\in\End(V)$ de un espacio vectorial
real de dimensión finita existe un producto interno $\lin{\place,\place}$ para
el cual $f^*=f$?
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión finita con un producto
interno, y $S\subset V$ un subespacio. Mostrar que la proyección ortogonal de
$V$ en $S$ es un endomorfismo autoadjunto de $V$. Determine sus autovalores.
¿Hay otros proyectores de $V$ con imagen $S$ que sean autoadjuntos?

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Encontrar $P\in\Ort_n(\RR)$ tal que $PAP^t$ sea diagonal, si 
\begin{multicols}{2}
  \begin{ejitems}
  \item $A=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$;
  \item $A=\begin{pmatrix}1&3\\3&-1\end{pmatrix}$;
  \item $A=\begin{pmatrix}5&0&-2\\0&7&-2\\-2&-2&6\end{pmatrix}$;
  \item $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\
                           1 & 1 & 1 & 0 \\
                           0 & 1 & 1 & 1 \\
                           0 & 0 & 1 & 1
                           \end{pmatrix}$.
  \end{ejitems}
\end{multicols}
\item Encontrar $U\in\Unit_n(\CC)$ tal que $PAP^*$ sea diagonal, si 
\begin{multicols}{2}
  \begin{ejitems}
  \item $A=\begin{pmatrix}
                4 & 1 & i & 0 \\
                1 & 3 & 2i & 1 \\
                -i & -2i & 3 & i \\
                0 & 1 & -i & 2
           \end{pmatrix}$;
  \item $A=\begin{pmatrix}
                2 & -1 & -i & 0 \\
                -1 & 2 & -i & 0 \\
                i & i & 2 & 0 \\
                0 & 0 & 0 & 3
           \end{pmatrix}$.

  \end{ejitems}
\end{multicols}
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V=M_n(\CC)$ con producto interno $\lin{A,B}=\tr AB^*$. Si $M\in
M_n(\CC)$, sea $t_M:A\in V\to MA\in V$. Mostrar que $t_M$ es un endomorfismo
unitario sii $M$ es unitaria.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Si $V$ es un espacio vectorial real con un producto interno, es
  \[
  \lin{x,y}=\frac14\norm{x+y}^2-\frac14\norm{x-y}^2,
  \]
cualesquiera sean $x,y\in V$.
\item Si $V$ es un espacio vectorial complejo con un producto interno, es
  \[
  \lin{x,y}=\frac14\norm{x+y}^2-\frac14\norm{x-y}^2+\frac i4\norm{x+iy}^2+\frac
  i4\norm{x-iy}^4,
  \]
cualesquiera sean $x,y\in V$.
\item Mostrar que la suma de dos productos internos es un producto interno.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial complejo de dimensión finita con un producto interno, y sea
$T\in\End(V)$ un endomorfismo autoadjunto. Mostrar:
\begin{ejitems}
\item $\norm{v+iTv}=\norm{v-iTv}$, cualquiera sea $v\in V$;
\item $v+iTv=w+iTw$ sii $v=w$;
\item $Id+iT$ e $Id-iT$ son inversibles;
\item $U=(Id+iT)(Id-iT)^{-1}\in\End(V)$ es unitario---$U$ se llama la
\emph{transformada de Cayley} de $T$;
\item el endomorfismo $U$ \emph{determina} a $T$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial complejo de dimensión finita con un producto
interno, y sea $T$ un operador normal, de manera que $TT^*=T^*T$.
\begin{ejitems}
\item $T=T_1+iT_2$ con $T_1,T_2\in\End(V)$ operadores autoadjuntos que conmutan.
\item Si $T$ es nilpontente, $T=0$.
\item Existe $f\in\CC[X]$ tal que $T^*=f(T)$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Una matriz real cuadrada simétrica $A$ posee una raíz cúbica simétrica.


\end{ejercicios}
\foto{Schwarz}{Hermann Amandus Schwarz \\ 1843 - 1921}{El trabajó con
aplicaciones conformes entre poliedros y esferas y en un problema
del cálculo de variaciones, a saber superficies de área mínima.}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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