\documentclass[a4paper,fleqn,11pt,oneside]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{practicas}

\def\KK{\mathbb{K}}
\def\NN{\mathbb{N}}
\def\CC{\mathbb{C}}
\def\RR{\mathbb{R}}
\def\ZZ{\mathbb{Z}}
\def\QQ{\mathbb{Q}}
\let\l\lambda
\let\a\alpha
\def\E{\mathcal E}
\def\B{\mathcal B}
\def\U{\mathcal U}
\def\Id{I\!d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\rank}{rk}
\def\lin#1{{\langle #1 \rangle}}

\hyphenation{in-va-rian-te}

\Materia{Álgebra lineal}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2011}
\Practica{8}
\Titulo{Forma normal de Jordan}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determinar la forma normal de Jordan y una base de Jordan para las
siguientes matrices:
\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}
\item $\begin{pmatrix}
       1 & 1 & -1 \\
       -3 & -3 & 3 \\
       -2 & -2 & 2
       \end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}
       3 & 0 & 8 \\
       3 & -1 & 6 \\
       -2 & 0 & -5
       \end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}
       -4 & 2 & 10 \\
       -4 & 3 & 7 \\
       -3 & 1 & 7 
       \end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}
        2 & -1 & 1 \\
        0 & 1 & 1 \\
        1 & -2 & 3
       \end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}
        3 & 1 & 0 & 0 \\
        -4 & -1 & 0 & 0 \\
        7 & 1 & 2 & 1 \\
        -17 & -6 & -1 & 0 
       \end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}
        1 & 2 & 3 & 4 \\
        0 & 1 & 2 & 3 \\
        0 & 0 & 1 & 2 \\
        0 & 0 & 0 & 1
       \end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}
        -1 & 0 & 0 & 0 \\
        5 & -3 & 2 & -3 \\
        5 & -2 & 1 & -3 \\
        0 & 0 & 0 & -1
       \end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}
        2 & -1 & -1 & 1 \\
        7 & -3 & -1 & 2 \\
        -1 & 0 & 2 & 0 \\
        -1 & 0 & -1 & -1
       \end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}
        0 & 1 & 0 & 0 \\
        0 & 0 & 1 & 0 \\
        0 & 0 & 0 & 1 \\
        1 & 0 & 0 & 0
       \end{pmatrix}$
\end{ejitems}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item ¿Cuántas clases de semejanza hay de matrices en $M_8(\CC)$ cuyo polinomio
minimal es $x^3$? ¿Y en $M_8(\RR)?$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item ¿Para qué valores de $n$ es cierto el siguiente enunciado?
  \begin{quote}
  Dos endomorfismos nilpotentes de $\CC^n$ con el mismo polinomio minimal y con
  el mismo rango son semejantes.
  \end{quote}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Hallar una base en la que se realice la forma normal de Jordan, y la forma
de Jordan, de la matriz $A\in M_n(\CC)$ con 
  \[
  a_{ij} = \begin{cases} 
             0 & \text{si $i\leq j$;} \\
             1 & \text{si $i > j$.}
           \end{cases}
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Decidir si existen endomorfismos tales que
  \begin{ejitems}
  \item $f\in\End(\CC^8)$, nilpotente, y
        \[(\rank f,\rank f^2,\rank f^3,\rank f^4,\rank f^5)=(6,4,3,1,0);\]
  \item $f\in\End(\CC^{16})$, $m_f=X^5$, y
        \[(\rank f,\rank f^2,\rank f^3,\rank f^4,\rank f^5)=(9,5,3,1,0).\]
        ¿Cuántas clases de semejanza hay?
  \end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f\in\End(\RR^3)$ el endomorfismo que en la base canónica tiene matriz
$\begin{pmatrix} 6 & -1 & -2 \\ -10 & 0
& 4 \\ 15 & -3 & -5 \end{pmatrix}$. Factorizar su polinomio
característico, y escribir a $1$ como combinación polinomial de los factores.
Determinar proyectores sobre los espacios $V^p=\{v\in \RR^3:\exists m :
p^m(f)(v)=0\}$ para cada uno de los factores del característico.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $k$ algebraicamente cerrado.
Si $\l\in k$, sea $V_\l=\{v\in V:\exists m : (f-\l)^m(v)=0\}$, y sea
$V_\l^n=\{v\in V:(f-\l)^n(v)=0\}$. Sea $h\in k[X]$.
\begin{ejitems}
\item $\ker h(f)$ y $\im h(f)$ son $f$-invariantes.
\item Si $\l\in k$ es raiz de $h$, entonces $V_\l^1\subset \ker h(f)$.
\item Si $\l\in k$ es raiz de $h$ de multiplicidad $n$, entonces 
$V_\l^n\subset \ker h(f)$.
\item Si $\l\in k$ no es raiz de $h$, entonces $V_\l^1\subset \im h(f)$, y, de
hecho, es $V_\l\subset \im h(f)$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determinar para que valores de $n\in\NN$ es cierto que
  \begin{quote}
  Dos matrices en $M_n(\CC)$ son semejantes sii tienen el mismo polinomio
  característico y minimal.
  \end{quote}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $J=J(\l,n)=\begin{pmatrix}
                        \l&0&\dots&0&0\\
                        1&\l&\dots&0&0\\
                        \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
                        0&0&&\dots&1&\l
                      \end{pmatrix}\in M_n(\RR)$ un bloque de Jordan.
\begin{ejitems}
\item Calcular $J^m$.
\item Calcular $f(J)$ si $f\in \RR[X]$.
\item Sea $\sum_{i\geq0}a_ix^i$ una serie de potencias de radio de
convergencia más grande que $|\l|$. Mostrar que $\sum_{i\geq0}a_iJ^i$ converge y
determinar su suma en término de las derivadas de la función suma de la serie
original.
\item Calcular $e^J$, $\sin J$, $\cos J$.
\item Calcular $e^A$, $\sin A$, $\cos A$ para algunas de las matrices del
ejercicio 1.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Sea $N\in M_3(\CC)$ nilpotente, y sea $A=1+\frac12N-\frac18N^2$. Mostrar
que $A$ es una raíz cuadrada de $1+N$.
\item Desarrollando la función $(1+x)^{1/2}$ en su serie de Taylor, muestre que
toda matriz de la forma $1+N$ con $N$ nilpotente admire raices cuadradas.
¿Cuántas?
\item Muestre que un endomorfismo $f\in\End(V)$ nilpotente de índice de
nilpotencia máximo no posee raices cuadradas.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $A$, $B\in M_n(\CC)$ conmutan, $e^{A+B}=e^Ae^B$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f\in\End(V)$ con $\dim V=6$ de polinomio minimal $X^6$, y supongamos
que
$\{v_1,\dots,v_6\}$ es base de Jordan para $f$. Encontrar la forma de Jordan
para $f^2$, $f^3$, $f^4$ y $f^5$, y bases que las realicen.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $x, y\in k^n$, y $A=(a_{ij})\in M_n(k)$ tal que $a_{ij}=x_iy_j$.
Mostrar que si $x\neq 0$ e $y\neq 0$ el rango de $A$ es $1$, determinar sus
autovalores, y mostrar que:
\[
 A \text{ es diagonalizable si y solo si } y x^t \neq 0
\]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $k$ un cuerpo algebraicamente cerrado, y $f\in\End(V)$ con $V$ un
espacio vectorial de dimensión finita. Si existe $m\in\NN$ tal que $f^m=\Id$,
$f$ es diagonalizable.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $J=J(\l,n)$ un bloque de Jordan de $n\times n$ con autovalor $\l\in
k$, y sea $C(J)=\{A\in M_n(k):AJ=JA\}$. Muestre que
  \[
  C(J)=\{p(J):p\in k[X]\}.
  \]

\end{ejercicios}
\foto{Jordan}{Marie Ennemond Camille Jordan \\ 1838 - 1922}{Jordan estaba muy
bien considerado por sus contemporáneos por su trabajo en álgebra, teoría de
grupos y teoría de Galois.}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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