        %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
\usepackage[nosolutions]{practicas}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\overfullrule5pt
\relpenalty=10000
\binoppenalty=10000
\hyphenation{siguiente}

\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\KK{\mathbb{K}}
\newcommand\B{\mathcal{B}}
\newcommand\U{\mathcal{U}}
\newcommand\E{\mathcal{E}}

\let\l\lambda
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\def\lin#1{{\langle #1 \rangle}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\Materia{Álgebra Lineal}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2011}
\Practica{4}
\Titulo{Espacio dual}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Hallar bases de $S^\circ$ en los siguientes casos:
\begin{ejitems}
\item $V=\RR^3$, $S=\lin{(1,-1,5),(1,5,0)}$;
\item $V=\RR^4$, $S=\lin{(1,-1,1-,1),(1,2,3,4)}$;
\item $V=\RR^3$, $S=\{(x_1,x_2,x_3):x_1+x_2+2x_3=0, x_1-3x_3=0\}$;
\item $V=\RR^5$, $S=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5):x_1+2x_2=0,x_3+x_4+x_5=0\}$;
\item $V=\RR[X]_4$, $S=\{1+X+X^2,2+X^3+2X^4,X^3\}$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $B=\begin{pmatrix}2&-2\\1&-1\end{pmatrix}$ y sea $W=\{A\in
M_2(k):AB=0\}$. Determinar $W^\circ$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determinar bases de $(S+T)^\circ$ y de $(S\cap T)^\circ$:
\begin{ejitems}
\item $V=\RR^4$, $S=\lin{(1,-1,2,1),(2,-1,3,1)}$,

$T=\lin{(3,-2,5,1),(0,1,1,1)}$;
\item $V=\RR^4$, $S=\lin{(1,2,1,2),(1,-2,1,-2)}$,

$T=\{(x,y,z,w)\in\RR^4:2x-y-2z+w=0, x+y+z=0\}$.
\item $V=\RR^3$, $S=\{(x,y,z)\in\RR^3:2x-y=0\}$,

$T=\{(x,y,z)\in\RR^3:x-2y+z=0,2y-2z=0\}$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $V$ es un espacio vectorial, y $S$, $T$ son subespacios de $V$ tales
que $V=S\oplus T$. Entonces $V^*=S^\circ\oplus T^\circ$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $k$ un cuerpo finito, y $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$
sobre $k$. Sea $0\leq l\leq n$. Mostrar que $V$ posee tantos subespacios de
dimensión $l$ como subespacios de dimensión $n-l$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $V$ y $W$ $K$-espacios vectoriales de
dimensi\'on finita y sea $f:V \rightarrow W$ una transformaci\' on
lineal.
\begin{ejitems}
 \item En el caso en que $V=\RR^2$, $W = \RR^3$ y $f(x_1,x_2) =
         (2.x_1 - x_2, 3x_1, x_1 - 2. x_2)$, consideremos las bases
 $B = \{ (1,2), (1,3) \}$ y $B_1 = \{ (1,1,1), (1,1,0),
(1,0,0)\}$ de $V$ y $W$ respectivamente. Calcular $|f|_{BB_1}$ y $|f^t|_{B_1^*B^*}$.
\item Si $B$ y $B_1$ son bases de $V$ y $W$ respectivamente, probar
que $$|f^t|_{B_1^*B^*}=(|f|_{BB_1})^t.$$
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:V\to V$ un endomorfismo de un espacio vectorial $V$ de dimensión
finita. Mostrar que $f$ posee núcleo no trivial sii $f^t$ posee nucleo no
trivial.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Dada la base $B$ del $K$-espacio vectorial $V$,
hallar su base dual en cada uno de los siguientes casos:
\begin{ejitems}
\item $V=\RR^2,\ B=\{(1,-1),(2,0)\}$
\item $V=\RR^3,\ B=\{ (1,-1,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$
\item $V= \RR_3[X],\ B=\{-X+2,\, X-1,\, X^2-3.X+2,\, X^3-3.X^2+2.X\}$
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $f_1$,  $f_2$ y $f_3 \in (\RR_2[X])^*$ las siguientes formas lineales:
\[
f_1(p)= \int_0^1p(x) \, dx \qquad f_2(p)= \int_0^2p(x) \, dx 
\qquad f_3(p)= \int_{-1}^0p(x) \, dx
\]
\begin{ejitems}
\item Probar que $\{f_1,f_2,f_3\}$ es una base de $(\RR_2[X])^*$.
\item Hallar una base $B$ de $\RR_2[X]$ tal que
$B^* = \{f_1,\, f_2 , \, f_3 \}$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $B$ y $B_1$ las bases de $\RR ^3$ definidas
por $B=\{(1,1,0), (1,0,1),(0,1,1)\}$ y $B_1 =
\{(1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1)\}$. Si $\varphi \in (\RR^3)^*$ tiene
coordenadas $(1,-3,2)$ respecto de $B^*$, calcular sus coordenadas
respecto de $B_1^*$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita, $S\subset V$ un
subconjunto. Consideremos el isomorfismo canónico $L:V\to V^{**}$,
 ¿Qué relación hay entre $L(S)$, $S^{\circ\circ}$ y $S$?

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto y $k^X$ el espacio vectorial de las funciones sobre
$X$ con valores en $k$. Sea $W\subset k^X$ un subespacio de dimensión $n$.
Mostrar que existen puntos $x_1,\dots,x_n\in X$ y funciones
$f_1,\dots,f_n\in W$ tales que $f_i(x_j)=\delta_{i,j}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$, y
$\phi_1,\dots,\phi_n\in V^*$. Mostrar que $\{\phi_1,\dots,\phi_n\}$ es una base
de $V^*$ sii
  \[
  \bigcap_{1\leq i\leq n}\ker \phi_i=0.
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial, y $f,g\in V^*$. Mostrar que si $k=\RR$ 
y $fg\in V^*$, entonces $f=0$ o $g=0$. Determinar una condición necesaria y
suficiente sobre $k$ para que el resultado anterior sea válido.
\section*{Repaso}
\item Determine la intersección y la suma de los siguientes pares de subespacios de $V$:
\begin{ejitems}
\item $V=\RR^5$,
$S_1=\{(x_i)_{i=1}^5\in\RR^5:x_1+2x_2-x_4=2x_1+x_3+3x_5=0\}$,\\
$S_2=\{(x_1)_{i=1}^5\in\RR^5:x_1-3x_5=-x_1-2x_2+x_4=x_1-2x_2+x_3+x_4+3x_5=0\}$.
\item $V=\RR^4$, 
$S_1=\{(x_i)_{i=1}^4\in\RR^4:x_1+x_2=2x_2+5x_3+2x_4=x_1+2x_3+2x_4=0\}$,\\
$S_2=\{(x_i)_{i=1}^4\in\RR^4:4x_1+3x_2+2x_3+2x_4=x_1+2x_2+x_3=0\}$.
\item $V=\RR^4$,
$S_1=\{(x_i)_{i=1}^4\in\RR^4:2x_1+5x_2+3x_3+5x_4=2x_1+3x_2+5x_4=0\}$,\\
$S_2=\lin{(-10,5,0,1),(1,2,3,4)}$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:k^5\to k^4$ la transformación lineal cuya matriz con respecto a las
bases canónicas es
  \[
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 
    -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & -1 & 1 & 1 \\
    -1 & 1 & 0 & -1 & 0 
  \end{pmatrix}
  \]
Determinar el anulador del núcleo de $f$, la imagen de $f^t$, y una
transformación lineal $g:k^4\to k^5$ tal que $f\circ g=I\!d$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Sea $V=M_n(k)$ el espacio vectorial de las matrices $n\times n$, y
$S\subset V$ el subespacio de las matrices simétricas. Determinar una base para
$S^\circ$.
\item Sea $V=M_n(\CC)$ el espacio vectorial sobre $\RR$ de las matrices $n\times
n$ con coeficientes complejos. Determinar una base para el anulador del subespacio
$H\subset M$ de las matrices hermitianas ($A$ es \textit{hermitiana} si
$A=\overline{A}^t$).
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $\B=\{v_1,v_2,v_3\}$, $\U=\{v_1+v_3,v_1+2v_2+v_3,v_2+v_3\}$ y
$\U'=\{w_1,w_2,w_3\}$ bases de $k^3$, y $\E$ su base canónica. Sea
$f\in\End(k^3)$ la transformación lineal tal que
  \[
  \lVert f\rVert_{\B\E}=\begin{pmatrix}1&-1&3\\2&1&1\\3&2&1\end{pmatrix},
  \lVert f\rVert_{\U\U'}=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}.
  \]
Determinar la base $\U'$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:k^3\to k$ tal que $f(x_1,x_2,x_3)=x_1-2x_2+x_3$, y $g:k^3\to k^3$
tal que su matrix con respecto a la base $\{(1,-1,2),(-3,5-1),(1,3,-3)\}$ es
  \[\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\]
Describa el anulador de $\ker f + \ker g$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial y $\B$ una base de $V$. Sea $\B^*$ la base
dual de $\B$ en $V^*$, y $\B^{**}$ la base dual de $\B^*$ en $V^{**}$. Determine
la matrix que representa al isomorfismo canónico $V\to V^{**}$ con respecto a
las bases $\B$, $\B^{**}$.

\end{ejercicios}

\foto{Riesz}{Frigyes Riesz \\ 1880 - 1956}{Riesz fue el fundador del análisis funcional y su trabajo tiene muchas aplicaciones importantes en física.}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% vim: set tw=80 expandtab comments=n\:% formatoptions=tcqr fileencoding=latin1:

