%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
\usepackage[nosolutions]{practicas}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\overfullrule5pt
\relpenalty=10000
\binoppenalty=10000
\hyphenation{siguiente}

\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\KK{\mathbb{K}}

\let\l\lambda
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\def\lin#1{\langle{#1}\rangle}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\def\B{\mathcal{B}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\Materia{Álgebra Lineal}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2011}
\Practica{3}
\Titulo{Transformaciones lineales. Cambios de base. Matrices}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

\subsection*{Transformaciones lineales}

%%%%%%%%%%%%%
\item
\begin{ejitems}
\item Encuentre un ejemplo de un espacio vectorial $V$ y una aplicación $f:V\to
V$ tal que sea $f(v+w)=f(v)+f(w)$ para todo par de vectores $v,w\in V$, pero que
no sea lineal.
\item Encuentre un ejemplo de un espacio vectorial $V$ y una aplicación $g:V\to
V$ tal que $g(\l v)=\l g(v)$ para todo $\l\in k$, $v\in V$ pero que no sea
lineal.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
\item Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales.
\begin{ejitems}
\item $\tr:M_n(k)\to k$.
\item $L_A:B\in M_{n,m}(k)\mapsto AB\in M_{p,m}(k)$, para cada $A\in M_{p,n}(k)$.
\item $\frac d{dx}:f\in C^\infty(\RR)\mapsto f'\in C^\infty(\RR)$ sobre $\RR$.
\item $\mathrm{ev}_a:p\in k[X]\mapsto p(a)\in k$, con $a\in k$.
\item $t:z\in\CC\mapsto \bar z\in\CC$ sobre $\RR$ y sobre $\CC$.
\item $\Im:z\in\CC\mapsto\Im z\in\CC$ sobre $\RR$ y sobre $\CC$. Nota: $\Im z$ es la parte imaginaria de $z$.
\item $I:f\in C_\RR([0,1])\mapsto\int_0^1f(x)\,\mathrm dx\in\RR$.
\item $L:C_\RR([0,1])\to C_\RR([0,1])$ con $Lf(x)=\int_0^xf(\xi)\,\mathrm d\xi$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $f:U\to V$ y $g:V\to W$ transformaciones lineales. Muestre que
\begin{ejitems}
\item $\ker f\subset\ker g\circ f$.
\item $\ker f=\ker g\circ f$ si $\im f\cap\ker g=0$.
\item $\im g\supset\im g\circ f$.
\item $\im g=\im g\circ f$ si $\im f=V$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $\alpha_i,\beta_i\in k$ para $i=0,\dots n$. Supongamos que 
$\alpha_i\neq\alpha_j$ si $i\neq j$. Muestre que existe
exactamente un polinomio $p\in\RR[X]$ de grado menor o igual a $n$ tal que $p(\alpha_i)=\beta_i$
si $0\leq i\leq n$. Para ello considere la aplicación
  \[
  p\in\RR[X]_n\mapsto\begin{pmatrix}p(\alpha_0)\\\vdots\\p(\alpha_n)\end{pmatrix}\in
  \RR^{n+1}.
  \]

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:V\to V$ un endomorfismo de un espacio vectorial $V$. Muestre que
\begin{ejitems}
\item $\dim \ker f\cap\im f = \dim \im f - \dim \im f^2$.
\item $\ker f\subset \im f$ sii $\dim \ker f = \dim \im f - \dim \im f^2$.
\item $\im f\subset\ker f$ sii $f^2=0$..
\item $\im f=\ker f$ sii $f^2=0$ y $\dim\im f=\dim\ker f$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$.
¿Qué sucesiones $(d_k)_{k\geq1}$ se pueden obtener a partir de un
endomorfismo $f:V\to V$ poniendo $d_k=\dim\ker f^k$?

%%%%%%%%%%%%%
\item Si $f,g:V\to V$ son endomorfismos, 
  \[
  \dim\im f\circ g\leq\min\{\dim\im f,\dim\im g\}.
  \]
¿Hay un enunciado similar para las dimensiones de los núcleos?

%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $f:U\to V$ y $g:V\to W$ transformaciones lineales.
\begin{ejitems}
\item Si $g\circ f$ es un monomorfismo, $f$ es un monomorfismo.
\item Si $g\circ f$ es un epimorfismo, $g$ es un epimorfismo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection*{Morfismos nilpotentes}

%%%%%%%%%%%%%
\item
\begin{ejitems}
\item Un endomorfismo $f:V\to V$ es nilpotente sii $f^n=0$ con $n=\dim V$.
\item Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$. Construya, para cada $1\leq
k< n$, endomorfismos $f_k:V\to V$ de manera que $f^k=0$ pero $f^{k-1}\neq0$.
\item Muestre que si $f, g:V\to V$ son endomorfismos nilpotentes son tales que
$f\circ g = g\circ f$, entonces $f+g$ y $f\circ g$ son
nilpotentes. ¿Es necesaria la hipótesis?
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial sobre $k$ de dimensión $n\geq1$, y sea
$f:V\to V$ un endomorfismo nilpotente de $V$ de índice de nilpotencia $n$, de
manera que es $f^n=0$ pero $f^{n-1}\neq0$. Muestre que existe una base $\mathcal
B=\{v_1,\dots,v_n\}$ de $V$ tal que $f(v_i)=v_{i+1}$ si $0\leq i<n$, y
$f(v_n)=0$.

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:V\to V$ un endomorfismo nilpotente de un espacio vectorial sobre
$\QQ$. 
\begin{ejitems}
\item Sea $t\in k$ y $\exp tf:V\to V$ el endomorfismo
  \[
  \exp tf = \sum_{k\geq0} \frac{t^kf^k}{k!}.
  \]
Observe que esta definición tiene sentido porque la suma es finita.
\begin{ejitems}
\item $\exp tf$ es un automofismo de $V$ y $(\exp tf)^{-1}=\exp (-t)f$.
\item $\exp (t+s)f=\exp tf \cdot \exp sf$.
\end{ejitems}
\item Sea $g=\sum_{k\geq0}f^k$. Muestre que $g$ y $1-f$ son automorfismos
inversos de $V$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{Cambios de base}

%%%%%%%%%%%%%
\item En cada caso, encontrar las coordenadas de $v$ en términos de la base $\B$
dada para cada uno de los siguientes espacios vectoriales.
\begin{ejitems}
\item $V=k^3$, $v=(1,2,3)$, $\B=\{(1,2,1),(1,-2,1),(0,3,0)\}$.
\item $V=k[X]_3$, $v=X^3-X^2+1$, $\B=\{(X-1)^i:i=0,\dots,3\}$.
\item $V=M_4(k)$, $v=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$, 
  $\B=\{
    \begin{pmatrix}1&0\\0&-1 \end{pmatrix},
    \begin{pmatrix}1&2\\3&4 \end{pmatrix},
    \begin{pmatrix}0&1\\1&2 \end{pmatrix},
    \begin{pmatrix}1&1\\1&2 \end{pmatrix}
    \}
  $.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Sean $A,B\in M_n(k)$ tales que $Av=Bv$ cualquiera sea $v\in k^n$. Mostrar
que $A=B$.
\item Sea $V$ un espacio vectorial sobre $k$ de dimensión finita, y sean $\B$,
$\B'$ y $\B''$ tres bases de $V$. Mostrar que
  \[
  C(\B,\B'')=C(\B',\B'')C(\B,\B').
  \]
\item Deducir del item anterior que $C(\B,\B')=C(\B',\B)^{-1}$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}$ y
$\B=\{v_1,v_2,v_3\}$ una base de $k^3$. Encontrar bases $\B'$ y $\B''$ tales que
sea $C(\B,\B')=C(\B'',\B)=M$.

%%%%%%%%%%%%%
\item Para cada una de las siguientes transformaciones lineales $f:V\to W$ y
pares de bases $\B$ y $\B'$ de $V$ y $W$, respectivamente, determine
$[f]_{\B,\B'}$.
\begin{ejitems}
\item $V=W=k^3$, $f(x_1,x_2,x_3)=(2x_3+3x_1,2x_1+x_2,x_3-x_2)$, $\B=\B'$ la
base canónica de $k^3$.
\item $V=W=k^3$, $f(x_1,x_2,x_3)=(2x_3+3x_1,2x_1+x_2,x_3-x_2)$, $\B$ la base
canónica y $\B'=\{(1,2,3),(2,3,4),(3,0,1)\}$.
base canónica de $k^3$.
\item $V=k[X]_n$, $f(p)=p'$, $\B=\B'=\{x^i:i=0,\dots,n\}$.
\item $V=k[X]_n$, $f(p)=p'$, $\B=\B'=\{(x-\l)^i:i=0,\dots,n\}$, con $l\in k$.
\item $V=k[X]_n$, $f(p)=\int_0^Xp(\xi)\,\mathrm d\xi$,
$\B=\B'=\{x^i:i=0,\dots,n\}$.
\item $V=M_3(k)$, $f(A)=A^t$, $\B=\B'$ la base canónica de $M_3(k)$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\B=\{v_i:i=1,\dots,3\}$ una base de $k^3$, $\B'\{w_i:i=1,\dots,4\}$
una base de $k^4$, y sea $f:k^3\to k^4$ la transformación lineal tal que
  \[
  [f]_{\B,\B'}=\begin{pmatrix}
                  1 & -2 & 1 \\
                  -1& 1 & 1 \\
                  2 & 1 & 4 \\
                  3 & -2 & 5
               \end{pmatrix}.
  \]
\begin{ejitems}
\item Determine $f(v_1+2v_2+3v_3)$ en término de sus coordenadas en la base
$\B'$.
\item Describa $\ker f$ y $\im f$.
\item Describa $f^{-1}(w_1-3w_3-w_4)$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
\item Recordemos que si $A=(a_{ij})\in M_n(k)$, la traza de $A$ es $\tr A=\sum_{1\leq
i\leq n}a_{ii}$. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $k$ y $f\in\End(V)$, y sean
$\B$ y $\B'$ bases de $V$. Mostrar que
  \[
  \tr [f]_{\B,\B}=\tr [f]_{\B',\B'}
  \]
de manera que tiene sentido definir la traza de $f$ como
  \[
  \tr f=\tr [f]_{\B,\B},
  \]
ya que esta definición no depende de $\B$.

%%%%%%%%%%%%%
\item\textbf{Bases adaptadas}
\begin{ejitems}
\item Sea $V$ un espacio vectorial sobre $k$ de dimensión $n$ finita, y sea
$f\in\End(V)$ un endomorfismo de $V$ tal que $f^n=0$ y $f^{n-1}\neq0$. Muestre
que existe una base $\B$ de $V$ tal que
  \[
  ([f]_{\B,\B})_{ij}=\begin{cases}
                        1 & \text{si $i=j+1$} \\
                        0 & \text{en otro caso}
                      \end{cases}
  \]
\item Sea $V$ un espacio vectorial sobre $k$ de dimensión $n$ finita, y sea
$p\in\End(V)$ un proyector. Muestre que existe una base $\B$ de $V$ y un entero
$d$ con $0\leq d\leq n$ tal que
  \[
  ([p]_{\B,\B})_{ij}=\begin{cases}
                        1 & \text{si $i=j\leq d$} \\
                        0 & \text{en otro caso}
                      \end{cases}
  \]
\item Sean $V$ y $W$ espacio vectorial sobre $k$ de dimensiones $n$ y $m$ finitas
respectivamente, y sea $f:V\to W$ una transformación lineal. Muestre que existe
una base $\B$ de $V$, una base $\B'$ de $W$, y un entero no negativo $s$ tal que 
  \[
  ([f]_{\B,\B'})_{ij}=\begin{cases}
                        1 & \text{si $i=j\leq s$} \\
                        0 & \text{en otro caso}
                      \end{cases}
  \]
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $A,B\in M_n(k)$. Muestre que las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
\begin{ejitems}
\item Existe $C\in GL_n(k)$ tal que $A=CBC^{-1}$.
\item Data una base $\B$ de $k^n$, existe una transformación lineal $f:k^n\to
k^n$ y una base $\B'$ tales que $[f]_\B=A$ y $[f]_{\B'}=B$.
\end{ejitems}
\end{ejercicios}
\vspace*{\stretch{1}}

\foto{Zorn}{Max August Zorn\\1906 - 1993}{Zorn es conocido por el ``lema de Zorn'' un enunciado equivalente al axioma de elección.}

\vspace*{\stretch{1}}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% vim: set tw=80 expandtab comments=n\:% formatoptions=tcqr fileencoding=latin1:

