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\overfullrule5pt
\relpenalty=10000
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\hyphenation{siguiente}

\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\KK{\mathbb{K}}

\let\l\lambda
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\def\span#1{\langle{#1}\rangle}
\def\lin#1{\langle{#1}\rangle}
\DeclareMathOperator{\im}{im}

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\Materia{Álgebra Lineal}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2011}
\Practica{2}
\Titulo{Dependencia lineal y bases}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Decidir si los siguientes conjuntos son linealmente independientes o no.
En caso no serlo, determine que elementos pueden eliminarse de manera que
el conjunto residual sea linealmente independiente y genere el mismo subespacio
que el conjunto original. Finalmente, complete cada conjunto a una base
del espacio ambiente.
\begin{ejitems}
\item $\{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5)\}$ en $\RR^3$.
\item $\{(1,0,-1),(1,1,2),(0,1,1)\}$ en $\CC^3$.
\item $\{(1,1,2),(1,4,3),(3,3,3),(e,\pi,\sqrt2)\}$ en $\RR^3$.
\item $\{(1,1,1),(1,\alpha,\alpha^2),(1,\beta,\beta^2)\}$ en $\RR^3$ con
$\alpha,\beta\in\RR$.
\item $\{(1,1,1,1),(1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3),(1,\beta,\beta^2,\beta^3)\}$ 
en $\RR^4$ con $\alpha,\beta,\gamma\in\RR$.
\item $\{(\frac12(X-1)(X-2),(X-1)(X-3),(X-2)(X-3)\}$ en $\RR[X]_2$.
\item $\{
          \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1& 1\end{pmatrix},
          \begin{pmatrix}0 & i\\ 1& i \end{pmatrix},
          \begin{pmatrix}0 & i\\ 0& 0\end{pmatrix},
          \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0& 1\end{pmatrix}
        \}$ en $M_4(\CC)$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determinar todos los $\lambda\in k$ de manera que los siguientes conjuntos
resulten linealmente independientes:
\begin{ejitems}
\item $\{(1,2,k),(1,1,1),(0,1,1-k)\}$ en $\RR^3$.
\item $\{kX^2+X,-X^2+k, k^2X\}$ en $\RR[X]_4$.
\item $\{\begin{pmatrix}1&k\\-1&2\end{pmatrix},
        \begin{pmatrix}k&1\\0&2k\end{pmatrix},
        \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}
        \}$ en $M_{4}(\CC)$.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Encuentre bases para los siguientes espacios vectoriales
\begin{ejitems}
\item $V=\{A\in M_{n\times n}(\RR):A=A^t\}$ sobre $\RR$.
\item $V=\{A\in M_{n\times n}(\CC):A=\bar A^t\}$ sobre $\RR$.
\item $V=\{A\in M_{n\times n}(\CC):\tr A=0\}$ sobre $\RR$.
\item $V=\{(a_n)_{n\in\NN_0}\in \RR^{\NN_0}:\forall
n\in\NN_0,a_{n+1}=2a_n\}$ sobre $\RR$.
\item $V=\{(a_n)_{n\in\NN_0}\in \RR^{\NN_0}:\forall
n\in\NN_0,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\}$ sobre $\RR$.
\item $V=\{p\in\RR[X]_n:p(0)=p(1)=0\}$ sobre $\RR$.
\item $V=\{p\in\RR[X]_n:p(0)=p'(1)=0\}$ sobre $\RR$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $v_i=(a_{i1},\dots,a_{in})\in\RR^n$ si $1\le i\leq n$, y supongamos
que $a_{ij}\le0$ si $i\neq j$, y que $\sum_{j=1}^na_{ij}>0$. Mostrar que
$\{v_i\}_{1\leq i\leq n}$ es una base de $\RR^n$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $F=\{f_i\}_{i\in\NN_0}\subset\RR[X]$ tal que $\deg f_i=i$ si
$i\in\NN_0$. Mostrar que $F$ es una base de $\RR[X]$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\alpha_i\in k$ para $1\leq i\leq n$, y sea 
  \[
  v_i=(1,\alpha_i,\alpha_i^2,\dots,\alpha_i^{n-1})\in k^n.
  \]
Determinar cuando $\{v_1,\dots,v_n\}$ es linealmente independiente en $k^n$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial sobre $k$.
\begin{ejitems}
\item $\{v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_n\}\subset V$ es linealmente independiente sii
el conjunto $\{v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_n\}$ es linealmente independiente.
\item Si $\lambda\in k\setminus\{0\}$, $\{v_1,\dots,v_i,\dots,v_n\}\subset V$ es
linealmente sii $\{v_1,\dots,\lambda v_i,\dots,v_n\}$ es linealmente
independiente.
\item Si $\lambda\in k$, $\{v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_n\}\subset V$ es linealmente
independiente sii el conjunto $\{v_1,\dots,v_i+\lambda v_j,\dots,v_j,\dots,v_n\}$ lo es.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determinar si las siguiente afirmaciones son válidas:
\begin{ejitems}
\item $\lin{u,v}=\lin{u,v'}\Rightarrow v=v'$, con $u,v,v'\in V$
\item $S+T=S+T'\Rightarrow T=T'$, con $S,T,T'\subset V$ subespacios.
\item $S+T=S+T'\Rightarrow \dim T=\dim T'$, con $S,T,T'\subset V$
subespacios.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V\subset\RR$ el $\QQ$-subespacio vectorial generado por
$\{1,\sqrt2,\sqrt3,\sqrt6\}$. 
\begin{ejitems}
\item Mostrar que existe $f\in\QQ[X]$ tal que $f(\sqrt2+\sqrt3)=0$ y $\deg f\leq
4$. Determinar un tal $f$ explícitamente.
\item Determinar $\dim V$.
\item Determine el menor grado de un polinomio no nulo con coeficientes racionales que
se anula en $\sqrt2+\sqrt5$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A\in M_n(k)$ una matriz. Muestre que $\{I,A,A^2,\dots,A^{n^2-1}\}$ no
es un subconjunto linealmente independiente de $M_n(k)$.

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V=\{(a_n)_{n\geq0}\in\RR^{\NN_0}:\forall n\geq0,\,
a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\}$. 
\begin{ejitems}
\item Determine una base de $V$ formada por sucesiones
$(a_n)_{n\geq0}$ de la forma $a_n=\alpha^n$ para algún $\alpha\in\RR$.
\item Encuentre una fórmula cerrada para la sucesión $(F_n)_{n\geq0}\in V$ de
Fibonacci, caracteriza por $F_0=0$ y $F_1=1$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial, $S,T,U\subset V$ subespacios, y supongamos
que
  \[
  S\cap T = S\cap U, \qquad S+T=S+U, \quad\text{y}\quad T\subset U.
  \]
Muestre que $T=U$. ¿La conclusión puede alcanzarse si se elimina alguna de las
tres hipótesis?

%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $S,T,U$ subespacios de un espacio vectorial $V$.
\begin{ejitems}
\item Muestre que
  \[
  S\cap T + S\cap U \subset S\cap (T+U).
  \]
\item De un ejemplo que muestre que en general no vale la igualdad.
\end{ejitems}


%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection*{Cuerpos finitos}

Sea $k$ un cuerpo finito de $q$ elementos.

%%%%%%%%%%%%%
\item Determine el número de bases que posee $k^n$.

%%%%%%%%%%%%%
\item Determine el número $(n)_q!$ de automorfismos que posee $k^n$.

%%%%%%%%%%%%%
\item Determine el número $\dbinom nl_q$ de subespacios que posee $k^n$ de dimensión $l$ para
cada $0\leq l\leq n$.

%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Muestre que
  \[
  \binom n{l-1}_q+q^l\binom nl_q=\binom{n+1}l_q.
  \]
\item Muestre que 
  \[
  \binom nl_q=\frac{(n)_q!}{(l)_q!(n-l)_q!}.
  \]
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%
\item Determine el número de morfismos $k^n\to k^m$. ¿Cuántos de éstos son
monomorfismos? ¿Cuántos epimorfismos?

\end{ejercicios}
\vspace*{\stretch{1}}

\foto{Hilbert}{David Hilbert\\1862 - 1943}{El trabajo de Hilbert en geometría tuvo la mayor influencia en ese área después de Euclides. Un estudio sistemático
de los axiomas de la geometría euclidea llevó a Hilbert a proponer una lista de $21$ axiomas y a analizar su importancia. Hizo contribuciones en varias áreas de
la física y la matemática.}

\vspace*{\stretch{1}}
\end{document}
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