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\let\l\lambda
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\def\lin#1{\langle{#1}\rangle}

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\Materia{Álgebra Lineal}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2011}
\Practica{1}
\Titulo{Generalidades}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial sobre $k$. Mostrar las siguientes afirmaciones:
  \begin{ejitems}
  \item $0v = 0$, $\forall v\in V$;
  \item $\l0 = 0$, $\forall \l\in k$;
  \item $(-1)v=-v$, $\forall v\in V$;
  \item $-(-v)=v$, $\forall v\in V$;
  \item $\l v = 0 \Rightarrow \l=0\vee v=0$;
  \item $-0 = 0$.
  \end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Sea $X$ un conjunto no vacío. Sea $k^X=\{f:X\to k\}$ el conjunto de todas
las funciones de $X$ a $k$. Mostrar que las operaciones
  \begin{gather*}
  (f+g)(x)=f(x)+g(x) \\
  (\l \cdot f)(x) = \l f(x)
  \end{gather*}
hacen de $k^X$ un espacio vectorial sobre $k$.

Decimos que estas operaciones están definidas \emph{punto a punto}.

\item ¿Bajo que condiciones es $k^X$ de dimensión finita? Cuando se
cumplen, encuentre una base.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X\subset\RR$ un abierto no vacío. Muestre que los siguientes
conjuntos son espacios vectoriales sobre $\RR$.
  \begin{ejitems}
  \item $C^\infty(X)=\{f:X\to\RR:\text{$f$ es infinitamente diferenciable}\}$;
  \item $\RR^X$;
  \item $C^0(X)=\{f:X\to\RR:\text{$f$ es continua}\}$;
  \item $L=\{f\in C^1(X): \forall x\in X, f'(x)=f(x)\}$;
  \item $D(X)=\{f:X\to\RR:\text{$f$ es derivable}\}$;
  \item $V(x_0)=\{f\in C^1(X): \forall x\in X, f(x_0)+3f'(x_0)=0\}$ para $x_0\in
  X$.
  \end{ejitems}
Determine todas las inclusiones entre estos espacios.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto no vacío, $V$ un $k$-espacio vectorial y
sea $V^X=\{f:X\to V\}$, el conjunto de todas las funciones de $X$ en $V$.
\begin{ejitems}
\item Mostrar que es posible definir sobre $V^X$ operaciones de suma y de producto por
elementos de $k$ de forma natural, de manera de que $V^X$ resulte, con respecto
a esas operaciones, un espacio vectorial sobre $k$.
\item Si $Y\subset X$ es un subconjunto no vacío, ¿puede verse a $V^Y$ como
supespacio de $V^X$?
\item Si $W\subset V$ es un subespacio vectorial, ¿puede verse a $W^X$ como
subespacio de $V^X$?
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A\in M_{n,m}(k)$ una matrix $n\times m$ con coeficientes en $k$, y
consideremos el conjunto $S=\{x\in k^m:Ax=0\}$ de soluciones del sistema lineal homogéneo
asociado a~$A$. 

Muestre que $S$ es un subespacio vectorial de $k^m$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $S$ y $T$ subespacios de un $k$-espacio vectorial $V$. Muestre que
\begin{ejitems}
\item $S\cap T$ es un subespacio de $V$.
\item Si $S\cup T$ es un subespacio de $V$ entonces $S\subset T$ ó $T\subset S$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Decidir cuales de los siguientes subconjuntos $S$ son sub-$k$-espacios de $V$
\begin{ejitems}
\item $S=\{v\in\RR^3: v=a\cdot(1,0,0)+b\cdot(1,1,1), \text{ con $a$,
$b\in\RR$}\}$, $V=\RR^3$, $k=\RR$;
\item $S=\{ai:a\in\RR\}$, $V=\CC$, $k=\RR$;
\item $S=\{ai:a\in\RR\}$, $V=\CC$, $k=\CC$;
\item $S=\{f\in k[X]:f=0 \vee \deg f\geq 2\}$, $V=k[X]$;
\item $S=\{f\in k[X]:f=0 \vee \deg f\leq 5\}$, $V=k[X]$;
\item $S=\{M\in M_{4,4}(k):M^t=M\}$, $V=M_{4,4}(k)$;
\item $S=\{M\in M_{4,4}(k):\tr M=0\}$, $V=M_{4,4}(k)$;
\item $S=\{f\in C^\infty(\RR):f''(1)=f(2)\}$, $V=\RR^\RR$, $k=\RR$.
\end{ejitems}

\item Mostrar que los siguientes conjuntos no son sub-$\RR$-espacios vectoriales de
$\RR^3$.
\begin{ejitems}
\item $\{(x,y,z)\in\RR^3:x+y+z=1\}$.
\item $\{(x,y,z)\in\RR^3:x^2+y^2+z^2=1\}$.
\item $\{(x,y,z)\in\RR^3:x^2+y^2-z^2<0\}$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V=\RR^+$, y consideremos la operación $+$ definida sobre $V$ por 
  \[
  +:(u,v)\in V\times V\mapsto uv\in V,
  \]
donde $uv$ es el \emph{producto} usual calculado en $\RR^+$, y la acción de $\RR$
sobre $V$ dada por
  \[
  \cdot:(\l,v)\in\RR\times V\mapsto v^\l\in V.
  \]
Muestre que $(V,+,\cdot)$ es un $\RR$-espacio vectorial.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Generadores}
\item\begin{ejitems}
\item Encontrar un sistema de generadores de
  \[
  S=\lin{(1,-1,2,1),(3,1,0,-1),(1,1,-1,-1)}\subset\RR^4.
  \]
\item ¿$(2,1,3,5)$ está en $S$?
\item ¿Es $S\subset\{x\in\RR^4:x_1-x_2-x_3=0\}$?
\item ¿Es $\{x\in\RR^4:x_1-x_2-x_3=0\}\subset S$?
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determine dos sistemas de generadores para cada uno de los siquientes espacios 
vectoriales:
\begin{ejitems}
\item $k^n$ sobre $k$;
\item $k[X]_n=\{f\in k[X]: f=0\vee\deg f\leq n\}$ sobre $k$;
\item $k[X]$ sobre $k$;
\item $\CC^n$, con $k=\RR$;
\item $\{(x,y,z)\in\RR^3:x+y-z=0, x-y=0\}$, con $k=\RR$;
\item $\{(x,y,z)\in\RR^3:x+y-z=0, x-y=0\}$, con $k$ arbitrario;
\item $\{f\in k[X]_4:f(1)=0, f(2)=f(3)\}$, con $k=\QQ$;
\item $\{f\in C^\infty(\RR):f'''=0\}$, con $k=\RR$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto no vacío.
\begin{ejitems}
\item Si $X$ es finito, determine un sistema de generadores para $k^X$.
\item Sea 
  \[
  k^X_0=\{f\in k^X:\text{existe $Y\subset X$ finito tal que $f|_{X\setminus Y}$ es
  constante}\},
  \]
el conjunto de las funciones sobre $X$ que son constantes fuera de un conjunto
finito.

Encuentre un sistema de generadores para $k^X_0$.
\item ¿Puede encontrar un sistema de generadores para $k^\NN$?
\item Si $X$ es finito, y $V$ es un $k$-espacio vectorial, determine un sistema
de generadores para $V^X$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{Algunos ejemplos que involucran otros cuerpos}

\item Suponga que $k$ es un cuerpo y que $l\subset k$ es un subcuerpo de $k$.
Muestre que $k$ es, de manera natural, un $l$-espacio vectorial.

\item\begin{ejitems}
\item Sea $k$ un cuerpo, y sea $k(X)$ el conjunto de todas las funciones
racionales en la variable $X$, es decir, de todas las expresiones de la forma
  \(
  p/q
  \)
con $p$, $q\in k[X]$ dos polinomios, y $q\neq 0$.
Muestre que $k(X)$ es resulta ser un cuerpo con respecto a las operaciones `apropiadas'.
\item Sea $L\subset k(X)$ el subconjunto de las funciones racionales en $X$ que
son pares, es decir, de los cocientes $p/q$ con $p$, $q\in k[X]$ con $q\neq0$ y
  \[
  \frac{p(-X)}{q(-X)} = \frac{p(X)}{q(X)}.
  \]
Muestre que $L$ es un subcuerpo de $k(X)$.
\item Encuentre generadores para $k(X)$ considerado como espacio vectorial sobre
$L$.
\end{ejitems}

\item Sea $d\in\ZZ$, y sea 
  \(
  \QQ(\sqrt d)=\{a+b\sqrt d:a,b\in\QQ\}
  \). 
Observe que este conjunto no depende de cuál de las dos raices de $d$ es
utilizada a la derecha.
Muestre que $\QQ(\sqrt d)$ es un subcuerpo de $\CC$.

\item Sea $n\in\NN$. Definimos una relación entre elementos de $\ZZ$ poniendo
  \[
  a\equiv b \quad\text{sii}\quad n|b-a.
  \]
\begin{ejitems}
\item Verifique que se trata de una relación de equivalencia en $\ZZ$.
\item Escribamos $\ZZ_n$ al conjunto de clases de equivalencia de $\equiv$ en
$\ZZ$. Si $a\in\ZZ$, escribimos $[a]$ a la clase de equivalencia de $a$.
Consideremos la operación
  \[
  +:([a],[b])\in\ZZ_n\times\ZZ_n \mapsto [a]+[b] \mathrel{:=} [a+b]\in\ZZ_n.
  \]
Muestre que está bien definida y que $(\ZZ_n,+)$ es un grupo abeliano.
\item Definamos ahora un producto en $\ZZ_n$ poniendo
  \[
  \cdot:([a],[b])\in\ZZ_n\times\ZZ_n\mapsto [a]\cdot[b]\mathrel{:=}
  [ab]\in\ZZ_n.
  \]
Muestre que está bien definido y que $(\ZZ_n,+,\cdot)$ es un anillo.
\item Muestre que si $n$ es un número primo, $(\ZZ_n,+,\cdot)$ es un
\emph{cuerpo}.
\item Determine todos los valores de $n$ para los cuales $(\ZZ_n,+,\cdot)$ es un
cuerpo.
\end{ejitems}

\item Determine \emph{todos} los cuerpos con $2$, $3$, $4$ y $5$ elementos. ¿Hay
algún cuerpo con $6$ elementos?

\item Encuentre todos los subespacios vectoriales de los $\ZZ_p$-espacios
vectoriales $\ZZ_p^2$ y $\ZZ_p^3$ para $p\in\{2,3\}$.
\end{ejercicios}
\vspace*{\stretch{1}}

\foto{Peano}{Giuseppe Peano \\ 1858 - 1932}{Peano fue el fundador de la lógica simbólica y sus intereses se centraron en los fundamentos de la matemática y en
el desarrollo de un lenguaje lógico formal.}

\vspace*{\stretch{1}}
\end{document}
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