%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\let\eps\varepsilon
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\Materia{Álgebra Lineal}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2011}
\Practica{}
\Titulo{Primer parcial}

\begin{document}

\maketitleParcial

\thispagestyle{empty}

\begin{ejercicios}[itemsep=2.65ex]

%%%%%%%%%%%%%%%%
\item \textsc{(Desigualdad de Sylvester)} Si $f:V\to W$ y $g:W\to U$ son
aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita, entonces
  \[
  \rg g+\rg f\leq\rg(g\circ f)+\dim W.
  \]

\begin{Solucion}
Aplicando el teorema de la dimensión a la restricción $g|_{\im f}:\im
f\to\im(g\circ f)$, que es sobreyectiva, vemos que
  \[
  \dim \ker (g|_{\im f}) + \dim \im (g\circ f) = \dim \im f.
  \]
Por otro lado, como $\ker(g_{\im f})\subseteq\ker g$,
  \[
  \dim \ker(g|_{\im f})
        \leq \dim \ker g
        = \dim W - \dim \im g.
   \]
De estas dos ecuaciones, entonces, que
  \[
  \dim\im f - \dim \im(g\circ f) \leq \dim W - \dim\im g,
  \]
que es la desigualdad del enunciado.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $p$,~$q:V\to V$ dos proyectores. 
\begin{ejitems}

\item Muestre que la composición $g\circ f$ puede no ser un proyector.

\item Pruebe que las siguientes dos afirmaciones son equivalentes:
\begin{enumerate}[label=(\emph{\roman*})]

\item $g\circ f$ es un proyector y $f\circ g=g$.

\item $\im g\subseteq\im f$.

\end{enumerate}
\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Tomemos $V=\RR^3$ y sean $f$,~$g:V\to V$ tales que para todo
$(x,y,z)\in V$ es $f(x,y,z)=(0,x+y,0)$ y $g(x,y,z)=(0,0,y+z)$. Es inmediato
verificar que $f$ y $g$ son proyectores, y que $g\circ f$ no lo es porque
$g\circ f\neq0=(g\circ f)^2$.

\ejitem{2} Por hipótesis, $f(g(v))=g(v)$ para todo $v\in V$, así que $\im
g\subseteq\im f$. Esto prueba que \implicacion[roman]{1}{2}. Para ver la
recíproca, sea $v\in V$. Entonces $g(v)\in\im g\subseteq\im f$, así que
$f(g(v))=g(v)$, y entonces 
  \[
  (g\circ f)^2(v)=g(f(g(f(v))))=g(g(f(v)))=g(f(v))=(g\circ f)(v).
  \]
Así, $(g\circ f)^2=g\circ f$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $n\geq1$. Sean $x_0$,~\dots,~$x_n$ números reales distintos dos a dos
y, para cada $i\in\{0,\dots,n\}$, consideremos la función $\eps_i: \RR[x]_{\leq
n} \to \RR$ tal que $\eps_i(p)=p(x_i)$ para cada $p\in\RR[x]_{\leq n}$.

\begin{ejitems}

\item El conjunto $\B^*=\{\epsilon_0, ..., \epsilon_n\}$ es una base de
$\RR[x]_{\leq n}^*$.

\item Sea $\B=\{P_0, ..., P_n\}$ la base de $\RR[x]_{\leq n}$ cuya base
dual es $\B^*$. Sean $y_0$,~\dots,~$y_n$ números reales y sea
  \[ 
  P(x)=\sum_{i=0}^{n}y_iP_i.
  \]
Muestre que $P$ es el único polinomio de~$\RR[X]_{\leq n}$
tal que $P(x_i)=y_i$ para todo $i\in\{0,\dots,n\}$.

\item Pruebe que existen números reales $a_0$,~\dots,~$a_n$ tales que para todo $P
\in \RR[x]_{\leq n}$ se tiene que
  \[ 
  \int_{0}^{1}P(x) dx = \sum_{i=0}^{n}a_iP(x_i).
  \]

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} 
Supongamos que $\alpha_0$,~\dots,~$\alpha_n\in\RR$ son tales que
$\sum_{i=0}^n\alpha_i\epsilon_i=0$. Si $j\in\{0,\dots,n\}$, entonces
$0=(\sum_{i=0}^n\alpha_i\epsilon_i)(X^j)i=\sum_{i=0}^n\alpha_ix_i^j$. Los
escalares $\alpha_0$,~\dots,~$\alpha_n$ satisfacen las $n+1$ relaciones
  \begin{align*}
  x_0^0 \alpha_0 + x_1^0 \alpha_1 + \cdots + x_n^0 \alpha_n &= 0, \\
  x_0^1 \alpha_0 + x_1^1 \alpha_1 + \cdots + x_n^1 \alpha_n &= 0, \\
\vdots \qquad \vdots \qquad\vdots \qquad                
\vdots \qquad \vdots
&\hskip3ex \vdots \\
  x_0^n \alpha_0 + x_1^n \alpha_1 + \cdots + x_n^n \alpha_n &= 0.
  \end{align*}
Como es no nulo el determinante de la matriz de van der Monde
  \[
  \begin{pmatrix}
  x_0^0 & x_1^0 & \cdots & x_n^0 \\
  x_0^1 & x_1^1 & \cdots & x_n^1 \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  x_0^n & x_1^n & \cdots & x_n^n 
  \end{pmatrix},
  \]
esto implica que $\alpha_0=\alpha_1=\cdots=\alpha_n=0$. 

Esto nos dice que $\B^*$ es linealmente independiente. Como $\B^*$ tiene
$n+1=\dim\RR[X]_{\leq n}^*$ elementos, esto es suficiente para concluir que es
una base de~$\RR[X]_{\leq n}^*$.

\ejitem{2} Si $j\in\{0,\dots,n\}$, entonces
$P(x_j)=\eps_j(P)=\sum_{i=0}^ny_i\eps_j(P_i)=\sum_{i=0}^ny_i\delta_{j,i}=y_j$.
Esto nos dice que el polinomio~$P$ satisface las condiciones deseadas. 

Si $Q$ es \emph{otro} polinomio que las satisface, entonces $P-Q$ es un
polinomio se anula en~$x_0$,~\dots,~$x_n$. Esto es,
$P-Q$ tiene $n+1$ raíces distintas y tiene grado a lo sumo~$n$, debe ser
$P-Q=0$. Esto prueba la unicidad.

\ejitem{3} La función $I:P\in\RR[X]_{\leq n}\mapsto\int_0^1P(x)\,\mathrm dx\in\RR$
es una función lineal, así que $I\in\RR[X]_{\leq n}^*$. Como $\B^*$ es una base
de~$\RR[X]_{\leq n}^*$, existen escalares $a_0$,~\dots,~$a_n\in\RR$ tales que
$I=\sum_{i=0}^na_i\eps_i$. Esto significa que si $P\in\RR[X]_{\leq n}$, entonces
  \[
  \int_0^1P(x)\,\mathrm dx 
        = I(P)
        = (\sum_{i=1}^na_i\eps_i)(P)
        = \sum_{i=1}^na_i\eps_i(P)
        = \sum_{i=1}^na_iP(x_i).
  \]
Esto verifica la afirmación del enunciado.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M\in M_2(\RR)$ una matriz tal que
  \(
  \B=\bigl\{\begin{psmatrix}
               1 & 2 \\ 1 & 0
            \end{psmatrix},
            \begin{psmatrix}
               1 & -1 \\ 0 & 1
            \end{psmatrix},
            \begin{psmatrix}
               0 & 1 \\ 2 & -1
            \end{psmatrix},
            M
    \bigr\}
  \)
es una base de $M_2(\RR)$ y sea
$\B^*=\{\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3,\varphi_4\}$ la base dual.
\begin{ejitems}

\item Encuentre las coordenadas en la base $\B^*$ de una base de
  \(
  \lin[\big]{\begin{psmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{psmatrix}}^\circ
  \).

\item Sea $A\in M_2(\RR)$ tal que
  \(
  \lin{A}^\circ=\lin{
        \varphi_1+ \varphi_3,
        \varphi_1-\varphi_2+2\varphi_4,
        2\varphi_2 + \varphi_3 - \varphi_4
        }
  \).
Muestre que entonces
  \(
  \B'=\bigl\{\begin{psmatrix}
               1 & 2 \\ 1 & 0
            \end{psmatrix},
            \begin{psmatrix}
               1 & -1 \\ 0 & 1
            \end{psmatrix},
            \begin{psmatrix}
               0 & 1 \\ 2 & -1
            \end{psmatrix},
            A
     \bigr\}
  \)
es una base de $M_2(\RR)$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $v_1=(1,-2,3,0)$, $v_2=(2,4,-1,1)$,
$v_3=(4,0,5,1), v_4=(0,8,-7,1) \in \RR^4$. Determine todos las ternas
vectores $w_1$,~$w_2$ y $w_3\in \RR^3$ tales que existe
una transformación lineal $f:\RR^4\rightarrow\RR^3$ con
  \begin{align*}
  &f(v_1)=w_1-w_2+2w_3, 
  &&f(v_3)=w_1+2w_3, \\
  & f(v_2)=w_1+w_2-w_3, 
  &&f(v_4)=4w_3.
  \end{align*}

\end{ejercicios}
\end{document}
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