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\hyphenation{siguiente como Como abierto existe manera muestra
        super-ficie super-ficies}

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\Materia{Geometría Proyectiva}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2011}
\Practica{7}
\Titulo{Curvas algebraicas proyectivas}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%
\item Considere las curvas algebraicas en $K^2$ definidas por los siguientes polinomios:
  \begin{ejitems}
  \item $Y-X^2$;
  \item $Y^2-X^3+X$;
  \item $Y^2-X^3$;
  \item $Y^2-X^3-X^2$;
  \item $(X^2+Y^2)^2+3X^2Y-Y^3$;
  \item $(X^2+Y^2)^3-X^2Y^2$.
  \end{ejitems}
Si $P=(0,0)$, calcule $I(P,F_i \cap F_j)$ para cada $i<j$.

%%%%%%%%%
\item Un punto simple $P$ de una curva $F$ es una \emph{inflexión}
si $I(P,F \cap L)\geq 3$, con $L$ la recta tangente a $F$ en $P$.
Decimos que la inflexi\'on es \emph{ordinaria} si $I(P,F \cap L) =3$ y que es \emph{de orden
superior} en otro caso.
\begin{ejitems}

\item ¿Para qu\'e valores de $n$ posee la curva $Y-X^n=0$
una inflexi\'on en $P=(0,0)$ y de qué tipo es?

\item Si $F=Y+aX^2+\dots$ define una curva~$C$ y $P=(0,0)$, la recta
tangente~$L$ a~$C$ en~$P$ es que $P=(0,0)$ tiene ecuación $Y=0$. Muestre
que $P$ es un punto de inflexi\'on de~$F$ si y s\'olo si~$a=0$. 

Dé un criterio sencillo que sirva para calcular $I(P,F \cap L)$, y por lo
tanto para determinar si $P$ es una inflexi\'on de orden superior.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%
\item Supongamos que $P$ es un punto doble de una curva~$C$ de ecuación $F=0$ y
que $C$ posee solo una tangente $L$ en $P$.
\begin{ejitems}

\item Muestre que $I(P,F\cap L) \geq 3$. Decimos que $C$ tiene una \emph{cúspide} en $P$
cuando $I(P,F\cap L)=3$.

\item Si $P=(0,0)$ y $L$ tiene ecuación $Y=0$, entonces $P$
es una c\'uspide si y s\'olo si $F_{XXX}(P)\neq 0$. Dé ejemplos.

\item Si $P$ es una c\'uspide de $C$, entonces hay una única componente
de~$C$ que pasa por~$P$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%
\item
Estudie las singularidades en los puntos $(1:0:0)$, $(0:1:0)$ y $(0:0:1)$ de la curva proyectiva de ecuación
  \[
  x^2y^5 - x^5y^2 - 2xy^5z + x^5z^2 + y^5z^2 - x^3yz^3 + 2 \alpha x^2y^2z^3 - xy^3z^3 = 0
  \]
con $\alpha \in \CC$.

%%%%%%%%%
\item Encuentre los puntos singulares de las curvas proyectivas definidas por las ecuaciones:
\begin{ejitems}

\item  $xz^2 - y^3 + xy^2 = 0$;

\item  $(x+y+z)^3 - 27xyz = 0$;

\item  $x^2y^2 + 36xz^3 + 24yz^3 +108z^4 = 0$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%
\item Determine los valores  de $m  \in \CC$ para los que la curva proyectiva
$C_m$ de ecuación
  \[
  x^3  + y^3 + z^3 +m(x +  y +z)^3 = 0
  \]
tiene al menos un punto singular. Para tales $m$, decida si $C_m$
se descompone como uni\'on de tres rectas.

%%%%%%%%%
\item Si  $\alpha \neq 2, 3, 6$  entonces la  curva proyectiva
  \[
  xy^2+  yz^2 + zx^2+ x^2y + y^2z + z^2x + \alpha x y z
  \]
es no singular.

%%%%%%%%%
\item Para cada $n > 0$ hay curvas en el plano proyectivo complejo no
singulares y de grado $n$.

%%%%%%%%%
\item Sea $F$ un polinomio homogéneo de grado~$d$ y sea $C = C(F)\subset \PP^2(k)$ su lugar de ceros.
Si $p =(a:b:c) \in C$ es un  punto  no  singular  y  $L$  es la ecuaci\'on
de  la recta tangente  proyectiva a $X$  en $p$, entonces la
deshomogeneizaci\'on  $L_*$  (respecto  a  la primera  variable)  es  la
ecuaci\'on de la recta tangente  af\'{\i}n a  $F_*$ en el  punto
$(b/a,c/a)$ (suponiendo $a\ne 0$).

%%%%%%%%%
\item Una curva algebraica en $\PP^2(\CC)$ de grado $d$ tiene un punto
singular $p$ de multiplicidad $d$ si y s\'olo si consiste de $d$ rectas por
$p$.


%%%%%%%%%
\item Sea $g\in\CC[X]$ de grado~$n$ y $f =  Y - g(X)\in\CC[X,Y]$, 
y sea $C = C(f) \subset \CC^2$ la curva af\'{\i}n definida por  $f$.
\begin{ejitems}

\item Si $H_a=(y-a=0)$ es una recta horizontal, el n\'umero total de intersecciones
(contadas con multiplicidad) de~$X$ con~$H_a$ es igual a $n$.

\item Si $V_a=(x-a=0)$ es una recta  vertical,  el numero  total  de intersecciones $X \cap V_a$
es igual a  $1$. ¿C\'omo se concilia esto con el teorema de Bezout ?

\end{ejitems}

%%%%%%%%%
\item Toda curva algebraica en el plano proyectivo complejo de grado mayor
o igual que tres  tiene al menos un punto de inflexi\'on.
Por otro lado, ninguna c\'onica no singular tiene puntos de inflexi\'on.

%%%%%%%%%
\item
Si $m \in \CC$, sea $C_m$  la c\'ubica en $\PP^2(\CC)$ de ecuación
  \[
  x^3+y^3+z^3+3mxyz=0.
  \]
\begin{ejitems}

\item La curva $C_m$ es singular sii $m^3+1=0$.

\item Cuando $C_m$ es singular, se descompone como uni\'on de tres rectas.

\item Si $\alpha$ y $\beta$ son las raíces de~$t^3+1$ distintas de $-1$, los puntos de inflexión
de~$C_m$ son $(0:1:-1)$, $(-1:0:1)$, $(1:-1:0)$, $(0:1:\alpha)$, $(\alpha:0:1)$,
$(1:\alpha:0)$, $(0:1:\beta)$, $(\beta:0:1)$ y $(1:\beta:0)$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%
\item Si $H_1,\dots,H_m$ son hiperplanos de $\PP^n$ y $m\leq n$, entonces
$H_1 \cap H_2 \cap \dots \cap H_m \neq \emptyset$.
En particular, todo par de rectas distintas de $\PP^2$ se cortan en un punto.

%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Si $P_1,P_2,P_3,P_4$ y $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4$ son dos $4$-uplas ordenadas de
puntos de $\PP^2$ tales que no hay tres en ninunga de ellas que estén
alineados, existe un único isomorfismo proyectivo $T:\PP^2 \to
\PP^2$ tal que $T(P_i)=Q_i$ para cada $i=\{1,2,3,4\}$.

\item Si $L_1, L_2, L_3,L_4$ y $M_1, M_2, M_3, M_4$ son dos $4$-uplas de rectas de $\P^2$
tales que no hay tres en ninguna de las dos que incidan en el mismo punto,
existe un único isomorfismo proyectivo
$T:\PP^2 \to \PP^2$ tal que $T(L_i)=M_i$ para cada $i\in\{1,2,3,4\}$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%
\item Un conjunto $C \subset \PP^n(k)$ es una \emph{cu\'adrica} si es el
lugar de ceros de una forma $F \in k[X_0, \dots, X_n]_2$ no nula de grado~$2$.  
\begin{ejitems}

\item Si que $2\neq 0$ en $k$, existe un isomorfismo proyectivo $T$ tal que
$C^T=V(G)$ con $G$ de la forma $G=\sum_{i=0}^n a_i X_i^n$, $a_i \in k$.

\item Si $k=\RR$, existe un isomorfismo proyectivo $T$
tal que $C^T=V(G_{r,p})$, con $G_{r,p}$
de la forma
  \[
  G_{r,p}=\sum_{i=0}^p X_i^2- \sum_{i=p+1}^r X_i^2,
  \]
para ciertos $r$ y $p$ con $0\leq p \leq r \leq n$ y $r \leq 2p+1$.
El par $(r,p)$ no depende de la elecci\'on de $T$.

\item Si $k=\CC$, existe un isomorfismo proyectivo $T$ tal que
$C^T=V(G_r)$, con $G_r$ de la forma
  \[
  G_r=\sum_{i=0}^r X_i^2, 
  \]
para algún $r\in\{0,\dots,n\}$ independiente de la elección de~$T$.

\end{ejitems}


%%%%%%%%%
\item Sea $F \in k[X, Y]$ una forma no nula de grado $n$ y sea $N \le n$ el
grado de $F$ con respecto a la variable $Y$, de modo que $F = \sum_{i=0}^N
a_i(X) Y^i$ con $a_i \in k[X]$ con $a_N \ne 0$. 

Determine qué implicaciones son verdaderas entre las siguientes proposiciones:
    \begin{tfae}
    \item $N < n$;
    \item $F_n(0, 1) = 0$, es decir, la direccion $(u, v) = (0, 1)$ es asint\'otica para $F$;
    \item $F$ no contiene el monomio $Y^n$;
    \item $F$ tiene una recta asint\'otica vertical;
    \item $a_N$ no es constante.
    \end{tfae}

%%%%%%%%%
\item Sea $F \in k[X, Y]$ una forma no nula de grado $n$. Existe una matriz inversible
$A \in M_2(k)$ tal que $G(X, Y) = F((X, Y)\cdot A)$ contiene el monomio
$Y^n$.

%%%%%%%%%
\item Sea $r\geq2$.
\begin{ejitems}

\item  Un $T:\PP^r(k)\to\PP^r(k)$ isomorfismo proyectivo. induce un
isomorfismo lineal $\tilde{T}:k[X_0,\dots,X_r]_n\to k[X_0,\dots,X_r]_n$
para todo $n \ge 0$.

\item Si $F\in k[X_0,\dots,X_r]_n$, existe un isomorfismo proyectivo
$T:\PP^r(k)\to\PP^r(k)$ tal que
$\tilde{T}(F)=A_d+A_{d-1}X_0+\dots+A_0X^n_0$ con $A_i\in
k[X_1,\dots,X_r]_i$ y $A_0 \ne 0$.

\item Si $F,G$ son polinomios homog\'eneos de grado $n$ y $m$, respectivamente, existe un $T$ tal que
  \begin{gather*}
  \tilde{T}(F)=A_n+A_{n-1}X_0+\dots+A_0X^n_0, \\
  \tilde{T}(G)=B_m+B_{m-1}X_0+\dots+B_0X^m_0
  \end{gather*}
con $A_i\in k[X_1,\dots,X_r]_i$ y $A_0B_0\ne 0$.

\end{ejitems}

\end{ejercicios}

\clearpage

\foto{Plucker}{Julius Plücker\\1801--1869, Alemania}{\ }

\end{document}
