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\hyphenation{siguiente como Como abierto existe manera muestra
super-ficie super-ficies}

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\Materia{Geometría Proyectiva}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2011}
\Practica{5}
\Titulo{Superficies}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Calcule los coeficientes de la primera forma fundamental de las
siguientes superficies paramétricas, en los puntos regulares.
\begin{ejitems}
\item Elipsoide: $r(u,v)=(a\sin(u)\cos(v),b\sin(u)\sin(v),c\cos(u))$;
\item Paraboloide eliptico: $r(u,v)=(au\cos(v),bu\sin(v),u^2)$;
\item Paraboloide hiperbólico: $r(u,v)=(au\cosh(v),bu\sinh(v),u^2)$;
\item Hiperboloide: $r(u,v)=(a\sinh(u)\cos(v),b\sinh(u)\sin(v),c\cosh(u))$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determine los coeficientes de la primera forma fundamental de la
esfera $S^2$ en la  parametrización dada por la proyección estereográfica.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Un cono sobre una curva plana y un plano son localmente isométricos.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Decimos que las curvas coordenadas de una parametrización $r(u,v)$
forman una \emph{red de Tchebyshev} si las longitudes de los lados opuestos
de cualquier cuadrilátero formado por ellas son iguales. 
Una condición necesaria y suficiente para esto es que 
  \[
  \frac{\partial E}{\partial v}=\frac{\partial G}{\partial u}=0.
  \]
Si las curvas coordenadas de una parametrización forman una red de
Tchebyshev, entonces es posible reparametrizar el entorno coordenado de
modo que los nuevos coeficientes de la primera forma fundamental sean 
  \[
  E=1, \qquad F=\cos\theta, \qquad G=1,
  \]
con $\theta $ es el ángulo entre las curvas coordenadas.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Toda superficie de revolución puede ser reparametrizada de manera que
los coeficientes de la primera forma fundamental sean
  \[
  E=E(v), \qquad F=0, \qquad   G=1.
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%
\item En un punto hiperbólico, las direcciones principales bisectan las direcciones asintóticas.

\begin{Indicacion}
Analizar la indicatriz de Dupin.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si una superficie $S$ es tangente a un plano $P$ a lo largo de una
curva $C \subset S$, entonces los puntos de $C$ son puntos planares o
parabólicos de $S$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Describa las regiones de $S^2$ cubiertas por la aplicación de Gauss
de las siguientes superficies:
\begin{ejitems}
\item Paraboloide de revolución: $z=x^2+y^2$;
\item Hiperboloide de revolución: $x^2+y^2-z^2=1$;
\item Catenoide: $x^2+y^2=\cosh ^2(z)$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $\lambda_1$,~\dots,~$\lambda_m$ son las curvaturas normales en un
punto~$p$ de una superficie~$S$ en direcciones que forman ángulos
de $0$,  $2\pi/m$, \dots, $2(m-1) \pi/m$ respectivamente con una dirección
principalxi, entonces $\lambda_1+ \dots +\lambda_m = m H$, con $H$ la
curvatura media en~$p$.

\begin{Indicacion}
Use el teorema de Euler.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Encuentre expresiones para la primera y segunda forma fundamental,
para la curvatura de Gauss y la media, y estudie las direcciones
principales en
\begin{ejitems}

\item una superficie reglada, y

\item en una superficie dada en forma implícita $(x,y,z)=0$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determine las curvas asintóticas y las  líneas de curvatura de la superficie
  \[
  z=xy.
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Determine una ecuación para la curva plana $C$ que tiene la propiedad de
que la longitud del segmento de la recta tangente entre el punto de
tangencia y la intersección con una recta $L \subset \RR^2$ que no corta la
curva es constantemente 1. Esta curva es la \emph{tractriz}.

\item Por rotación de la tractriz alrededor de la recta $L$ se obtiene una
superficie $S$, que llamamos \emph{pseudoesfera}. Determine si $S$ es una
superficie regular y encuentre una parametrización en un entorno de un punto
regular. Muestre que la curvatura de Gauss en todo tal punto es $-1$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $\phi:(0,2\pi)\to\RR$ y $\psi:(a,b)\to\RR$ dos funciones y supongamos que 
  \[
  r(u,v)=(\phi (v)\cos (u),\phi (v)\sin (u),\psi (v))
  \]
es una parametrización de una superficie de revolución con curvatura
Gaussiana constante $k$. Supongamos además que $\phi'^2+\psi'^2=1$. 
Muestre que entonces
  \begin{gather*}
  \phi'' + k\phi =0, \\
  \psi =\int \sqrt{1-\phi'^2}\dd v.
  \end{gather*}
Recíprocamente, muestre que para cada $k\in\RR$ existe una
superfice de revolución con curvatura de Gauss constante igual a~$k$.
¿Cuántas hay?

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Todas las superficies de revolución con curvatura constante $k=1$ que
intersecan perpendicularmente el plano $xy$ están dadas por 
  \[
  \left\{
    \begin{aligned}
    &\phi (v)=C\cos v, \\
    &\psi (v)=\int_0^v\sqrt{1-C^2\sin^2t}\dd t
    \end{aligned}
  \right.
  \]
para alguna constante $C$. Determine el dominio de~$v$ y haga un gráfico de
la curva cortada en el plano $xz$ cuando $C=1$, $C>1$ o $C<1$.
¿Qué superficie obtenemos cuando $C=1$?.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Todas las superficies de revolución con curvatura constante $k=-1$
son de uno de los siguientes tipos:
  \begin{gather*}
  \left\{
    \begin{aligned}
    &\phi (v)=C\cosh v, \\
    &\psi (v)=\int_0^v\sqrt{1-C^2\sinh ^2t}\dd t;
    \end{aligned}
  \right.
  \\[7pt]
  \left\{
    \begin{aligned}
    &\phi (v)=C\sinh v, \\
    &\psi (v)=\int_0^v\sqrt{1-C^2\cosh ^2t}\dd t;
    \end{aligned}
  \right.
  \\[7pt]
  \left\{
    \begin{aligned}
    &\phi (v)=e^v, \\
    &\psi (v)=\int_0^v\sqrt{1-e^{2t}}\dd t.
    \end{aligned}
  \right.
  \end{gather*}
Determine el dominio de $v$ y haga gráficos de las intersecciones de estas
superficies con el plano $xz$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Las únicas superficies de revolución con curvatura constante nula 
son el cilindro circular recto, el cono circular recto y el plano.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item En la superficie obtenida por la rotación de la curva $y=x^2-1$
alrededor del eje~$x$, los puntos que están sobre el plano $yz$ son puntos
planos.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item 
Determine los puntos umbílicos del elipsoide 
  \[
  \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.
  \]

\end{ejercicios}

\vspace*{\stretch{1}}

\foto{Dupin}{Charles Dupin\\1784--1873, Francia}{%
}

\end{document}
