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\hyphenation{siguiente como Como abierto existe manera muestra}

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\Materia{Geometría Proyectiva}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2011}
\Practica{4}
\Titulo{Subvariedades}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Subvariedades}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $M\subseteq\RR^n$ un subconjunto y $k\in\NN_0$. Las siguientes dos
condiciones son equivalentes:
\begin{tfae}

\item Para cada punto $x\in M$ existen abiertos $U$,~$V\subseteq\RR^n$
y un difeomorfismo $h:U\to V$ tales que $x\in U$ y
  \[
  h(U\cap M)
        = V\cap(\RR^k\times0^{n-k})
        = \{y\in V:y_{k+1}=\cdots=y_n=0\}.
  \]

\item  Para todo punto $x\in M$ existen abiertos $U\subseteq\RR^n$ y
$W\subseteq\RR^k$ y una función diferenciable inyectiva $\phi:W\to\RR^n$ tales
que
  \begin{gather*}
  x\in U, \qquad  \phi(W)=M\cap U, \\
  \text{$\phi'(y)$ tiene rango $k$ para todo $y\in W$,} \\
  \text{$\phi^{-1}:\phi(W)\to W$ es continua.}
  \end{gather*}

\end{tfae}
Cuando se cumplen, decimos que $M$ es una \emph{subvariedad de dimensión~$k$
de~$\RR^n$}. Si $x\in M$ y $W\subseteq\RR^k$ y $\phi:W\to\RR^n$ satisfacen las
condiciones de~(\emph{ii}), decimos que $\phi$~es una \emph{parametrización
regular de~$M$ alrededor de~$x$}.

\begin{Solucion}
\implicacion[roman]{1}{2} Sea $x\in M$. Sean $U$,~$V\subseteq\RR^n$ y
$h:U\to V$ como en~\tfaeitem{1}. Consideremos las funciones $q:\RR^k\to\RR^n$ 
y $p:\RR^n\to\RR^k$  tales que
$q(x_1,\dots,x_k)=(x_1,\dots,x_k,0,\dots,0)$ para cada
$(x_1,\dots,x_k)\in\RR^k$ y
$p(x_1,\dots,x_n)=(x_1,\dots,x_k)$ para cada $(x_1,\dots,x_n)\in\RR^n$.
Como $q$~es continua, $W=q^{-1}(V)\subseteq\RR^k$ es un abierto de~$\RR^k$.
Sea $\phi:W\to \RR^n$ la composición
  \[\xymatrix{
  W \ar[r]^-{q|_W}
    & V \ar[r]^-{h^{-1}}
    & U\; \ar@{^(->}[r]^-i
    & \RR^n
  }\]
Como por un lado $q$ y la inclusión $i:U\hookrightarrow\RR^n$ son evidentemente
inyectivas y $h^{-1}:V\to U$ es biyectiva, y por otro las tres funciones
son diferenciables, vemos que $\phi$~es inyectiva y diferenciable. Sabemos
que $x\in U$. La imagen de~$q$ es~$\RR^k\times0^{n-k}$, así que
$q(W)=V\cap(\RR^k\times0^{n-k})$ y $h^{-1}(q(W))=U\cap M$: esto nos dice
que $\phi(W)=U\cap M$. La diferencial de~$q$ es inyectiva en cada punto
de~$W$, y las diferenciales de~$h^{-1}$ y de~$i$ son isomorfismos, así que
la diferencial de~$\phi$ es inyectiva en cada punto de~$W$ y, en
particular, tiene rango~$k$ en cada uno de ellos. Finalmente, si
$y\in\phi(W)=U\cap M$, es inmediado que $\phi(p(h(y))=y$, así que
$\phi^{-1}(y)=p(h(y))$: esto nos dice que $\phi^{-1}:\phi(W)\to W$ es la
restricción a~$U\cap M$ de la función $p\circ h:U\to\RR^k$, que es
continua. Así, $U$, $W$ y $\phi$ satisfacen las condiciones
de~\tfaeitem{2}.

\implicacion[roman]{2}{1} Sea $x\in M$ y sean $U\subseteq\RR^n$,
$W\subseteq\RR^k$ y $\phi:W\to\RR^n$ como en~\tfaeitem{2}. Es claro que
existe $y_0\in W$ tal que $\phi(y_0)=x$. Como $\phi'(y_0)$ tiene rango~$k$,
el conjunto de vectores $\B_1=\{\phi'(y_0)(e_i):1\leq i\leq
k\}\subseteq\RR^n$ es linealmente independiente, así que otro conjunto de
vectores $\B_2=\{v_1,\dots,v_{n-k}\}$ tal que $\B_1\cup\B_2$ es una base
de~$\RR^n$. Consideremos la función $\psi:W\times\RR^{n-k}\to\RR^n$ tal que
  \[
  \psi(w,\lambda_1,\dots,\lambda_{n-k})
        = \phi(w)+\sum_{i=1}^{n-k}\lambda_iv_i.
  \]
para cada $w\in W$ y cada $(\lambda_1,\dots,\lambda_{n-k})\in\RR^{n-k}$.
Es claro que $\psi$ es diferenciable en su dominio (que está contenido
en~$\RR^n$) y que para cada $i\in\{1,\dots,n\}$ es
  \[
  \psi'(y_0,0,\dots,0)(e_i) =
        \begin{cases}
        \phi'(y_0)(e_i), & \text{si $1\leq i\leq k$;} \\
        v_{i-k}, & \text{si $k<i\leq n$.}
        \end{cases}
  \]
Esto nos dice que $\psi'(y_0,0\dots,0):\RR^n\to\RR^n$ tiene rango~$n$, así
que el teorema de la función inversa nos dice que existen abiertos
$U'$,~$V'\subseteq\RR^n$ tales que $(y_0,0,\dots,0)\in V'\subseteq
W\times\RR^{n-k}$ y~la restricción $g=\psi|_{V'}^{U'}:V'\to U'$ es un
difeomorfismo. Existen un abierto $V''_1\subseteq\RR^k$ y $\eps>0$ tales
que si ponemos $V''=V''_1\times(-\eps,\eps)^{n-k}$ entonces
$(y_0,0,\dots,0)\in V''\subseteq V'$. Como $g$ es un difeomorfismo, el
conjunto $U''=g(V'')$ es un abierto.

Sea $h=g^{-1}|_{U''}^{V''}:U''\to V''$, que es un difeomorfismo. Como $(y_0,0,\dots,0)\in V''$,
tenemos que $x=\psi(y_0,0,\dots,0)\in U''$. Para terminar, tenemos que
mostrar que $h(U''\cap M)=V''\cap(\RR^k\times0^{n-k})$. Notemos que el
miembro derecho de esta igualdad es, en vista de la forma especial que
tiene el abierto~$V''$, igual a~$V_1''\times0^{n-k}$; por otro lado, para
ver que $h(U''\cap M)=V''\cap(\RR^k\times0^{n-k})$ alcanza con mostrar que
$U''\cap M=\psi(V''_1\times0^{n-k})$, y esto es inmediato.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $M\subseteq\RR^n$ es una subvariedad de dimensión~$k$ y
$N\subseteq M$ es un abierto relativo, entonces~$N$ es una subvariedad
de~$\RR^n$ de dimensión~$k$.

\begin{Solucion}
Sea $x\in N$. Como $x\in M$, existen abiertos $U\subseteq\RR^n$ y
$W\subseteq\RR^K$ y una función diferenciable e inyectiva $\phi:W\to\RR^n$
tales que $x\in U$, $\phi(W)=M\cap U$, $\phi'(y)$ tiene rango~$k$ para todo
$y\in W$ y $\phi^{-1}:\phi(W)\to W$ es continua.

Como $N$ es un abierto de~$M$, existe un abierto $U'\subseteq\RR^n$ tal que
$M\cap U'\subseteq N$ y $x\in U'\subseteq U$. El conjunto $W'=\phi^{-1}(U')$ es un
abierto de~$\RR^k$. Es claro que $\psi=\phi|_{W'}:W'\to\RR^n$ es una función
diferenciable e inyectiva cuya diferencial tiene rango~$k$ en cada punto
de~$W'$ y que $\psi^{-1}:\phi|_{W'}(W')\to W'$ es continua, ya que
es la restricción de~$\phi^{-1}:\phi(W)\to W$ a~$W'$. Finalmente, es
$\psi(W')=M\cap U'$: que $\psi(W')\subseteq M\cap U'$ es consecuencia de la
elección de~$W'$ y de que $\phi(W)\subseteq M$ y, recíprocamente, si $y\in
M\cap U'$, entonces como $\phi(W)=M\cap U\supseteq M\cap U'$, existe $w\in
W$ tal que $\phi(w)=y$, y como $y\in U'$, $w\in W'$, así que
$y\in\phi(W')=\psi(W')$. Esto muestra que $N$ es una subvariedad de
dimensión~$k$ de~$\RR^n$, como queríamos.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $U\subseteq\RR^n$ un abierto, sea $k\in\{0,\dots,n\}$ y sea
$f:U\to\RR^{n-k}$ una función diferenciable que tiene a~$0\in\RR^{n-k}$
en su imagen. Si para cada
$x\in f^{-1}(0)$ el rango de~$f'(x)$ es~$n-k$, entonces el conjunto
$M=f^{-1}(0)$ es una subvariedad de~$\RR^n$ de dimensión~$k$.

\begin{Solucion}
Sea $x_0\in M$. Por hipótesis, la aplicación lineal
$f'(x_0):\RR^n\to\RR^{n-k}$ tiene rango~$n-k$, así que ---sin pérdida de
generalidad--- podemos suponer que 
  \begin{equation} \label{eq:claim}
  \claim{el conjunto $\{f'(x_0)(e_i):1\leq i\leq n-k\}$ es linealmente independiente.}
  \end{equation}
Identifiquemos a~$\RR^n$ con $\RR^{n-k}\times\RR^k$ y sean
$y_0\in\RR^{n-k}$ y $z_0\in\RR^k$ tales que $x_0=(y_0,z_0)$. Como
$f(y_0,z_0)=0$ y vale~\eqref{eq:claim}, el teorema de la función
implicita nos dice que existe un abierto~$W\subseteq\RR^k$ que contiene
a~$z_0$, un abierto $V\subseteq\RR^{n-k}$ que contiene a~$y_0$ y una función 
diferenciable~$\psi:W\to\RR^{n-k}$ con imagen contenida en~$V$ tales que
$\psi(z_0)=x_0$ y
  \begin{equation}\label{eq:fzw}
  \claim{para todo $z\in W$ es $\psi(z)$ el único elemento $y\in V$ tal que $f(y,z)=0$.}
  \end{equation}
Sea ahora $\phi:W\to\RR^n$ tal que $\phi(z)=(\psi(z),z)$ para cada $z\in W$
y sea $U=V\times W$. Es inmediato que $\phi$ es una función diferenciable e
inyectiva. Si $z\in W$, entonces $\phi'(z)(e_i)=e_{n-k+i}$ si $1\leq i\leq
k$, así que $\phi'(z):\RR^k\to\RR^n$ tiene rango~$k$.

La condición~\eqref{eq:fzw} implica que si $z\in W$, entonces
$f(\phi(z))=f(\psi(z),z)=0$, así que $\phi(z)=(\psi(z),z)\in M\cap U$. Recíprocamente,
si $x=(x_1,\dots,x_n)\in M\cap U$ y ponemos $y=(x_1,\dots,x_k)$ y $z=(x_{k+1},\dots,x_n)$,
entonces $y\in V$, $z\in W$ y $f(y,z)=0$, así que la condición~\eqref{eq:fzw} nos dice que $y=\psi(z)$
y, en consecuencia, que $x=\phi(z)$. Concluimos así que $\phi(W)=M\cap U$.
Para terminar, observemos que la función $\phi^{-1}:\phi(W)\to W$ es la
restricción de la proyección $\RR^n\to\RR^k$ en las últimas
$k$~coordenadas, así que es continua.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Si $M\subseteq\RR^n$ es una subvariedad de dimensión~$k$ y $x\in M$,
entonces existe un abierto $U\subseteq\RR^n$ tal que $x\in U$ y una
función diferenciable~$f:U\to\RR^{n-k}$ tal que $M\cap U=f^{-1}(0)$ y
para cada $y\in M\cap U$ el rango de~$f'(y)$ es~$n-k$.

\item Muestre que la conclusión de la parte anterior no es válida
globalmente. Para ello, exhiba $n\geq1$, $k\in\{1,\dots,n\}$ y una
subvariedad $M\subseteq\RR^n$ de dimensión~$k$ tal que no existen un
abierto $U\subseteq\RR^n$ y una función diferenciable $f:U\to\RR^{n-k}$ tal
que $M\subseteq U$, $M=f^{-1}(0)$ y $f'$ tiene rango~$n-k$ en cada punto
de~$M$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $x\in M$. Existen abiertos $U$,~$V\subseteq\RR^n$ y un
difeomorfismo $h:U\to V$ tales que $x\in U$ y 
  \begin{equation}\label{eq:um}
  h(M\cap U)=V\cap(\RR^k\times0^{n-k}).
  \end{equation}
Sea $p:\RR^n\to\RR^{n-k}$ la proyección en las últimas $n-k$~coordenadas y
sea $f=p\circ h:U\to\RR^{n-k}$. De acuerdo a~\eqref{eq:um}, es inmediato
que $f^{-1}(0)=M\cap U$. Si $y\in M\cap U$, entonces $h'(y):\RR^n\to\RR^n$
es un isomorfismo y $p'(h(y)):\RR^n\to\RR^{n-k}$ tiene rango~$n-k$, de
manera que $f'(y)=p'(h(y))\circ h'(y)$ tiene rango~$n-k$.

\ejitem{2} Consideremos la función 
  \[
  \phi:(t,\theta)\in(-1,1)\times\RR
        \longmapsto
        \bigl((2+t\cos\tfrac12\theta)\cos\theta, (2+t\cos\tfrac12\theta)\sin\theta,
        t \sin\tfrac12\theta\bigr)\in\RR^3.
  \]
Sea $M=\phi\bigl((-1,1)\times\RR\bigr)\subseteq\RR^3$. Veamos que se trata de una
superficie.

Sean $(t,\theta_0)\in(-1,1)\times\RR$ y
$p=\phi(t,\theta_0)\in M$. Consideremos el abierto
  \[
  W=(-1,1)\times(\theta-\tfrac12\pi,\theta_0+\tfrac12\pi)
  \]
y sea $\psi=\phi|_W:W\to\RR^3$. 

\begin{itemize}

\item Si $(t,\theta)\in(-1,1)\times\RR$ y $(x,y,z)=\phi(t,\theta)$,
es
  \begin{align*}
  &t\cos\tfrac12\theta=\sqrt{x^2+y^2}-2,
  &&t\sin\tfrac12\theta=z.
  \end{align*}
Se sigue de esto que $\psi$ es inyectiva y que
$\psi^{-1}:\psi(W)\to W$ es continua.

\item Por otro lado, un cálculo directo muestra que
  \[
  \norm*{\frac{\partial\phi}{\partial t}\wedge\frac{\partial\phi}{\partial\theta}}^2
        = t^2 \left(\tfrac12\cos\theta+\tfrac{3}{4}\right)
          +4 t \cos\tfrac12\theta+4.
  \]
El discriminante de este polinomio en~$t$ es $\Delta=-4$, así que no se anula nunca. 
Esto implica que $\psi'$ tiene rango~$2$ en cada punto de~$W$.

\item Finalmente, si $U=\{(x,y,z)\in\RR^3:x\cos\theta_0+y\sin\theta_0>0\}$,
que es un abierto de~$\RR^3$, entonces $\phi(W)=M\cap U$.

\end{itemize}
Esto prueba que $\psi$ es una parametrización regular de~$M$ cerca de~$p$.

Supongamos ahora que existe un abierto $V\subseteq\RR^3$ y una función
diferenciable~$f:U\to\RR$ tales que $M\subseteq V$, $M=f^{-1}(0)$ y $\nabla
f\neq0$ en todo punto de~$M$. Para cada $(t,\theta)\in(-1,1)\times\RR$, el
vector $\nabla f(\phi(t,\theta))$ es ortogonal a $\frac{\partial\phi}{\partial t}(t,\theta)$
y a $\frac{\partial\phi}{\partial\theta}(t,\theta)$, así que existe un
escalar $\lambda(t,\theta)$ tal que
  \[
  \nabla f(\phi(t,\theta)) 
        = \lambda(t,\theta)\: \frac{\partial\phi}{\partial t}\wedge\frac{\partial\phi}{\partial\theta},
  \]
y es claro que de esta forma obtenemos una función
$\lambda:(-1,1)\times\RR\to\RR$ que es continua y que no cambia de signo.
Evaluando $\frac{\partial\phi}{\partial
t}\wedge\frac{\partial\phi}{\partial\theta}$ en $(0,0)$ y en $(0,2\pi)$
obtenemos los vectores $(0,0,2)$ y $(0,0,-2)$, pero 

Como $\phi(0,0)=\phi(0,2\pi)$, es 
  \begin{align*}
  (0,0,2)
       &= \left(
                \frac{\partial\phi}{\partial t}\wedge\frac{\partial\phi}{\partial\theta}
          \right)\Bigm|_{(t,\theta)=(0,0)} 
        = \nabla f(\phi(0,0)) 
        = \nabla f(\phi(0,2\pi)) \\
       &= \left(
                \frac{\partial\phi}{\partial t}\wedge\frac{\partial\phi}{\partial\theta}
          \right)\Bigm|_{(t,\theta)=(0,2\pi)} 
        = (0,0,-2),
  \end{align*}
y esto es absurdo.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:\RR^n\to\RR^m$ una función continua y sea
$\Gamma_f=\{(x,f(x))\in\RR^{n+m}:x\in\RR^n\}$ su gráfico. Entonces
$\Gamma_f$ es una subvariedad de~$\RR^{n+m}$ de dimensión~$n$ si y solamente si $f$ es
diferenciable.

\begin{Solucion}
Supongamos primero que $f$ es diferenciable, sea $W=\RR^n$ y consideremos
la función $\phi:x\in W\mapsto(x,f(x))\in\RR^{n+m}$ y el abierto $U=\RR^n$
de~$\RR^n$. Es claro que $\phi$ es diferenciable e inyectiva, que
$\Gamma_f\subseteq U$ y que $\phi(\RR^n)=\Gamma_f\cap U$. La función
inversa $\phi^{-1}:\phi(W)\to W$ es continua, porque es la restricción
a~$\Gamma_f=\phi(W)$ de la proyección $\RR^{n+m}\to\RR^n$ en las
primeras~$n$ coordenadas. Finalmente, si $x\in W$, es $\phi'(x)(e_i)=e_i$
para cada $i\in\{1,\dots,n\}$, así que $\phi'(x)$ tiene rango~$n$. Así,
vemos que $\Gamma_f$ es una subvariedad de~$\RR^{n+m}$ de
dimensión~$n$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Funciones diferenciables}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M\subseteq\RR^n$ una subvariedad de dimensión~$k$ y sea
$f:M\to\RR$ una función arbitraria. Las siguientes condiciones son
equivalentes:
\begin{enumerate}[label=(\emph{\roman*})]

\item Para cada $x\in M$ existe un abierto $U\subseteq\RR^n$ y una función
diferenciable $g:U\to\RR$ tales que $x\in U$ y $g|_{U\cap M}=f$.

\item Para cada $x\in M$ existe una parametrización regular $\phi:W\to M$ de~$M$ alrededor
de~$x$, la composición $f\circ\phi:W\to\RR$ es diferenciable,

\item Para cada $x\in M$ y cada parametrización regular $\phi:W\to M$ de~$M$ alrededor
de~$x$, la composición $f\circ\phi:W\to\RR$ es diferenciable,

\end{enumerate}
Cuando estas condiciones se cumplen, decimos que $f$ es
\emph{diferenciable}.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $M\subseteq\RR^m$ y $N\subseteq\RR^n$ son subvariedades y $f:M\to
N$ es una función, decimos que $f$ es \emph{diferenciable} si para cada
$i\in\{1,\dots,n\}$ la composición $p_i\circ f:M\to\RR$ de~$f$ con la
proyección $i$-ésima $p_i:\RR^n\to\RR$ es diferenciable.

Muestre que si $M\subseteq\RR^m$, $N\subseteq\RR^n$ y $P\subseteq\RR^p$
son subvariedades y $f:M\to N$ y $g:N\to P$ son funciones diferenciables,
entonces $g\circ f:M\to P$ es también diferenciable.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Espacio tangente}

\item Sea $M\subseteq\RR^n$ una subvariedad de dimensión~$k$ y sea $x\in
M$. Si $f:W\to\RR^n$, con $W\subseteq\RR^k$, es una parametrización regular
de~$M$ alrededor de~$x$ y $w\in W$ es tal que $f(w)=x$, entonces el
subespacio vectorial $T_xM=f'(w)(\RR^k)\subseteq\RR^n$ depende solamente
de~$M$ y de~$x$. Llamamos a~$T_xM$ el \emph{espacio tangente a~$M$ en~$x$}.

Para verificar esto, muestre que $T_xM$ es el conjunto de vectores
$v\in\RR^n$ tales que existe $\eps>0$ y una función diferenciable
$\alpha:(-\eps,\eps)\to\RR^n$ con imagen en~$M$ y tal que $\alpha(0)=x$ y
$\alpha'(0)=v$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $M\subseteq\RR^m$ y $N\subseteq\RR^n$ subvariedades y sea $f:M\to
N$ es una función diferenciable. Si $x\in M$, muestre como construir una
función lineal 
  \(
  f'(x):T_xM\to T_{f(x)}M
  \)
que merezca llamarse la \emph{diferencial de~$f$ en~$x$} y pruebe una
\emph{regla de la cadena} para funciones entre subvariedades.

\end{ejercicios}

\vspace*{\stretch{1}}

\foto{Riemann}{Georg Friedrich Bernhard Riemann\\1826--1866, Alemania}{%
Riemann fue el primero en considerar de manera explícita las variedades
diferenciables. Lo hizo en su \emph{Habilitationsschrift}, a pedido de
Gauss, su director.
}

\end{document}
