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\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}

\Materia{Geometría Proyectiva}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2011}
\Practica{3}
\Titulo{Cuádricas}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item Para cada una de las siguientes cónicas encuentre su forma
afín, su forma ortogonal (tanto en $\RR$ como en $\CC$), su
centro, sus puntos singulares, y grafique en el sistema original
de coordenadas (¡esto sólo en $\RR^2$!).
\begin{ejitems}
\item $x^2+y^2=1 $;
\item $x^2+y^2+2x-2y=-1 $;
\item $xy-x+3y=2 $;
\item $x^2-y^2+4x-2y=4 $;
\item $2x^2+xy-y^2=0 $;
\item $x^2+y^2-2x+4y=-5 $.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Para cada una de las siguientes cónicas encuentre su forma
afín, su forma ortogonal (tanto en $\RR$ como en $\CC$), su
centro, sus puntos singulares. Si todavía está con ánimo
grafique.
\begin{ejitems}
\item $4x^2+4y^2+4z^2+2xy+2xz+2yz+6x-6z+5=0 $;
\item $4x^2+4y^2+4z^2+2xy+2xz+2yz+6x-6z+6=0 $;
\item $-4x^2+2yz-8x+2y-4=0 $;
\item $-4x^2+2yz-8x+2y-5=0 $;
\item $-4x^2+2yz-8x+2y-3=0 $;
\item $16x^2+24xy+9y^2+25z^2-16x-20y=0 $;
\item $16x^2+24xy+9y^2-25z^2-16x-20y=0 $;
\item $16x^2+24xy+9y^2-25z^2-16x-12y=0 $.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Las secciones planas de un cono en $\RR^3$ son cónicas. Interprete
la clasificación de las cónicas en términos de la posición del plano
utilizado para la sección.

%%%%%%%%%%
\item\label{ej:elipse} Dados dos puntos $p$,~$q\in \RR^2$ y un
número real $a$ tal que $2a>d(p,q)$, sea
  \[
  \mathcal X=\{x\in\RR^2 : d(x,p)+d(x,q)=2a\}.
  \]
\begin{ejitems}

\item El conjunto ${\mathcal X}$ es una elipse. Llamamos a $p$ y a~$q$ sus
focos.

\item El punto medio entre los focos es el centro de la elipse.

\item Toda elipse puede obtenerse por esta construcción.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Si $p$,~$q\in \RR^2$ y $a\in\RR$ es tal que $0<2a<d(p,q)$, sea
  \[
  \mathcal X=\{x\in\RR^2 : d(x,p)-d(x,q)=2a\}.
  \]
Entonces el conjunto $\mathcal X$ es una hipérbola y toda hipérbola puede
obtenerse de esta forma.

%%%%%%%%%%
\item Si una elipse refleja los rayos de luz como un espejo plano, entonces
un rayo emitido desde un foco pasa, luego de reflejarse, por el otro.

%%%%%%%%%%
\item Si $p\in\RR^2$ y $L\subset\RR^2$ es una recta que no contiene a $p$, sea
  \[
  \mathcal X=\{x\in\RR^2:d(x,p)=d(x,L)\}.
  \]
\begin{ejitems}

\item El conjunto ${\mathcal X}$ es una parábola.

\item Toda parábola se obtiene de esta forma.

\item Llamamos a $p$ el \emph{foco} de la parábola y a la recta $L$ es su
\emph{eje}. Una parábola que refleja la luz concentra los rayos de
dirección perpendicular a su eje y provenientes del semiespacio que
contiene al foco en este punto.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $C\subset\RR^2$ la cónica de ecuación cuadrática $F=0$ y sea
$p\in\RR^2-C$. Determine los puntos $x\in C$ tales que la recta tangente a $C$
en $x$ pasa por $p$.

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Demostrar que por cada punto del hiperboloide de una hoja
de ecuación
  \[
  x^2 +y^2 -z^2 = 1
  \]
pasan dos rectas contenidas en él.

\item ¿Qué rectas (o variedades lineales) contienen las otras cuádricas?

\end{ejitems}

\foto{Menecmo}{Menecmo\\ca.~380 -- ca.~320 a.C., Grecia}{%
A Menecmo se le atribuye el descubrimiento de las secciones cónicasy su
primer estudio geométrico. Fue discípulo de Platón y de Eudoxo, y tutor de
Alejandro Magno. A él se le atributen la famosa frase, dirigida a
Alejandro, \emph{«Rey, para viajar por el país hay caminos privados y
caminos reales, pero en geomeria hay un único camino para todos»}.}



\end{ejercicios}

\end{document}
