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\hyphenation{siguiente como Como abierto existe manera muestra
super-ficie super-ficies}

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\Materia{Geometría Proyectiva}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2011}
\Titulo{Segundo Parcial}

\begin{document}

\maketitleParcial
\thispagestyle{empty}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Encuentre los puntos de intersección de las curvas
  \begin{align*}
  &y^2 z-x (x-2 z) (x+z) = 0,
  &
  &x^2-2 x z+y^2 = 0
  \end{align*}
y determine la multiplicidad de intersección de cada uno de ellos.

\begin{Solucion}
Sea $(x:y:z)$ un punto de intersección. Si fuese $z=0$, entonces las dos
ecuaciones nos dicen que $x^3=x^2+y^2=0$, así que $x=y=0$: esto es absurdo.
Luego todos los puntos de intersección están en el complemento de la
recta~$z=0$. Afinizando allí, las ecuaciones quedan
  \begin{align}
  &y^2-x (x-2) (x+1) = 0,
  &
  &x^2-2 x+y^2 = 0. \label{eq:1}
  \end{align}

Restándolas, vemos que $4 x - x^3=0$, así que $x\in\{0,\pm2\}$. Es claro
que si $x=0$ debe ser $y=0$. Si $x=2$, las dos ecuaciones se reducen
a~$y^2=0$, así que también en este caso es $y=0$. Finalmente, si $x=-2$,
las ecuaciones se reducen a~$y^2+8=0$, así que $y=\pm i2\sqrt2$. Concluimos
de esta forma que los puntos de intersección son cuatro,
  \[
  (0:0:1), \qquad (2:0:1), \qquad (-2:\pm i2\sqrt2:1).
  \]
Llamemos $f_1$ y $g_1$ a los miembros izquierdos de las
ecuaciones~\eqref{eq:1}.
La multiplicidad de intersección en~$(0:0:1)$ es
  \[
  I(f_1,g_1) = I(f_1,g_1+f_1) = I(2 x + x^2 - x^3 + y^2, 2 x^2 - x^3 + 2 y^2) = 2\cdot1 = 2,
  \]
porque las formas iniciales de los polinomios $2 x + x^2 - x^3 + y^2$  y $2
x^2 - x^3 + 2 y^2$ no tienen factores comunes.

Sean ahora $f_2=-6 x - 5 x^2 - x^3 + y^2$ y $g_2=2 x + x^2 + y^2$ los
resultados de centrar a $f_1$ y a~$g_1$ en el punto $(2,0)$. La
multiplicidad de intersección en~$(2:0:1)$ es
  \[
  I(f_2,g_2) = I(f_2 + 3 g_2, g_2) = I(-2 x^2 - x^3 + 4 y^2, 2 x + x^2 +
  y^2) = 2\cdot1
  \]
porque, otra vez, las formas iniciales de $-2 x^2 - x^3 + 4 y^2$ y de $2 x
+ x^2 + y^2$ no tienen factores comunes.

Las curvas no tienen factores comunes ---porque su intersección es
finita--- así que el teorema de Bezout nos dice que la multiplicidad de
intersección total es~$6$. Es claro, entonces, que la multiplicidad de
intersección en los puntos $(-2:\pm i2\sqrt2:1)$ debe ser~$1$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Una curva reducible en~$\PP^2(\CC)$ tiene punto singulares.

\begin{Solucion}
Sugongamos que $F=0$ es la ecuación de la curva $C$ y que $F=fg$ con $f$ y $g$
dos polinomios homogéneos no constantes. El teorema de Bezout implica
inmediatamente que~$f$ y~$g$ tienen ceros comunes en~$\PP^2(\CC)$. Como 
  \[
  \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} g + f \frac{\partial g}{\partial x},
  \]
es claro que $\frac{\partial F}{\partial x}$ se anula en todo cero común
de~$f$ y~$g$, y lo mismo sucede con las otras derivadas parciales. Esto nos
dice que los ceros comunes de~$f$ y~$g$ son puntos singulares de~$C$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item En toda superficie compacta de~$\RR^3$ hay un punto donde la
curvatura es positiva.

\begin{Indicacion}
Si $M$ es la superficie en cuestión, considere un punto~$p\in M$ que está a
distancia máxima del origen.
\end{Indicacion}

\begin{Solucion}
Sea $M\subseteq\RR^3$ una superficie compacta. Sea $p\in M$ un punto donde
la función $\phi:x\in M\mapsto\lin{x,x}\in\RR$ alcanza su máximo. Sea
$U\subseteq\RR^2$ un entorno de~$0\in\RR^2$ y sea $f:U\to\RR^3$ una
parametrización regular de un entorno abierto de~$p$ en~$M$ tal que
$f(0)=p$. 

Como la función $x\in U\mapsto \tfrac12\lin{f(x),f(x)}$ tiene un máximo local
en~$0$, sus derivadas parciales se anulan allí, y entonces
$\lin{f_u(0),p}=\lin{f_v(0),p}=0$. Esto nos dice que $p$ es un vector
normal a~$M$ en~$p$ y, en consecuencia, $N=p/\norm{p}$ es allí un vector
normal unitario. 

La función $\psi:x\in U\mapsto\lin{f(x),N}\in\RR$ tiene un máximo estricto
en~$(0,0)$. Tiene un máximo porque
$\lin{f(x),N}\leq\norm{f(x)}\leq\norm{p}=\lin{f(0),N}$ para todo $x\in U$;
para ver que es estricto, supongamos que $x\in U$ es distinto de~$0$ y tal
que $\lin{f(x),N}=\lin{f(0),N}$: entonces $f(x)=f(0)+(f(x)-f(0))$ y como
$f(0)=\norm{f(0)}N$ y $f(x)-f(0)$ son ortogonales por hipótesis, tenemos
que $\norm{f(x)}^2=\norm{f(0)}^2+\norm{f(x)-f(0)}^2>\norm{f(0)}^2$, lo que
contradice la elección de~$p$.

Sabemos entonces que el Hessiano de~$\psi$ es positivo en~$0$.
Calculandolo, vemos que
  \[
  \begin{vmatrix}
  \lin{f_{uu}(0),N} & \lin{f_{uv}(0),N} \\
  \lin{f_{vu}(0),N} & \lin{f_{vv}(0),N} 
  \end{vmatrix} > 0
  \]
Esta matrix tiene el mismo signo que la curvatura en~$p$, así que
concluimos de esta forma que la curvatura de~$M$ en~$p$ es positiva, como
queríamos.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $\alpha:I\to\RR^3$ es una curva regular, su superficie tangente es
la parametrizada por la función $\phi:I\times\RR\to\RR^3$ tal que
  \[
  \phi(s,t) = \alpha(s) + t\alpha'(s).
  \]
Muestre que la superficie tangente a una curva es regular salvo a lo sumo
sobre la curva original y que todos sus puntos son parabólicos.

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%
\item Dos polinomios $f$,~$g\in\CC[X,Y]$ tienen un factor común no
constante si y solamente si $Z(f,g)\subseteq\CC^2$ es un conjunto infinito.

\begin{Indicacion}
Para probar la suficiencia, considere las resultantes $R_X(f,g)$ y $R_Y(f,g)$.
\end{Indicacion}

\begin{Solucion}
Supongamos primero que $h\in\CC[X,Y]$ es un factor común no constante
de~$f$ y~$g$. Es claro que $Z(h)\subseteq Z(f,g)$, así que bastará probar
que $Z(h)$ es infinito. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $h$
tiene grado~$n>0$ en~$Y$, y escribamos $h=\sum_{i=0}^nh_i(X)Y^i$ con
$h_0$,~$\dots$,~$h_n\in\CC[X]$. Si $a\in\CC$ es tal que $h_n(a)\neq0$,
entonces el polinomio $\sum_{i=0}^nh_i(a)Y^i\in\CC[Y]$ tiene grado
positivo, así que existe $b\in\CC$ tal que
$h(a,b)=\sum_{i=0}^nh_i(a)b^i=0$. Esto nos dice que la imagen de~$Z(h)$ por
la primera proyección~$\CC^2\to\CC$ contiene al
conjunto~$\{a\in\CC:f_n(a)\neq0\}$, que es infinito y prueba que $Z(h)$
mismo es infinito.

Recíprocamente, supongamos que $Z(f,g)$ es infinito. La imagen de~$Z(f,g)$
bajo alguna de las dos proyecciones $\CC^2\to\CC$ debe ser infinita; sin
pérdida de generalidad, podemos suponer que es la primera proyección.
Existen entonces infinitos valores de~$a\in\CC$ tal que existe $b\in\CC$
con $f(a,b)=g(a,b)=0$ y para ellos se tiene $R_Y(f,g)(a)=0$. El
polinomio~$R_Y(f,g)\in\CC[X]$ tiene infinitas raíces, así que debe ser
nulo. Sabemos que esto implica que $f$ y $g$ comparten un factor no
constante en~$\CC[X,Y]$.~\qed
\end{Solucion}

\end{ejercicios}

\end{document}
