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\hyphenation{siguiente como Como abierto existe manera muestra
super-ficie super-ficies}

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\Materia{Geometría Proyectiva}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2011}
\Titulo{Primer Parcial}

\begin{document}

\maketitleParcial
\thispagestyle{empty}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $F:\RR^2\to\RR$ una función suave. La curvatura de la curva
plana definida implícitamente por la ecuación $F(x,y) = c$ en los puntos
donde ésta es regular está dada por
  \[
  \kappa = \frac{F_x^2F_{xx}-2F_xF_yF_{xy}+F_y^2F_{xx}}{(F_x^2+F_y^2)^{3/2}}.
  \]

\begin{Solucion}
La ecuación $F(x,y)=c$ define una curva regular en un entorno de 
cada punto donde~$\nabla F\neq0$. En particular, sin pérdida de generalidad
podemos suponer que esa ecuación define implícitamente una función $y(x)$
tal que $F(x,y(x))=c$. Derivando, vemos que
  \begin{align*}
  &F_x+F_yy'=0, 
  &&F_{xx}+2F_{xy}y'+F_{yy}y'^2+F_yy''=0,
  \end{align*}
de manera que
  \begin{align*}
  &y'=-F_x/F_y, 
  &&y''=-(F_{xx}+2F_{xy}y'+F_{yy}y'^2)/F_y.
  \end{align*}
La curva en cuestión tiene parametrización $x\mapsto (x,y(x))$, así que la
fórmula usual para la curvatura de una curva no necesariamente
parametrizada por longitud de arco nos dice que
  \[
  \kappa = \frac{1\cdot y''-y'\cdot0}{(1+y'^2)^{3/2}}
        = \frac{-(F_{xx}-2F_{xy}F_x/F_y+F_{yy}F_x^2/F_y^2)/F_y}{(1+F_x^2/F_y^2)^{3/2}}
  \]
que es igual a la expresión dada en el enunciado.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sea $\gamma:(a,b)\to\RR^2$ una curva regular, sea $t_0\in(a,b)$ y
supongamos que $r=\norm{\gamma(t_0)}>0$. Si para todo $t\in(a,b)$ es
$\norm{\gamma(t)}\leq r$, entonces el valor absoluto de la curvatura
de~$\gamma$ en~$t_0$ es al menos $1/r$.

\item Usando la parte \ejitem{1}, muestre que si una curva cerrada está
contenida en un disco de radio~$r$, entonces el valor absoluto de a
curvatura es al menos $1/r$ en algún punto.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $t_0=0$ y que
$\gamma$ está parametrizada por longitud de arco. El desarrollo de Taylor
de~$\gamma$ alrededor de~$0$ es
  \[
  \gamma(t) = \gamma(0) + T(0)t + \kappa(0) N(0) t^2/2 + R(t),
  \]
con $R(t)/t^2\to 0$ si $t\to0$. Como la función
$\phi:t\mapsto\lin{\gamma(t),\gamma(t)}$ tiene un máximo local en~$0$, su
derivada allí se anula, y entonces $\gamma(0)$ es ortogonal a~$T(0)$ y, en
consecuencia, paralelo a~$N(0)$. Usando el desarrollo anterior, vemos que
  \[
  \lin{\gamma(t),\gamma(t)} 
        = \lin{\gamma(0),\gamma(0)} + \Bigl(1 + \kappa(0)\lin{\gamma(0),N(0)}\Bigr)t^2
                + S
  \]
con $S/t^2\to0$ si $t\to0$. En particular, $0\geq\phi''(0)=1 +
\kappa(0)\lin{\gamma(0),N(0)}$ y entonces
$-1\geq\kappa(0)\lin{\gamma(0),N(0)}$. Tomando valor absoluto en esta
desigualdad y usando el hecho de que $\gamma(0)$ y $N(0)$ son paralelos y
el segundo vector es unitario, vemos inmediatamente que
$1\leq\abs{\kappa(0)}\norm{\gamma(0)}=r\abs{\kappa(0)}$, lo que es
equivalente a la desigualdad buscada.

\ejitem{2} Supongamos que $\gamma:\RR\to\RR^2$ es una parametrización
periódica de periodo~$p$ de la curva cerrada. La función
$t\in[0,r]\mapsto\norm{\gamma(t)}^2\in\RR$ alcanza entonces su máximo~$r^2$ en
algún punto~$t_0\in\RR$ y es inmediato que estamos en la situación de la
parte~\ejitem{1}.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determine las formas normales general afín real, general afin
compleja y ortogonal de la cuádrica
  \[
  2 x^2+2 x y+2 x z+2 y^2-z^2+2 y z+4 x+4 y+2 z+3 = 0.
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\alpha:I\to\RR^3$ una curva regular.
\begin{ejitems}

\item La curva $\alpha$ está contenida en una esfera sii existe un punto
$p$ tal que para todo~$s\in I$ el vector $\alpha(s)-p$ está en el subespacio
$\lin{N(s),B(s)}$.

\item Supongamos que la curvatura de~$\alpha$ es siempre positiva.
Existe un punto $p$ tal qure $\alpha(s)-p$ está contenido en el plano
$\lin{T(s), B(s)}$ para todo~$s\in I$ sii existen constantes
$a\in\RR\setminus0$ y $b\in\RR$ tales que
  \[
  \frac\tau\kappa = a s + b.
  \]

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Si la curva está contenida en una esfera de centro~$p$,
entonces $\lin{\alpha-p,\alpha-p}$ es constante.
Derivando, vemos que $\lin{T,\alpha-p}=0$ y, como $\{T,N,B\}$ es una base
ortonormal de~$\RR^2$, vemos que existen funciones $a$ y $b$ tales que
$\alpha-p=aN+bB$. Esto prueba la necesidad de la condición.

Recíprocamente, supongamos que hay funciones $a$ y $b$ y un punto~$p$ tales
que $\alpha-p=aN+bB$. Notemos que $a=\lin{\alpha-p,N}$ es diferenciable, y lo
mismo con~$b$. Es
  \[
  \tfrac{\dd}{\dd t}\lin{\alpha-p,\alpha-p}
        = 2\lin{T,\alpha-p}
        = 2\lin{T,aN+bB}
        = 0,
  \]
de manera que $\lin{\alpha-p,\alpha-p}$ es constante: esto nos dice,
claramente, que $\alpha$ se mueve en una esfera centrada en~$p$.

\ejitem{2} Supongamos que existen un punto~$p$ y funciones~$c$ y~$d$ tales
que 
  \begin{equation}
  \alpha-p=cT+dB. \label{eq:pp}
  \end{equation}
Entonces $c=\lin{\alpha-p,T}$ y $d=\lin{\alpha-p,B}$
son funciones diferenciables, y derivando~\eqref{eq:pp} vemos que
  \(
  T = c'T + \kappa c N + d'B + \tau d N
  \),
de manera que $c'=1$, $d'=0$ y $\kappa c+\tau d=0$. Las dos primeras
ecuaciones nos dicen que $c=c_0+s$ para algún~$c_0\in\RR$ y que $d$ es
constante. Si fuese $d=0$, tendríamos que $\alpha-p=(c_0+s)T$, de manera
que $T=T+(c_0+s)\kappa N$ y, en consecuencia, $(c_0+s)\kappa=0$. Esto es
imposible. La tercera ecuación, entonces, nos dice que
  \[
  \kappa(c_0+s)+\tau d = 0,
  \]
que, como $b\neq0$ y $\kappa>0$, es equivalente a la ecuación del
enunciado.

Recíprocamente, supongamos que existen constantes $a\neq0$ y $b$ tales que
$\tau/\kappa=as+b$. Entonces
  \[
  \tfrac{\dd}{\dd t}\big(\alpha-(b/a+s)T-1/aB\bigr)
        = T - T - (b/a+s)\kappa N +\tau/a N
        = \bigl((b/a+s)\kappa+\tau/a\bigr)N
        = 0,
  \]
de manera que $p=\alpha-(b/a+s)T-1/aB$ es constante y $\alpha-p$ está
siempre en el subespacio generado por~$T$ y por~$B$.~\qed
\end{Solucion}

\end{ejercicios}

\end{document}
