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\Materia{Cálculo Avanzado}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2010}
\Practica{9}
\Titulo{Series de funciones y convergencia uniforme}

\begin{document}

\maketitle


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Series en espacios normados}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $E$ un espacio normado, sean $(x_n)_{n\geq1}$ e $(y_n)_{n\geq1}$
sucesiones de~$E$ tales que las series $\sum_{n\geq1}x_n$ y $\sum_{n\geq1}y_n$
convergen, y sea $\lambda\in\KK$.
\begin{ejitems}

\item La serie $\sum_{n\geq1}(x_n+y_n)$ converge a
$\sum_{n\geq1}x_n+\sum_{n\geq1}y_n$.

\item La serie $\sum_{n\geq1}\lambda x_n$ converge a
$\lambda\sum_{n\geq1}x_n$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $B$ un espacio de Banach y sea $(a_n)_{n\geq1}$ una sucesión
en~$B$ tal que $\sum_{n\geq1}a_n$ converge absolutamente. Si
$\sigma:\NN\to\NN$ es una función biyectiva, entonces la serie
$\sum_{n\geq1}a_{\sigma(n)}$ converge al mismo límite.

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Convergencia uniforme}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio métrico y sea $A$ un conjunto. Sea
$(f_n)_{n\geq1}$ una sucesión de funciones $A\to X$ y sea $f:A\to X$.
Entonces $(f_n)_{n\geq1}$ \emph{no} converge uniformemente a~$f$ sobre~$A$
sii existen $\alpha>0$, una subsucesión $(f_{n_k})_{k\geq1}$
de~$(f_n)_{n\geq1}$ y una sucesión $(a_k)_{k\geq1}$ en~$A$ tales que
$d(f_{n_k}(a_k),f(a_k))\geq\alpha$ para todo $k\in\NN$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Encuentre el límite puntual de la sucesión $(f_n)_{n\geq1}$ de
funciones reales definidas sobre $A\subseteq\RR$ en cada uno de los
siguientes casos:
\begin{ejitems}

\item $f_n(x)=x^n$, $A=(-1,1]$;

\item $f_n(x) = x^{-n}\e^x$, $A=(1,+\infty)$;

\item $f_n(x) = n^2x(1-x^2)^n$, $A=[0,1]$.

\end{ejitems}

\item Para la sucesión de~\pitem[roman]{1}, pruebe que la convergencia es
uniforme sobre $(0,\tfrac12)$, y para la de~\pitem[roman]{2}, que es
uniforme sobre $[2,5]$.

\item ¿Es uniforme la convergencia de la sucesión~\pitem[roman]{3}
sobre~$A$?

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Analice la convergencia puntual y uniforme de las siguientes
sucesiones de funciones $(f_n)_{n\geq1}$:
\begin{ejitems}

\item $f_n(x)=n^{-1}\sin nx$, definida en~$\RR$;

\item $f_n(x)=\sin\tfrac xn$, definida en~$\RR$;

\item $f_n(x,y) = \tfrac{n}{n+1}(x,y)$, definida en~$\RR^2$ con valores
en~$\RR^2$;

\item $f_n(x)=(1+\tfrac1n)x$, definidas en~$[0,1]$;

\item $f_n(x)=\begin{cases} 
                \tfrac1n, & \text{si $x\not\in\QQ$ ó $x=0$;} \\
                b+\tfrac1n, & \text{si $x=\tfrac{a}{b}$ y $(a,b)=1$;}
              \end{cases}$
      definidas en~$[0,1]$.

\item $f_n(z)=z^n$, definidas en $\{z\in\CC:\abs{z}<1\}$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto y sea $B(X)$ el conjunto de las funciones
$X\to\CC$ que son acotadas. Sea $(f_n)_{n\geq1}$ una sucesión en~$B(X)$.
\begin{ejitems}

\item Si $(f_n)_{n\geq1}$ converge puntualmente a una función $f:X\to\CC$,
¿es cierto que $f\in B(X)$?

\item Si $(f_n)_{n\geq1}$ converge uniforme a $f:X\to\CC$, entonces $f\in
B(X)$.

\item La sucesión $(f_n)_{n\geq1}$ converge uniformemente a una función
acotada $f:X\to\CC$ sii $(f_n)_{n\geq1}$ converge a $f$ en $(B(X),d_\infty)$.

\item Si $(f_n)_{n\geq1}$ converge uniformemente en~$X$, entonces existe
$M>0$ tal que $\abs{f_n(x)}\leq M$ para todo $x\in X$ y todo $n\in\NN$. En
otras palabras, la sucesión $(f_n)_{n\geq1}$ es \emph{uniformemente
acotada}.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item La sucesión de funciones $f_n:\RR\to\RR$ tales que
  \[
  f_n(x) = \frac{x}{1+x^2} - \frac{x(x^1+1)}{1+(n+1)^2x^2}
  \]
para cada $x\in\RR$, converge puntualmente pero no uniformemente a una
función continua.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Estudie la convergencia puntual y uniforme de las sucesiones
$(f_n)_{n\geq1}$ y $(f_n')_{n\geq1}$ en~$[0,1]$, con
$f_n(x)=\frac{nx^2}{1+nx^2}$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio métrico y sea $(f_n)_{n\geq1}$ una sucesión de
funciones $X\to\RR$ uniformemente continuas que converge uniformemente a
una función $f:X\to\RR$. Estudie la continuidad uniforme de~$f$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio métrico y sean $(f_n)_{n\geq1}$ y $(g_n)_{n\geq1}$
dos sucesiones de funciones $X\to\RR$ que convergen uniformemente
sobre~$X$ a~$f$ y a~$g$, respectivamente.
\begin{ejitems}

\item La sucesión $(f_n+g_n)_{n\geq1}$ converge uniformemente a $f+g$
sobre~$X$.

\item Si ambas sucesiones están uniformemente acotadas, entonces
$(f_ng_n)_{n\geq1}$ converge uniformemente a~$fg$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio métrico compacto y sea $A$ un conjunto. Si
$(f_n)_{n\geq1}$ es una sucesión de funciones continuas $X\to\RR$ que
converge uniformemente a $f:X\to\RR$, y si $(g_n)_{n\geq1}$ es una sucesión
de funciones que converge uniformemente a una función $g:A\to X$, entonces
la sucesión $(f_n\circ g_n)_{n\geq1}$ de funciones $A\to\RR$ converge uniformemente a $f\circ g$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Teorema de Dini} Sea $X$ un espacio métrico compacto y sea
$(f_n)_{n\geq1}$ una sucesión de funciones continuas $X\to\RR$ tales que
\begin{itemize}

\item $f_n(x)\geq f_{n+1}(x)$ para todo $x\in X$ y todo $n\in\NN$, y

\item $(f_n)_{n\geq1}$ converge puntualmente a una función $f:X\to\RR$ que
es continua.

\end{itemize}
Entonces $(f_n)_{n\geq1}$ converge uniformemente a~$f$ en~$X$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio métrico compacto, sea $(f_n)_{n\geq1}$ una
sucesión de funciones continuas $X\to\RR$ y sea $f:X\to\RR$ una función
continua. Entonces $(f_n)_{n\geq1}$ converge uniformemente a~$f$ sii para
toda sucesión $(x_n)_{n\geq1}$ en~$X$ que converge la sucesión
$(f_n(x))_{n\geq1}$ converge en~$\RR$ a $f(\lim_{n\to\infty}x_n)$.

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Equicontinuidad}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $X$ e $Y$ espacios métricos. Una familia $\F$ de funciones $X\to
Y$ es \emph{equicontinua} en~$x_0\in X$ si para todo $\eps>0$ existe
$\delta>0$ tal que
  \[
  d(x,x_0)<\delta \implies \forall f\in\F, \; d(f(x),f(x_0))<\eps.
  \]
\begin{ejitems}

\item Cualquier familia finita de funciones $X\to Y$ continuas en~$x_0\in
X$ es equicontinua en~$x_0$.

\item Sea $B(X,Y)$ el conjunto de todas las funciones $X\to Y$ que son acotadas.
Si $\F\subseteq B(X,Y)$ es una familia equicontinua, entonces $\overline\F$
también es equicontinua.

\end{ejitems}
Supongamos desde ahora que $X$ es compacto.
\begin{ejitems}[resume]

\item Si $\F$ es una familia equicontinua de funciones $X\to Y$, entonces
$\F$ es uniformemente equicontinua.

\item Si $(f_n)_{n\geq1}$ es una sucesión de funciones continuas $X\to Y$
que converge uniformemente en~$X$, entonces $\{f_n:n\geq1\}$ es una familia
equicontinua.

\item Si $(f_n)_{n\geq1}$ es una sucesión de funciones $X\to Y$
uniformemente equicontinua que converge puntualmente
a~$f:X\to Y$, entonces esa convergencia es uniformemente
en~$X$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(f_n)_{n\geq1}$ una sucesión de funciones $[a,b]\to\RR$
integrables y uniformemente acotadas y para cada $n\geq1$ sea
$F_n:[a,b]\to\RR$ tal que
  \[
  F_n(x) = \int_a^xf_n(\xi)\,\d\xi
  \]
para cada $x\in[a,b]$. Entonces la sucesión $(F_n)_{n\geq1}$ posee una
subsucesión que converge uniformemente sobre~$[a,b]$.

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Series de funciones}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio métrico y sea $(f_n)_{n\geq1}$ una sucesión de
funciones continuas $X\to\RR$ tal que $\sum_{n\geq1}f_n$ converge
uniformemente en~$X$.
\begin{ejitems}

\item La función suma $f=\sum_{n\geq1}f_n$ es continua en~$X$.

\item Si $X=[a,b]$, entonces $\int_a^bf(x)\,\d
x=\sum_{n\geq1}\int_a^bf_n(x)\,\d x$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Criterio de Weierstra\ss} Sea $X$ un espacio métrico, sea
$(M_n)_{n\geq1}$ una sucesión de números reales y sea $(f_n)_{n\geq1}$ una
sucesión de funciones $X\to\RR$ tales que $\abs{f_n(x)}\leq M_n$ para cada
$x\in X$ y cada $n\geq1$. Si $\sum_{n\geq1}M_n$ converge, entonces
$\sum_{n\geq1}f_n$ converge absoluta y uniformente en~$X$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $(a_n)_{n\geq1}$ es una sucesión de escalares (reales o complejos)
tal que $\sum_{n\geq1}a_n$ converge absolutamente, entonces las dos series de
funciones $\sum_{n\geq1}a_n\cos nx$ y $\sum_{n\geq1}b_n\sin nx$ convergen
absoluta y uniformente en~$\RR$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Es $\sin x=\sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}$ para
todo~$x\in\RR$ y la serie converge absoluta y uniformente en todo intervalo
finito. ¿Qué sucede en~$\RR$?

\item La función $f(x)=\sum_{n\geq0}\left(\frac{x^n}{n!}\right)^2$ está bien
definida en~$\RR$ y es allí continua.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $x\in\RR$, sea $f(x)=\sum_{n\geq1}(1+n^2x^2)^{-1}$.

\begin{ejitems}

\item Determine el subconjunto de~$\RR$ sobre el cual esta definición tiene
sentido.

\item ¿Sobre qué intervalos es uniforme la convergencia?

\item ¿Sobre qué intervalos \emph{no} es uniforme la convergencia?

\item ¿Es $f$ continua en su dominio?

\item ¿Es $f$ acotada?

\end{ejitems}

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[hp]

\vspace*{2cm}

\foto{Stokes}{George Gabriel Stokes\\1819--1903, Irlanda/Inglaterra}{%
Junto con Philipp Ludwig von Seidel fue, en 1847, el primero en precisar la
noción de convergencia uniforme y obtener los resultados básicos
correspondientes. La teoría había sido iniciada por Augustin Louis Cauchy 
en 1821, pero ese tratamiento adolecía de errores graves.
}

\vspace*{1cm}

\end{figure}

\end{document}
