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\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\overfullrule5pt
\relpenalty=10000
\binoppenalty=10000
\hyphenation{siguiente}

\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}

\renewcommand\P{\mathscr{P}}
\newcommand\V{\mathscr{V}}
\newcommand\U{\mathscr{U}}
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\newcommand\B{\mathscr{B}}
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\newcommand\A{\mathscr{A}}
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\renewcommand\d{\mathrm{d}}


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\let\emptyset\varnothing
\let\eps\varepsilon
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\hyphenation{sobre}

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\Materia{Cálculo Avanzado}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2010}
\Practica{7}
\Titulo{Conexión}

\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Conexión}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Determine cuáles de los siguientes conjuntos son conexos:
  \begin{align*}
  &\{x\in\RR^2:0<\abs{x}<2\},
  &&\NN,
  &&[0,1), \\
  &\QQ,
  &&\{\tfrac1n:n\in\NN\}.
  \end{align*}

\item Si $X$ es un espacio métrico, $x\in X$ y $\eps>0$, ¿es
$B(x,\eps)$ un conjunto conexo?

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Describa un par de conjuntos conexos $A$,~$B\subseteq\RR^n$ tales que 
\begin{ejitems}

\item $A\cap B$ no sea conexo;

\item $A\setminus B$ no es conexo.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio métrico y sea $C\subseteq X$.
\begin{ejitems}

\item Si $C$ es conexo y $x\in X$ es un punto de acumulación de~$C$,
entonces $C\cup\{x\}$ es conexo.

\item Determine la validez de las siguientes afirmaciones:
\begin{ejitems}

\item Si $C$ es conexo, entonces $C^\circ$ es conexo.

\item Si $C$ es conexo, entonces $\overline C$ es conexo.

\end{ejitems}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio métrico y sea $C\subseteq X$. Las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
\begin{ejitems}

\item $C$ es conexo.

\item No existen abiertos $U$,~$V\subseteq X$ tales que $U\cap
V=\emptyset$, $C\cap U\neq\emptyset$, $C\cap V\neq\emptyset$ y $C\subseteq
U\cup V$.

\item Si $A\subseteq C$ es abierto y cerrado en~$C$ y no es vacío, entonces
$A=C$.

\item Toda función continua $f:C\to\{0,1\}$ es constante.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio métrico y sea $\A$ una familia de conjuntos
conexos de~$A$ tal que 
  \[
  \claim{si $A$,~$B\in\A$, entonces existen $m\in\NN_0$ y 
  $A_0$,~$A_1$,~\dots,~$A_m\in\A$ tales que $A_0=A$, $A_m=B$ y $A_i\cap
  A_{i+1}\neq\emptyset$ para cada $i\in\{0,\dots,m-1\}$.}
  \]
Entonces $\bigcup_{A\in\A}A$ es conexo.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Una función continua $f:\RR\to\ZZ$ es necesariamente constante.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $n\geq2$, no existe un homeomorfismo entre~$\RR$ y $\RR^n$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Si $f:[0,1]\to[0,1]$ es continua, entonces existe $\xi\in[0,1]$ tal
que $f(\xi)=\xi$.

\item Sea $X$ un espacio métrico conexo y sea $f:X\to\RR$ una función
continua. Si $a$,~$b\in f(X)$ y $a\leq b$, entonces para cada $c\in(a,b)$
existe $x\in X$ tal que $f(x)=c$. ¿Vale la implicación recíproca?

\item Si $X$ es un espacio métrico conexo, entonces o bien $\abs{X}=1$
o bien $\abs{X}\geq c$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Describa las componentes conexas de los siguientes subconjuntos
de~$\RR$ y de~$\RR^2$.
{\columnsep0pt
\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}

\item $\arcsin[\frac{\sqrt2}{2},1]$,

\item $\QQ$,

\item $B\bigl((-1,0),1\bigr)\cup B\bigl((1,0),1\bigr)$,

\item $B\bigl((-1,0),1\bigr)\cup B\bigl((1,0),1\bigr)\cup\{(0,0)\}$,

\end{ejitems}
\end{multicols}
}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Para cada $n\in\NN$ sea $A_n=\{\frac1n\}\times[0,1]\subseteq\RR^2$,
sea $X=\{(0,0),(0,1)\}\cup\bigcup_{n\in\NN}A_n$. 
\begin{ejitems}

\item $\{(0,0)\}$ y $\{(0,1)\}$ son componentes conexas de~$X$.

\item Si $B\subseteq X$ es abirto y cerrado en~$X$, entonces
o bien $\{(0,0),(0,1)\}\subseteq B$ o bien $\{(0,0),(0,1)\}\cap B=\emptyset$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $X$ es un espacio métrico, las componentes conexas de~$X$ son
conjuntos cerrados. ¿Son abiertos?

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Arco-conexión}

Sea $X$ un espacio métrico. Un subconjunto $A\subseteq X$ es
\emph{arco-conexo} (o \emph{conexo por arcos}) si para cada par de
puntos~$a$,~$b\in A$ existe una función continua $f:[0,1]\to X$ tal que
$f(0)=a$ y $f(1)=b$.

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Un conjunto arco-conexo es conexo.

\item Dé un ejemplo de un conjunto conexo pero no arco-conexo.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son arco-conexos?
\begin{ejitems}

\item $\{(x,y,z)\in\RR^3:z=f(x,y)\}$, donde $f:\RR^2\to\RR$ es una función
continua.

\item $B(0,1)\subseteq\RR^n$.

\item $\RR^n\setminus B(0,1)$.

\item $\RR^2\setminus\{(x,0):x\in\RR\}$.

\item $\RR^2\setminus\{(0,0)\}$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $X$ e $Y$ dos espacios métricos y supongamos que $X$ es arco-conexo.
Si $f:X\to Y$ es una función continua, entonces $f(X)$ es un subconjunto
arco-conexo de~$Y$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que el subconjunto
  \[
  U = \{f\in C[0,1]: \text{$f(x)\neq0$ para todo $x\in[0,1]$}\}.
  \]
de $(C[0,1],d_\infty)$ es un abierto y determine sus componentes
conexas.

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\begin{figure}[hp]

%\vspace*{2cm}

%\foto{Aleksandrov}{Pavel Sergeevich Aleksandrov\\1896--1982, Rusia/Unión Soviética}{}

%\vspace*{1cm}

%\end{figure}

\end{document}
