%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\Materia{Cálculo Avanzado}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2010}
\Practica{6}
\Titulo{Compacidad y continuidad uniforme}

\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Compacidad}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Si $(a_n)_{n\geq1}$ es una sucesión en~$\RR$ tal que
$\lim_{n\to\infty}a_n=0$, entonces el conjunto
$\{0\}\cup\{a_n:n\geq1\}\subseteq\RR$ es
compacto.

\item El intervalo~$(0,1]\subseteq\RR$ no es compacto.

\item Sean $a$,~$b\in\RR\setminus\QQ$ y sea $S=(a,b)\cap\RR$. El
conjunto~$S$ es cerrado y acotado pero no compacto en~$(\QQ,d)$, con $d$ la
restricción de la métrica usual de~$\RR$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $\U$ un cubrimiento abierto del conjunto $E=\{0\}\cup\{a_n:n\geq1\}$.
Existe $U_0\in\U$ tal que $0\in E$ y existe $\eps>0$ tal que
$B(0,\eps)\subseteq U_0$. Además, como $x_n\to0$ si $n\to\infty$, existe
$n_0\in\NN$ tal que si $n\geq n_0$ entonces $x_n\in B(x,\eps)$.
Por otro lado, para cada $n<n_0$ existe $U_n\in E$ tal que $x_n\in U_n$.
Es claro que $\U'=\{U_0\}\cup\{U_n:n<n_0\}$ es un subcubrimiento de~$\U$.
Esto muestra que~$E$ es compacto.

\ejitem{2} Sea $\U=\{(\tfrac1n,2):n\geq1\}$. Se trata de un cubrimiento
abierto de~$(0,1]$. Sea $\U'\subseteq\U$ un subconjunto finito, y sea
$n_0=\max\{n\in\NN:(\tfrac1n,2)\in\U'\}$; notemos que esto tiene sentido
precisamente porque $\U'$~es finito. Ahora bien, es claro que
$\bigcup_{U\in\U'}U=(\tfrac{1}{n_0},2)$, así que $\U'$ no cubre a~$(0,1]$.
Esto muestra que~$(0,1]$ no es compacto.

\ejitem{3} Como $a$,~$b\not\in\QQ$, es $S=[a,b]\cap\QQ$, así que $S$ es un
cerrado de~$\QQ$, y es claro que se trata de un conjunto acotado. Sabemos
que existe una sucesión $(x_n)_{n\geq1}$ de elementos de~$S=(a,b)\cap\QQ$
que converge a~$a$ en~$\RR$. Sea $(y_n)_{n\geq1}$ una subsucesión
de~$(x_n)_{n\geq1}$.

Claramente $(y_n)_{n\geq1}$ converge a~$a$ en~$\RR$, de manera que es
entonces una sucesión de Cauchy en~$\RR$. Se sigue inmediatamente que
también es una sucesión de Cauchy en~$\QQ$. Pero como su límite en~$\RR$ no
pertenece a~$\QQ$, no converge en~$\QQ$.

Así, vemos que ninguna subsucesión de~$(x_n)_{n\geq1}$ converge en~$S$.
Esto solo es posible si~$S$ no es compacto.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Un espacio metrico compacto es separable.

\begin{Solucion}
Sea $X$ un espacio métrico compacto.

Sea $n\in\NN$. El conjunto $\{B(x,\tfrac1n):x\in X\}$ es un cubrimiento
abierto de~$X$, así que existe un conjunto finito $X_n\subseteq X$ tal que 
$\U_n=\{B(x,\tfrac1n):x\in X_n\}$ también es un cubrimiento.
Sea $D=\bigcup_{n\geq1}X_n$. Veamos que se trata de un subconjunto denso
en~$X$.

Sea $y\in X$ y sea $\eps>0$. Existe $n\in\NN$ tal que $\eps>\tfrac1n$ y,
como $\U_n$~es un cubrimiento, existe $x\in X_n$ tal que $y\in
B(x,\tfrac1n)$. Entonces $d(y,D)\leq d(y,x)<\frac1n<\eps$. Como $\eps$~es
arbitrario, esto implica que $y\in\overline D$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\label{ej:E} Para cada $n\in\NN$ sea
$e^n=(e^n_k)_{k\geq1}\in\ell^\infty$ tal que
  \[
  e^n_k = 
    \begin{cases}
    0, & \text{si $k\neq n$;} \\
    1, & \text{si $k=n$.}
    \end{cases}
  \]
El conjunto~$E=\{e^n:n\geq1\}\subseteq\ell^\infty$ es discreto, cerrado y
acotado, pero no es compacto.

\begin{Solucion}
Como $d(e^n,0)=1$ para todo $n\in\NN$, vemos que $E\subseteq B(0,2)$ y,
entonces, que $E$ es acotado. Por otro lado, si $n$,~$m\in\NN$ son tales
que $e^m\in B(e^n,\tfrac12)\cap E$, entonces
$\tfrac12>d(e^m,e^n)=\sup_{k\geq1}\abs{e^m_k-e^n_k}$, y esto es posible
sólo si~$n=m$. Esto muestra que para cada~$n\in\NN$ es $B(e^n,\tfrac12)\cap
E=\{e^n\}$ y, en consecuencia, que $E$~es discreto.

Como un discreto en un espacio métrico es cerrado, para terminar queda
mostrar que~$E$ no es compacto. El conjunto $\U=\{B(e^n,\tfrac12):n\geq1\}$
es un cubrimiento abierto de~$E$ y vimos que cada uno de sus elementos
contiene exactamente un elemento de~$E$: esto implica inmediatamente que
ningún subconjunto finito de~$\U$ cubre a~$E$, porque $E$~es infinito y
muestra, como queríamos, que $E$~no es compacto.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $(X,d)$ es un espacio métrico compacto y $\U=\{U_i:i\in I\}$ es un
cubrimiento abierto de~$X$, un número $\eps>0$ es un \emph{número de
Lebesgue} para~$\U$ si para todo $x\in X$ existe $i\in I$ tal que
$B(x,\eps)\subseteq U_i$.

Muestre que todo cubrimiento de un espacio métrico compacto posee un número de
Lebesgue.

\begin{Solucion}
Sea $X$ un espacio métrico compacto y sea $\U$ un cubrimiento abierto
de~$X$. Para cada $x\in X$ existe $U_x\in\U$ tal que $x\in U_x$ y, como
$U_X$~es abierto, existe $\delta_x>0$ tal que $B(x,\delta_x)\subseteq U$.
El conjunto $\{B(x,\delta_x):x\in X\}$ es un cubrimiento abierto de~$X$,
así que existe un subconjunto finito $X'\subseteq X$ tal que
$\{B(x,\delta_x):x\in X\}$ cubre a~$X$. Sea $\delta=\min\{\delta_x:x\in
X'\}$; como $X'$ es finito, es~$\delta>0$.

Si $x\in X$, entonces $B(x,\delta)\subseteq B(x,\delta_x)\subseteq
U_x\in\U$. Esto nos dice que $\delta$~es un número de Lebesgue
para~$\U$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico. 
\begin{ejitems}

\item Toda unión finita y toda intersección (finita o infinita) de
subconjuntos compactos de~$S$ es compacta.

\item Si $(X,d)$ es compacto, todo subconjunto cerrado de~$X$ es compacto.

\item Un subconjunto $F\subseteq X$ es cerrado sii para todo compacto
$K\subseteq X$ la intersección $F\cap K$ es cerrada.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\textcolor{red}{Hacer}.
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $c_0=\{(x)_{n\geq1}\in\RR^\NN:\lim_{n\to\infty}x_n=0\}$. Notemos
que $c_0\subseteq\ell^\infty$, así que podemos considerar a~$x_0$ como un
subespacio métrico de~$\ell^\infty$ con la métrica~$d_\infty$.
\begin{ejitems}

\item Si $x\in c_0$, entonces la bola cerrada $B[x,1]$ no es compacta.

\item El espacio $(c_0,d_\infty)$ es separable.

\end{ejitems}

\begin{Solucion} 
\ejitem{1} El conjunto $E\subseteq\ell^\infty$ construido en el
ejercicio~\eqref{ej:E} tiene todos sus puntos aislados en~$\ell^\infty$ y
está contenido en la bola~$B[0,1]$ de~$c_0$. Se sigue de esto que
$B[0,1]\subseteq c_0$ no es compacto. 

Si ahora $x\in c_0$ es cualquiera, entonces la función $y\in B[0,1]\mapsto
y+x\in B[x,1]$ es claramente un homeomorfismo. Así, $B[x,1]$ tampoco es
compacto.

\ejitem{2} Sea $D\subseteq c_0$ el subconjunto de las sucesiones de~$c_0$
que tiene un número finito de componentes no nulas. Se trata de un conjunto
numerable.

Sea $x=(x_n)_{n\geq1}\in c_0$ y sea $\eps>0$. Como
$\lim_{n\to\infty}x_n=0$, existe $n_0\in\NN$ tal que $\abs{x_n}<\eps$
si~$n\geq n_0$. Sea $y=(y_n)_{n\geq1}$ la sucesión tal que $y_n=x_n$ si
$n\leq n_0$ y $y_n=0$ si~$n>n_0$. Entonces $y\in D$ y
  \[
  dinfty(x,y)
    = \sup_{n\geq1}\abs{x_n-y_n} 
    = \sup_{n>n_0}\abs{x_n-y_n}
    < \eps.
  \]
Luego $d(x,D)<\eps$ y la arbitrariedad de~$\eps$ implica que $x\in\overline
D$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\label{ej:producto} Sean $(X,d_X)$ e~$(Y,d_Y)$ dos espacios métricos.
El espacio $(X\times Y,d_\infty)$ es compacto sii $(X,d_X)$ e~$(Y,d_Y)$ lo
son.

\begin{Solucion}
\textcolor{red}{Hacer}.
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Un subconjunto compacto y no vacío de~$\RR$ tiene máximo y mínimo.

\begin{Solucion}
Por simetría, bastará mostrar que un subconjunto compacto~$K\subseteq\RR$
tiene máximo.

El conjunto $\{(-\infty,a):a\in\RR\}$ es un cubrimiento abierto de~$K$, así
que existe $F\subseteq K$ finito tal que $K\subseteq\bigcup_{a\in
F}(-\infty,a)$. Como $F$~es finito, podemos considerar $\alpha=\max F$ y
claramente $\bigcup_{a\in F}(-\infty,a)=(-\infty,\alpha)$. Esto muestra que
$\alpha$~es una cota superior para~$K$. 

Como $K$ no es vacío, existe $M=\sup K$. Existe además una
sucesión~$(x_n)_{n\geq1}$ en~$K$ tal que $x_n\to M$ si $n\to\infty$. Como
$K$~es compacto, hay una subsucesión~$(y_n)_{n\geq1}$ de~$(x_n)_{n\geq1}$
que converge en~$K$. En particular
$K\ni\lim_{n\to\infty}y_n=\lim_{n\to\infty}x_n=M$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico y sea $A\subseteq X$ un compacto. Si
$f:A\to\RR$ es continua y $f(x)>0$ para todo $x\in A$, entonces existe $c>0$
tal que $f(x)\geq c$ para todo $x\in A$.

\begin{Solucion}
Supongamos que no, de manera que para todo $n\in\NN$ existe $x_n\in A$ tal
que $f(x_n)<\tfrac1n$. Como $A$ es compacto, existe una función
estrictamente creciente $\phi:\NN\to\NN$ tal que la
subsucesión~$(x_{\phi(n)})_{n\geq1}$ de~$(x_n)_{n\geq1}$ converge a un
punto~$\xi\in A$. Pero entonces $0<c\leq
f(\xi)=\lim_{n\to\infty}f(y_{\phi(n)})=0$: esto es absurdo.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico.
\begin{ejitems}

\item Sea $K\subseteq X$ un compacto y sea $x\in X\setminus K$. Entonces
existe $y\in K$ tal que $d(x,K)=d(x,y)$.

\item Si $F$,~$K\subseteq X$ son subconjuntos disjuntos tales que $F$~es
cerrado y $K$~es compacto, entonces $d(F,K)>0$.

\item Si $K_1$,~$K_2\subseteq X$ son compactos disjuntos, entonces existen
$x_1\in K_1$ y $x_2\in K_2$ tales que $d(K_1,K_2)=d(x_1,x_2)$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $\delta=d(x,K)=\sup_{z\in K}d(x,z)$. Existe entonces una
sucesión~$(z_n)_{n\geq1}$ en~$K$ tal que
$\lim_{n\to\infty}d(x,z_n)=\delta$. Como $K$ es compacto, existe una
función estrictamente creciente $\phi:\NN\to\NN$ tal que la sucesión
$(z_{\phi(n)})_{n\geq1}$ de~$(z_n)_{n\geq1}$ converge a un punto~$y\in K$;
notemos que como $(d(x,z_{\phi(n)}))_{n\geq1}$ es una subsucesión
de~$(d(x,z_n))_{n\geq1}$ y esta última converge a~$\delta$, aquella también
lo hace.

La función $z\in X\mapsto d(x,z)\in\RR$ es continua, así que
$d(x,y)=\lim_{n\to\infty}d(x,z_n)=\delta$. El punto~$y$ satisface la
condición deseada.

\ejitem{2} Supongamos que $d(F,K)=0$, de manera que existen sucesiones
$(f_n)_{n\geq1}$ en~$F$ y~$(k_n)_{n\geq1}$ en~$K$ tales que
$d(f_n,k_n)\to0$ si $n\to\infty$. Como $K$ es compacto, a menos de
reemplazar a~$(k_n)_{n\geq1}$ por una de sus subsucesiones y
a~$(f_n)_{n\geq1}$ por la correspondiente subsucesión, podemos suponer que
$(k_n)_{n\geq1}$ converge a un elemento~$k\in K$.

Ahora bien, si $n\in\NN$ entonces $d(f_n,k)\leq d(f_n,k_n)+d(k_n,k)\to0$ si
$n\to\infty$, así que la sucesión $(f_n)_{n\geq1}$ converge a~$k$. Como se
trata de una sucesión en~$F$ y $F$ es cerrado, esto implica que $k\in F$.
Esto es absurdo, ya que $K\cap F=\emptyset$ por hipótesis.

\ejitem{3} De acuerdo al ejercicio~\ref{ej:producto}, el
subespacio~$K\times K$ de~$(X\times X,d_\infty)$ es compacto.
Como la función distancia~$d:K\times K\to\RR$ es continua, existe
$(k_1,k_2)\in K\times K$ tal que $f(k_1,k_2)=\inf\{f(x_1,x_2):(x_1,x_2)\in
K\times K\}$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico compacto y sea $f:X\to\RR$ una función
superiormente semicontinua. Entonces $f$ está acotada superiormente en~$X$
y alcanza su máximo.

\begin{Solucion}
Supongamos primero que $f$ no está acotada superiormente, de manera que
existe una sucesión $(x_n)_{n\geq1}$ en~$X$ tal que $f(x_n)\to\infty$ si $n\to \infty$. Como
$X$ es compacto, podemos suponer, a menos de reemplazar a~$(x_n)_{n\geq1}$
por una de sus subsucesiones, que $(x_n)_{n\geq1}$ converge a un
punto~$\xi\in X$. Ahora bien, como $f$ es superiormente semicontinua
en~$\xi$, existe $\delta>0$ tal que si $x\in B(\xi,\delta)$ entonces
$f(\xi)+1>f(x)$. Como $f(x_n)\to\infty$ y $x_n\to\xi$ si $n\to\infty$,
existe $N\in\NN$ tal que $f(x_n)>f(\xi)+1$ y $d(\xi,x_n)<\delta$ si $n\geq N$.
Pero entonces $f(\xi)+1<f(x_N)<f(\xi)+1$, lo que es absurdo. Esta
Esta contradicción implica que $f$ sí está acotada superiormente.

Sea $M=\sup\{f(x):x\in X\}$. Existe una sucesión $(x_n)_{n\geq1}$
en~$X$ tal que $f(x_n)\to M$ si $n\to\infty$. Como $X$ es compacto,
podemos suponer, a menos de reemplazar a~$(x_n)_{n\geq1}$ por una de sus
subsucesiones, que $(x_n)_{n\geq1}$ converge a un punto~$\xi\in X$.

Sea $\eps>0$. Como $f$ es superiormente semicontinua en~$\xi$, existe
$\delta>0$ tal que si $x\in B(\xi,\delta)$ entonces $f(\xi)+\eps>f(x)$.
Como $x_n\to\xi$ si $n\to\infty$, existe $N\in\NN$ tal que $x_n\in
B(\xi,\delta)$ si $n\geq N$, así que $f(\xi)+\eps>f(x_n)$ para cada $n\geq
N$. Esto implica que $f(\xi)+\eps\geq\lim_{n\to\infty}f(x_n)=M$ y la
arbitrariedad de~$\eps$, a su vez, implica que $f(\xi)\geq M$. Por la forma
en que fue definido~$M$, entonces, vemos que $f(\xi)=M$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ dos espacios métricos y sea $f:X\to Y$ una
función continua y biyectiva. Si $(X,d_X)$ es compacto, entonces $f$~es un
homeomorfismo.

\begin{Solucion}
\textcolor{red}{Hacer}.
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico compacto. Para cada espacio métrico
$(Y,d')$ la proyección $\pi:X\times Y\to Y$ es cerrada, si dotamos
a~$X\times Y$ de su métrica~$d_\infty$.

\begin{Solucion}
\textcolor{red}{Hacer}.
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $(X,d_X)$ e~$(Y,d_Y)$ dos espacios métricos y sea $f:X\to Y$ una
función. Si $Y$ es compacto y el gráfico de~$f$ es cerrado en~$(X\times
Y,d_\infty)$, entonces $f$~es continua.

\begin{Solucion}
\textcolor{red}{Hacer}.
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:\RR\to\RR$ una función continua y abierta.
\begin{ejitems}

\item La función~$f$ no posee extremos locales.

\item Existen $a$,~$b\in\RR\cup\{-\infty,\infty\}$ tales que
$f(\RR)=(a,b)$.

\item La función $f:\RR\to(a,b)$ es un homeomorfismo, y ella y su inversa
son monótonas.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Supongamos, por ejemplo, que $f$~tiene un máximo local
en~$\xi\in\RR$, de manera que existe $\delta>0$ tal que $f(x)\leq f(\xi)$
si $x\in B(\xi,\delta)$. Pero $B(\xi,\delta)$ es un abierto y $f$ es
abierta por hipótesis, así que como $f(\xi)\in f(B(\xi,\delta))$, debe
existir $\eps>0$ tal que $B(f(\xi),\eps)\subseteq f(B(\xi,\delta))$. En
particular, debe existir $x\in B(\xi,\delta)$ tal que
$f(x)=f(\xi)+\eps/2>f(\xi)$. Esto es imposible.

\ejitem{2} \textcolor{red}{Hacer}.

\ejitem{3} \textcolor{red}{Hacer}.
\end{Solucion}

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Continuidad uniforme}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sean $a$,~$b\in\RR$ tales que $a<b$, y sea $f:[a,\infty)\to\RR$ una
función que es uniformemente continua en~$[a,b]$ y en~$[b,\infty)$.
Entonces $f$ es uniformemente continua en todo su dominio.

\item La función $x\in[0,+\infty)\mapsto\sqrt{x}\in\RR$ es uniformemente
continua.

\item Si $f:\RR\to\RR$ es continua y
$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}f(x)=0$, entonces $f$~es
uniformemente continua.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ dos espacios métricos, sea $c\geq0$ y sea $f:X\to Y$ una
función tal que
  \[
  d_Y(f(x_1),f(x_2))\leq c d(x_1,x_2))
  \]
para cada $x_1$,~$x_2\in X$. Entonces $f$~es uniformemente continua.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sean $(X,d_X)$ e~$(Y,d_Y)$ espacios métricos, sea $A\subseteq X$ un
subconjunto y sea $f:X\to Y$ una función. Si existen $a>0$, $n_0\in\NN$ y sucesiones
$(x_n)_{n\geq1}$ e~$(y_n)_{n\geq1}$ en~$A$ tales que
  \begin{itemize}
  \item $d_X(x_n,y_n)\to0$ si $n\to\infty$, y
  \item $d_Y(f(x_n),f(y_n))\geq a$ para todo $n\geq n_0$,
  \end{itemize}
entonces $f$~no es uniformemente continua en~$A$.

\item La función $x\in\RR\mapsto x^2\in\RR$ no es uniformemente continua
en~$\RR$. ¿Lo es en~$(-\infty,-\pi]$?

\item La función $x\in(0,1)\mapsto\sin(1/x)\in\RR$ no es uniformemente
continua.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Si $f:X\to Y$ una función uniformemente continua entre espacios
métricos y $(x_n)_{n\geq1}$ es una sucesión de Cauchy en~$X$, entonces
$(f(x_n))_{n\geq1}$ es una sucesión de Cauchy en~$Y$.

\item Sea $f:(X,d_X)\to(Y,d_Y)$ un homeomorfismo uniforme. Entonces $(X,d_X)$ es
completo sii~$(Y,d_Y)$ lo es.

Notemos que se sigue de esto que un espacio métrico es completo para una
métrica sii lo es para cualquier otra métrica uniformemente equivalente.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Dé un ejemplo de una función $f:\RR\to\RR$ que sea acotada y continua
pero no uniformemente continua.

\item Dé un ejemplo de una función $f:\RR\to\RR$ uniformemente continua y
no acotada.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $f:(X,d_X)\to(Y,d_Y)$ es una función uniformemente continua y 
$A$,~$B\subseteq X$ son conjuntos no vacíos tales que $d_X(A,B)=0$, entonces
$d_Y(f(A),f(B))=0$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $X$ e $Y$ espacios métricos y supongamos que $Y$~es completo.
Sea $D\subseteq X$ un subconjunto denso y sea $f:D\to Y$ una función
uniformemente continua. Entonces existe una única extensión continua
$\overline f:X\to Y$ de~$f$, esto es, existe una única función
continua~$\overline f:X\to Y$ tal que $\overline f|_D=f$. Más aún, la
función~$\overline f$ es uniformemente continua.

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[hp]

\vspace*{2cm}

\foto{Aleksandrov}{Pavel Sergeevich Aleksandrov\\1896--1982, Rusia/Unión
Soviética}{
Junto con Pavel Urysohn, Aleksandrov introdujo en~1929 la noción moderna de
compacidad.
}

\vspace*{1cm}

\end{figure}

\end{document}
