%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
\usepackage[nosolutions]{practicas}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\overfullrule5pt
\relpenalty=10000
\binoppenalty=10000
\hyphenation{siguiente}

\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}

\renewcommand\P{\mathscr{P}}
\newcommand\V{\mathscr{V}}
\newcommand\U{\mathscr{U}}
\newcommand\F{\mathscr{F}}
\newcommand\B{\mathscr{B}}
\newcommand\X{\mathscr{X}}
\newcommand\e{\mathrm{e}}
\renewcommand\d{\mathrm{d}}


\let\nbd\nobreakdash
\let\emptyset\varnothing
\let\eps\varepsilon
\DeclarePairedDelimiter\norm{\lVert}{\rVert}
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}
\DeclarePairedDelimiter\inn{\langle}{\rangle}
\DeclareMathOperator\diam{diam}
\renewcommand\d{\,\mathrm{d}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}

\hyphenation{sobre}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\Materia{Cálculo Avanzado}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2010}
\Practica{5}
\Titulo{Funciones continuas}

\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $X$ e $Y$ espacios métricos, y sea $f:X\to Y$ una función.
\begin{ejitems}

\item\label{ej:cont-sec} La función $f$ es continua en~$x_0\in X$ sii para
toda sucesión $(x_n)_{n\geq1}$ en~$x$ tal que $\lim_{n\to\infty}x_n=x_0$ se
tiene que $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)$.

\item Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
\begin{ejitems}

\item La función $f$ es continua.

\item\label{ej:cont-ab} Para cada abierto $G\subseteq Y$, el conjunto
$f^{-1}(G)$ es abierto en~$X$.

\item\label{ej:cont-cerr} Para cada cerrado $F\subseteq Y$, el conjunto
$f^{-1}(F)$ es cerrado en~$X$.

\end{ejitems}

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} ($\Longrightarrow$) Sea $(x_n)_{n\geq1}$ una sucesión en~$X$ que
converge a~$x_0\in X$. Sea $\eps>0$. Como $f$ es continua en~$x_0$, existe
$\delta>0$ tal que si $x\in B(x_0,\delta)$ entonces $f(x)\in
B(f(x_0),\eps)$ y, como $\lim_{n\to\infty}x_n=x_0$, existe $N\in\NN$ tal que
si $n\geq N$ es $d(x_n,x_0)<\delta$. Si $n\geq N$, entonces
$x_n\in B(x_0,\delta)$, así que $f(x_n)\in B(f(x_0),\eps)$, esto es,
$d(f(x_n),f(x_0))<\eps$. En vista de la arbitrariedad de~$\eps$, tenemos
como consecuencia de esto que $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)$.

($\Longleftarrow$) Sea $x_0\in X$. Sea $\eps>0$ y supongamos que para todo
$n\in\NN$ existe $x_n\in B(x_0,\frac1n)$ tal que $d(f(x_n),f(x_0))\geq\eps$.
Es claro que la sucesión $(x_n)_{n\geq1}$ converge a~$x_0$ en~$X$, así que
por hipótesis $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)$ y, en particular, existe
$n\in\NN$ tal que $d(f(x_n),f(x_0))M<\eps/2$. Esto es absurdo, y esta
contradicción implica que existe $n\in\NN$ tal que para todo $x\in
B(x_0,\frac1n)$ se tiene que $d(f(x_n),f(x_0))<\eps$: así, vemos que $f$~es continua
en~$x_0$.

\ejitem{2}\implicacion[roman]{1}{2} Sea $G\subseteq Y$ un abierto y sea
$x\in f^{-1}(G)$. Entonces $f(x)\in G$, de manera que existe $\eps>0$ tal
que $B(f(x),\eps)\subseteq G$ y, como $f$ es continua, existe $\delta>0$
tal que $f(B(x,\delta))\subseteq B(f(x),\eps)\subseteq G$. Esto nos dice
que $B(x,\delta)\subseteq f^{-1}(G)$ y, en particular, vemos que $x$~es un
punto interior de~$f^{-1}(G)$. La arbitrariedad de~$x$ en~$f^{-1}(G)$,
entonces, implica que $f^{-1}(G)$ es abierto.

\implicacion[roman]{2}{1} Sea $x\in X$ y sea $\eps>0$. Como $B(f(x),\eps)$
es un abierto de~$Y$, la hipótesis nos dice que $f^{-1}(B(f(x),\eps))$ es
un abierto de~$X$. Como $x\in f^{-1}(B(f(x),\eps))$, existe entonces
$\delta>0$ tal que $B(x,\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(x),\eps))$, esto es,
tal que $f(B(x,\delta))\subseteq B(f(x),\eps)$. Esto nos dice que $f$ es
continua en~$x$.

\implicacion[roman]{2}{3} Sea $F\subseteq Y$ un cerrado. Entonces
$G=Y\setminus F$ es abierto y
  \[
  f^{-1}(F)
    = f^{-1}(Y\setminus G)
    = X \setminus f^{-1}(G)
  \]
es un cerrado de~$X$, porque por hipótesis $f^{-1}(G)$ es un abierto
de~$X$.

\implicacion[roman]{3}{2} Sea $G\subseteq Y$ un abierto. Entonces
$F=Y\setminus G$ es cerrado y
  \[
  f^{-1}(G)
    = f^{-1}(Y\setminus F)
    = X \setminus f^{-1}(F)
  \]
es un abierto de~$X$, porque por hipótesis $f^{-1}(F)$ es un cerrado
de~$X$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:X\to Y$ una función entre espacios métricos. Analice la
validez de las siguientes afirmaciones:
%
\begin{ejitems}

\item Si $\U=\{U_i:i\in I\}$ es un cubrimiento abierto de~$X$ y para cada
$i\in I$ la restricción $f|_{U_i}:U_i\to Y$ es continua, entonces $f:X\to
Y$ es continua.

\item Si $\F=\{F_i:i\in F\}$ es un cubrimiento cerrado de~$X$ y para cada
$i\in I$ la restricción $f|_{F_i}:F_i\to Y$ es continua, entonces $f:X\to
Y$ es continua.

\item Si $\F=\{F_i:i\in F\}$ es un cubrimiento cerrado de~$X$ que es
\emph{finito}, y para cada $i\in I$ la restricción $f|_{F_i}:F_i\to Y$ es
continua, entonces $f:X\to Y$ es continua.

\item Si $\X=\{X_i:i\in F\}$ es un cubrimiento finito de~$X$ y para cada
$i\in I$ la restricción $f|_{X_i}:X_i\to Y$ es continua, entonces $f:X\to
Y$ es continua.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $x\in X$. Sea $(x_n)_{n\geq1}$ una sucesión
en~$X$ tal que $\lim_{n\to\infty}x_n=x_0$. Como $\U$ es un cubrimiento
de~$X$, existe $i\in I$ tal que $x\in U_i$, y como $U_i$ es un abierto
de~$X$, existe $\eps>0$ tal que $B(x,\delta)\subseteq U_i$. Como
$\lim_{n\to\infty}x_n=x_0$, existe $N\in\NN$ tal que si $n\geq N$ es
$x_n\in B(x_0,\delta)\subseteq U_i$. Esto nos dice que la sucesión
$(x_n)_{n\geq N}$ es una sucesión en~$U_i$ que converge a~$x_0\in U_i$.
Como $f|_{U_i}:U_i\to Y$ es continua, $\lim_{N\leq
n\to\infty}f(x_n)=f(x_n)$ y, en consecuencia, es
$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)$. Usando el criterio del
ejercicio~\ref{ej:cont-sec}, vemos que $f$ es continua en~$x_0$.
Así, $f$ es continua en cada punto de~$X$.

\ejitem{2} Sean $X=Y=\RR$ con su métrica usual, y sea $f:X\to Y$ una
función no continua. Sea $I=\RR$ y consideremos, para cada $i\in I$, el
conjunto $F_i=\{i\}$. Es evidente que $\F=\{F_i:i\in I\}$ es un cubrimiento
cerrado de~$X$, y que para cada $i\in I$ la restricción $f|_{F_i}:F_i\to Y$
es continua. Como elegimos a $f$ no continua, vemos que el enunciado es
falso.

\ejitem{3} Usamos el criterio de continuidad del ejercicio~\ref{ej:cont-cerr}.
Sea $F\subseteq Y$ un cerrado. Para cada $i\in I$ el conjunto
$(f|_{F_i})^{-1}(F)$ es un cerrado de~$F_i$, que es entonces cerrado
en~$X$. Pero 
  \[
  f^{-1}(F)
    = \bigcup_{i\in I} (f^{-1}(F)\cap F_i)
    = \bigcap_{i\in I} (f|_{F_i})^{-1}(F)
  \]
es entonces una unión \emph{finita} de cerrados de~$X$, así que $f^{-1}(F)$
es él mismo un cerrado. La arbitrariedad de~$F$ implica que $f$ es
continua.

\ejitem{4} Sean $X=Y=\RR$ con su métrica usual, sea $I=\{0,1\}$, sean
$X_0=(-\infty,0]$ y $X_1=(0,\infty)$, y sea $\X=\{X_0,X_1\}$, que es un
cubrimiento de~$X$. La función $f:X\to Y$ tal que $f(x)=0$ si $x\leq 0$ y
$f(x)=1$ si $x>0$ no es continua. Sin embargo, es inmediato que las
restricciones $f_{X_0}:X_0\to Y$ y $f_{X_1}:X_1\to Y$ son
continuas---porque son constantes---así que el enunciado es falso.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio métrico. Una función $f:X\to\RR$ es continua sii
para cada $\alpha\in\RR$ los conjuntos $L_\alpha=\{x\in X:f(x)<\alpha\}$ y
$R_\alpha=\{x\in X:f(x)>\alpha\}$ son abiertos.

\begin{Solucion}
($\Longrightarrow$) Sea $\alpha\in\RR$. Entonces
$L_\alpha=f^{-1}\bigl((-\infty,a)\bigr)$ y
$R_\alpha=f^{-1}\bigl((a,\infty)\bigr)$. Como $(-\infty,\alpha)$ y
$(\alpha,\infty)$ son abiertos de~$\RR$, el criterio de continuidad del
ejercicio~\ref{ej:cont-ab} nos dice que $L_\alpha$ y $R_\alpha$ son
abiertos de~$X$.

($\Longleftarrow$) Sea $x\in X$ y sea $\eps>0$. Por hipótesis,
$L_{f(x)+\eps}$ y $R_{f(x)-\eps}$ son abiertos de~$X$, así que
$U=L_{f(x)+\eps}\cap R_{f(x)-\eps}$ también lo es, y como evidentemente
$x\in U$, existe $\delta>0$ tal que $B(x,\delta)\subseteq U=L_{f(x)+\eps}\cap R_{f(x)-\eps}$.
Así, tenemos que 
  \[
  f(B(x,\delta))
    \subseteq f(L_{f(x)+\eps})\cap f(R_{f(x)-\eps})
    \subseteq (-\infty,f(x)+\eps)\cap(f(x)-\eps,\infty)
    = B(f(x), \eps).
  \]
Esto implica que $f$ es continua en~$x$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $\delta$, $d_1$, $d_2$ y $d_\infty$ las métricas discreta, $\ell_1$, euclídea y
$\ell_\infty$ sobre~$\RR^2$. Decida cuáles de las siguientes funciones son continuas:
%
\begin{ejitems}

\item $f:(\RR^2,d_2)\to(\RR,d_1)$, con $f(x,y)=x^2+y^2$.

\item $\id_{\RR^2}:(\RR^2,\delta)\to(\RR^2,d_\infty)$.

\item $\id_{\RR^2}:(\RR^2,d_\infty)\to(\RR^2,\delta)$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $p=(x_0,y_0)\in \RR^2$. Sea $\eps>0$. Sea
$m=2\max\{1,\abs{x_0},\abs{y_0}\}$ y $\delta=\min\{m,\eps/8m\}$. Sea
$q=(x,y)\in B(p,\delta)$, de manera que
  \begin{gather*}
  \abs{x-x_0} = \sqrt{(x-x_0)^2} \leq \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} = d(p,q) < \delta
\shortintertext{y}
  \abs{x+x_0} = \abs{x-x_0+2x_0} \leq \abs{x-x_0} + 2\abs{x_0} < \delta + m \leq 2m.
  \end{gather*}
De manera similar, es $\abs{y-y_0}<\delta$ y $\abs{y+y_0}<2m$. Se sigue de esto que
  \begin{align*}
  \abs{f(q)-f(p)}
    & = \abs{(x^2+y^2)-(x_0^2+y_0^2)} \\
    & \leq \abs{x^2-x_0^2} + \abs{y^2-y_0^2} \\
    & = \abs{x-x_0}\,\abs{x+x_0} + \abs{y-y_0}\,\abs{y+y_0} \\
    & \leq 4 m \delta < \eps
  \end{align*}
Vemos así que $f$ es continua en~$p$ y, entonces, $f$ es continua en todo
$\RR^2$.

\ejitem{2} Sea $p=(x_0,y_0)\in\RR^2$ y sea $\eps>0$. Sea $\delta=\frac12$.
Entonces $B(p,\delta)=\{p\}$, así que $f(B(p,\delta))\subseteq
B(f(p),\eps)$. Vemos así que $f$ es continua en $p$.

\ejitem{3} Sea $p_n=(\frac1n,0)\in\RR^2$ para cada $n\geq0$. Entonces
$\lim_{n\to\infty}p_n=(0,0)$ en $(\RR^2,d_\infty)$. Sin embargo, la
sucesión $(p_n)_{n\geq1}$ \emph{no} converge a~$(0,0)$ en $(\RR^2,\delta)$:
En efecto, $\delta(p_n,(0,0))=1$ para todo $n\geq1$ porque
$p_n\neq(0,0)$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico y sea $E\subseteq X$ un subconjunto,
considerado como espacio métrico con la métrica~$d_E$ restringida.
Entonces la función inclusión $i:E\to X$ es continua.

\begin{Solucion}
Si $x$,~$y\in E$, entonces $d(i(x),i(y)) = d_E(x,y)$. Esto implica
inmediatamente que para cada $x\in E$ y cada $\eps>0$ se tiene que
$i(B_E(x,\eps))\subseteq B_X(x,\eps)$, y entonces $i$~es continua.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $f$,~$g$,~$h:\RR\to\RR$ las funciones dadas por
  \begin{alignat*}{3}
  & f(x) = \begin{cases} 
             0, & \text{si $x\not\in\QQ$;} \\
             1, & \text{si $x\in\QQ$;}
           \end{cases}
           \\
  & g(x) = x \, f(x),
    \\
  & h(x) = \begin{cases}
             0, & \text{si $x\not\in\QQ$;} \\
             \frac1n, & \text{si $x=\tfrac{m}{n}\in\QQ$ con $(m,n)=1$;} \\
             1, & \text{si $x=0$.}
           \end{cases}
  \end{alignat*}
Entonces:
\begin{ejitems}

\item $f$ es discontinua en todo punto.

\item $f$ es continua solamente en~$0$.

\item $h$ es continua en $\RR\setminus\QQ$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea primero $x\in\RR\setminus\QQ$. Sabemos que existe una
sucesión $(q_n)_{n\geq1}$ tal que $q_n\in\QQ$ para todo $n\geq1$ y
$\lim_{n\to\infty}q_n=x$. Pero entonces
$\lim_{n\to\infty}f(q_n)=1\neq0=f(x)$, así que $f$ no es continua en~$x$.
Sea, por otro lado, $x\in\QQ$. Si para cada $n\in\NN$ ponemos
$x_n=x+\frac{\sqrt{2}}{n}$, es inmediato que $x_n\in\RR\setminus\QQ$ y que
$\lim_{n\to\infty}x_n=x$. Como $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=0\neq1=f(x)$, vemos
que $f$ tampoco es continua en~$x$.

\ejitem{2} Sea $x\in\RR\setminus\QQ$; en particular, es $x\neq0$. Sabemos
que existe una sucesión $(q_n)_{n\geq1}$ tal que $q_n\in\QQ$ para todo
$n\geq1$ y $\lim_{n\to\infty}q_n=x$. Pero entonces
$\lim_{n\to\infty}g(q_n)=x\neq0=g(x)$, así que $f$ no es continua en~$x$.

Sea ahora $x\in\QQ\setminus\{0\}$. Para cada $n\in\NN$ sea
$x_n=(1+\frac{\sqrt2}{n})x$. Es claro que $x_n\in\RR\setminus\QQ$ para todo
$n\in\NN$ y que $\lim_{n\to\infty}x_n=x$. Es $\lim_{n\to\infty}g(x_n)=0\neq
1=f(x)$, así que $g$ no es continua en~$x$.

Finalmente, veamos que $g$ es continua en~$0$. Sea $\eps>0$. Si $x\in
B(0,\eps)$, entonces $f(x)=x$ o $f(x)=0$, dependiendo de si $x\in\QQ$ o no,
pero en cualquiera de los dos cases es claro que $\abs{f(x)}<\eps$. Esto
implica que $f$ es continua en~$0$.

\ejitem{3} Sea $x\in\RR\setminus\QQ$. Sea $\eps>0$ y sea $n\in\NN$ tal que
$\frac2n<\eps$. Sea $p=\floor{nx}$, de manera que $\frac pn\leq
x<\frac{p+1}n$. Es $x\in B(\frac{p}{n},\frac{1}{n})$. Para ver que $h$ es
continua en~$x$ alcanzará con que mostremos que
$f(B(\frac{p}{n},\frac{1}{n}))\subseteq(-\eps,\eps)$.

Sea $y\in B(\frac{p}{n}, \frac1n)$: o bien
$y\in\RR\setminus\QQ$, de manera que $h(y)=0$, o bien $y\in\QQ$, digamos
$y=\frac{r}{s}$ con $(r,s)=1$, y $h(y)=\frac{1}{s}\leq\frac1n<\eps$ porque
necesariamente en este caso es $s\geq n$. En cualquier caso, entonces,
$\abs{h(y)}\leq\eps$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Un espacio métrico $X$ es discreto sii para todo espacio métrico $Y$
toda función $f:X\to Y$ resulta continua.

\begin{Solucion}
($\Longrightarrow$) Sea $X$ un espacio métrico discreto, sea $Y$ un espacio
métrico y sea $f:X\to Y$ una función. Sea $x\in X$ y sea $\eps>0$. Como
$X$ es discreto, existe $\delta>0$ tal que
$B(x,\delta)=\{x\}$, así que $f(B(x,\delta))\subseteq B(f(x),\eps)$. Esto
implica que $f$ es continua en~$x$.

($\Longleftarrow$) Sea $S=\{0,1\}$ dotado de su métrica discreta tal que
$d(0,1)=1$. 

Sea $X$ un espacio que satisface la condición del enunciado y sea $x\in
X$. La función $f:X\to S$ tal que $f(x)=0$ y $f(y)=1$ para todo $y\in
X\setminus\{x\}$ es, por hipótesis, continua. Existe entonces $\delta>0$
tal que $f(B(x,\delta))\subseteq B_S(0,\frac12)=\{0\}$. Pero esto nos dice,
evidentemente, que $B(x,\delta)=\{x\}$. Como $x$ es arbitrario en~$X$,
concluimos de esta forma que $X$ es discreto.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Métricas topológicamente equivalentes}
\begin{ejitems}

\item Sean $d_1$ y $d_2$ dos métricas sobre un conjunto $X$. Si existen
constantes $c_1$,~$c_2>0$ tales que 
  \[
  d_1(x,y)\leq c_1 d_2(x,y) \leq c_2 d_1(x,y)
  \]
siempre que $x$,~$y\in X$, entonces $d_1$ y $d_2$ son topológicamente
equivalentes.

\item Dos métricas $d_1$ y $d_2$ sobre un conjunto $X$ son topológicamente
equivalentes sii la función $\id_X:(X,d_1)\to(X,d_2)$ es un homeomorfismo.

\item Sea $d'$ la métrica sobre~$\RR$ tal que
$d'(x,y)=\abs[\big]{\frac{x}{1+\abs{x}}-\frac{y}{1+\abs{y}}}$ para cada
$x$,~$y\in\RR$. Entonces $(\RR,d')$ es topológicamente equivalente al
espacio $(\RR,d_1)$, con $d_1$ la métrica usual, pero $(\RR,d')$ no es un
espacio métrico completo.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $U$ un abierto para $d_1$. Si $x\in U$,  existe $\delta>0$
tal que $B_1(x,\delta)\subseteq U$, y entonces $x\in
B_2(x,c_1^{-1}\delta)\subseteq B_1(x,\delta)\subseteq U$. Esto nos dice que
$U$ es abierto también para~$d_2$.

Recíprocamente, sea $U$ un abierto para~$d_2$. Si $x\in U$, existe
$\delta>0$ tal que $B_2(x,\delta)\subseteq U$, y entonces $x\in
B_1(x,c_1c_2^{-1}\delta)\subseteq B_2(x,\delta)\subseteq U$, de manera que
$U$ es abierto para~$d_1$.

\textcolor{red}{TERMINAR}

\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Dotando a cada $\RR^n$ de su métrica euclídea, muestre que:
\begin{ejitems}

\item $\{(x,y)\in\RR^2:x^2+y\sin(\e^x-1)=-2\}$ es cerrado;

\item $\{(x,y,z):\RR^3:-1\leq x^3-3y^4+z-2\leq 3\}$ es cerrado;

\item $\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in\RR^5:3<x_1-x_2\}$ es abierto.

\end{ejitems}
Mencione dos otras métricas que también hagan verdaderas estas
afirmaciones.

\begin{Solucion}
Si $f:\RR^n\to\RR$ es una función continua y $\alpha\in\RR$, sabemos que
los conjuntos
  \begin{gather*}
  L_\alpha(f)=\{x\in\RR^n:f(x)<\alpha\}
\shortintertext{y}
  R_\alpha(f)=\{x\in\RR^n:f(x)>\alpha\}
  \end{gather*}
son abiertos. Consideremos las funciones
  \begin{gather*}
  f_1:(x,y)\in\RR^2\mapsto x^2+y\sin(\e^x-1)\in\RR, \\
  f_2:(x,y,z)\in\RR^3\mapsto x^3-3y^4+z-2\in\RR
\shortintertext{y}
  f_3:(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in\RR^5\mapsto x_1-x_2\in\RR,
  \end{gather*}
que son evidentemente continuas. Entonces los conjuntos del enunciado son,
  \begin{gather*}
  (\RR^2\setminus L_{-2}(f_1))\cap(\RR^2\setminus R_{-2}(f_1)), \qquad
  (\RR^3\setminus L_{-1}(f_2))\cap(\RR^3\setminus R_{3}(f_2)) \qquad
  R_3(f_3).
  \end{gather*}
Es claro, así, que se trata de un cerrado, un cerrado y un abierto,
respectivamente.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $E$,~$I:C[0,1]\to\RR$ dadas por
  \begin{align*}
  &E(f)=f(0) && &I(F)=\int_0^1 f(x)\,\d x
  \end{align*}
\begin{ejitems}

\item Si metrizamos a $C[0,1]$ con la métrica $d_\infty$, ambas funciones
son continuas.

\item Si, en cambio, hacemos de $C[0,1]$ un espacio métrico con la métrica
$d_1$, entonces $I$ es continua pero $E$ no lo es.

\item ¿Existe alguna función $F:C[0,1]\to\RR$ que sea continua para la
distancia $d_1$ pero no para $d_\infty$?

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $f\in C[0,1]$ y sea $\eps>0$. Si $g\in B(f,\eps)$, entonces
  \[
  d(E(f),E(g) = \abs{E(f)-E(g)} = \abs{f(0)-g(0)} \leq \sup_{x\in [0,1]}\abs{f(x)-g(x)} = d_\infty(f,g) < \eps
  \]
así que $E(B(f,\eps))\subseteq B(E(f),\eps)$, de manera que $E$ es continua
en~$f$ con respecto a~$d_\infty$, y
  \begin{align*}
  d(I(f),I(g)) 
    & = \abs[\Big]{\int_0^1f(x)\,\d x-\int_0^1g(x)\,\d x}
      \leq \int_0^1 \abs{f(x)-g(x)}\,\d x \\
    & \leq \sup_{x\in[0,1]}\abs{f(x)-g(x)} = d(f,g) < \eps,
  \end{align*}
de manera que $I(B(f,\eps))\subseteq B(I(f),\eps)$ e $I$ también es
continua en~$f$ con respecto a~$d_\infty$.

\ejitem{2} Si $f\in C[0,1]$ y $\eps>0$, entonces si $g\in B(f,\eps;d_1)$ es
  \[
  d(I(f),I(g))
    = \abs[\Big]{\int_0^1f(x)\,\d x-\int_0^1g(x)\,\d x}
    \leq \int_0^1\abs{f(x)-g(x)}\,\d x
    = d_1(f,g),
  \]
de manera que $I(B(f,\eps;d_1))\subseteq B(I(f),\eps)$ e $I$ es continua
con respecto a~$d_1$.

Por otro lado, para cada $n\in\NN$ sea $f_n:[0,1]\to\RR$ la función tal que
  \[
  f_n(x) = \begin{cases}
           1-nx, & \text{si $x\in[0,\frac1n]$;} \\
           0, & \text{si $x\in[\frac1n,1]$,}
           \end{cases}
  \]
que es claramente continua. Es $d_1(f_n,0)=\int_0^1\abs{f_n(x)}\,\d x =
\frac1{2n}$ para cada $n\in\NN$, así que $f_n\to0$ con respecto a la
métrica~$d_1$ de~$C[0,1]$. Sin embargo, $E(f_n)=1$ para todo $n\in\NN$, de
manera que $\lim_{n\to\infty}E(f_n)=1\neq0=E(0)$, así que $E$ no es
continua con respecto a~$d_1$.

\ejitem{3} Para ver que toda función $F:C[0,1]\to\RR$ que es continua con
respecto a~$d_1$ también es continua con respecto a~$d_\infty$ basta
mostrar que la función $\id:(C[0,1],d_\infty)\to(C[0,1],d_1)$ es continua.

Sea entonces $f\in C[0,1]$ y $\eps>0$. Si $g\in B(f,\eps;d_\infty)$, es
  \[
  d_1(f,g) = \int_0^1 \abs{f(x)-g(x)}\,\d x
    \leq \sup_{x\in[0,1]}\abs{f(x)-g(x)}
    = d(f,g)
    < \eps,
  \]
de manera que $B(f,\eps;d_\infty)\subseteq B(f,\eps;d_1)$. Esto nos dice la
que función $\id$ es continua.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $X$ e $Y$ espacios métricos y sea $f:X\to Y$ una función
continua. El \emph{gráfico}\linebreak[4] de~$f$,
  \(
  G(f) = \{(x,f(x))\in X\times Y:x\in X\},
  \)
es un conjunto cerrado con respecto a la métrica~$d_\infty$. ¿Es cierta la recíproca?

\begin{Solucion}
Supongamos que $(p_n)_{n\geq1}$ es una sucesión de puntos de~$G(f)$ que
converge en~$X\times Y$ a~$p$, y supongamos que $p_n=(x_n,y_n)$ para cada
$n\in\NN$ y que $p=(x,y)$. Como $p_n\in G(f)$, es $f(x_n)=y_n$, y
como $p\in G(f)$, $f(x)=y$; además, en vista de la forma en que fue
definida la métrica de~$d_\infty$, tenemos que $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ y
que $\lim_{n\to\infty}y_n=y$. Ahora bien, como $f$ es continua,
  \[
  y = \lim_{n\to\infty}y_n
    = \lim_{n\to\infty}f(x_n) 
    = f\bigl(\lim_{n\to\infty}x_n\bigr)
    = f(x),
  \]
así que $f(x)=y$, esto es, $p\in G(f)$. Esto muestra que $G(f)$ es un
cerrado de~$X\times Y$.

La afirmación recíproca a la del enunciado es falsa. Si
$f:\RR\to\RR$ es la función tal que $f(x)=\frac1x$ si $x\neq0$ y
$f(0)=0$, es fácil ver que $G(f)$ es un cerrado de~$\RR\times\RR$ pero $f$
no es continua.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico y sea $A\subseteq X$. La función
$d_A:X\to\RR$ tal que $d_A(x)=d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)$ es uniformemente
continua.

\begin{Solucion}
Sea $\eps>0$ y sean $x$,~$y\in X$ tales que $d(x,y)<\eps$.
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Teorema de Urysohn} Sea $(X,d)$ un espacio métrico y sean
$A$,~$B\subseteq X$ cerrados disjuntos.
\begin{ejitems}

\item Existe una funcion continua $f:X\to\RR$ tal que $f|_A\equiv0$,
$f|_B\equiv1$ y $0\leq f(x)\leq 1$ para todo $x\in X$.

\begin{Indicacion}
Considere la función tal que $f(x)=\frac{d_A(x)}{d_A(x)+d_B(x)}$ para $x\in
X$.
\end{Indicacion}

\item Existen abiertos $U$,~$V\subseteq X$ disjuntos tales que $A\subseteq
U$ y $B\subseteq V$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio métrico y sea $\Delta:x\in X\mapsto(x,x)\in
X\times X$ la aplicación diagonal.
\begin{ejitems}

\item $\Delta$ es un homeomorfismo entre $X$ y $\Delta(X)\subseteq X\times
X$.

\item $\Delta(X)$ es cerrado en $X\times X$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $X$ e $Y$ espacios métricos. Una función $f:X\to Y$ es
\emph{abierta} si $f(A)$ es un abierto de~$Y$ siempre que $A\subseteq X$ es
abierto, y es \emph{cerrada} si $f(F)$ es un cerrado de~$Y$ siempre que $F\subseteq X$ es
cerrado.
\begin{ejitems}

\item Si $f$ es biyectiva, entonces $f$ es abierta sii es cerrada sii $f^{-1}$ es
continua.

\item Una función $\RR\to\RR$ puede ser continua pero no abierta.

\item Una función $\RR\to\RR$ puede ser continua pero no cerrada.

\item Una función puede ser biyectiva, abierta y cerrada pero no continua.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $X$ e $Y$ espacios métricos y sea $f:X\to Y$ una función.
\begin{ejitems}

\item $f$ es continua sii $f(\overline E)\subseteq\overline{f(E)}$ para
todo subconjunto $E\subseteq X$.

\item La inclusión anterior puede ser estricta.

\item $f$ es continua y cerrada sii $f(\overline E)=\overline{f(E)}$ para
todo subconjunto $E\subseteq X$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sean $X$ e $Y$ espacios métricos, sea $D\subseteq X$ denso y sean
$f$,~$g:X\to Y$ dos funciones continuas. Entonces $f=g$ sii
$f|_D=g|_D$.

\item Sea $f:\RR\to\RR$ una función continua tal que $f(x+y)=f(x)+f(y)$
para todo $x$,~$y\in\RR$. Entonces existe $\alpha\in\RR$ tal que
$f(x)=\alpha x$ para todo $x\in\RR$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $X$ e $Y$ espacios métricos y sea $f:X\to Y$ una función
continua y sobreyectiva.
%
\begin{ejitems}

\item Si $X$ es separable, entonces $Y$ es separable.

\item ¿Es cierto que si $X$ es completo entonces $Y$ es completo?

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $X$ e $Y$ espacios métricos y consideremos sobre
$X\times Y$ la métrica $d_\infty$.
%
\begin{ejitems}

\item Las proyecciones $\pi_X:X\times Y\to Y$ y $\pi_Y:X\times Y\to Y$ son
continuas y abiertas, pero pueden no ser cerradas.

\item Sea $Z$ un espacio métrico y sea $d:Z\to X\times Y$ una función.
Entonces $f$ es continua sii $\pi_1\circ f$ y $\pi_2\circ f$ lo son.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico y sea $f:X\to\RR$ una función. Decimos
que $f$ es inferiormente semicontinua en $x_0\in X$ si para todo $\eps>0$
existe $\delta>0$ tal que
  \[
  d(x,x_0)<\delta \implies f(x_0)<f(x)+\eps,
  \]
y decimos que es \emph{superiormente semicontinua} en~$x_0$ si para todo
$\eps>0$ existe $\delta>0$ tal que
  \[
  d(x,x_0)<\delta \implies f(x_0)+\eps>f(x),
  \]
\begin{ejitems}

\item $f$ es continua en $x_0$ sii $f$ es inferiormente y superiormente
continua en~$x_0$.

\item $f$ es inferiormente semicontinua en todo $X$ sii
$f^{-1}(\alpha,+\infty)$ es un abierto de $X$ cualquiera sea $\alpha\in\RR$.

\item $f$ es superiormente semicontinua en todo $X$ sii
$f^{-1}(-\infty,\alpha)$ es un abierto de $X$ cualquiera sea $\alpha\in\RR$.

\item Si $A\subseteq X$ es un abierto, la función característica
$\chi_A:X\to\RR$ es inferiormente semicontinua. 

\item Si $F\subseteq X$ es cerrado, la función característica
$\chi_F:X\to\RR$ es superiormente continua.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sea $(Z,d)$ un espacio métrico, sea $r>0$ y sean $(z_n)_{n\geq1}$ y
$(z'_n)_{n\geq1}$ dos sucesiones en~$Z$ tales que $d(z_n,z'_n)\geq r$ para
todo $n\geq1$. Entonces existe un conjunto infinito $P\subseteq\NN$ tal que
si $A=\{z_n:n\in P\}$ y $B=\{z'_n:n\in P\}$, se tiene que $d(A,B)\geq \tfrac{r}{3}$.

\begin{Indicacion}
Considere el caso en que existe $z\in Z$ tal que $\{n\in\NN:d(z,z'_n)\leq
\tfrac{r}{3}\}$ es infinito, luego el caso en que existe $z\in Z$ tal que
$\{n\in\NN:d(z_n,z)\leq \tfrac{r}{3}\}$, y finalmente el caso restante.
\end{Indicacion}

\item Sean $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ does espacios métricos y sea $f:X\to Y$
una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
\begin{ejitems}

\item $f$ es uniformemente continua.

\item Si $U$,~$V\subseteq X$ son tales que $d_X(U,V)=0$,
entonces $d_Y(f(U),f(V))=0$.

\item Si $(u_n)_{n\geq1}$ y $(v_n)_{n\geq1}$ son dos sucesiones en~$X$
tales que $d_X(u_n,v_n)\to0$ si~$n\to\infty$, entonces
$d_Y(f(u_n),f(v_n))\to0$ si~$n\to\infty$.

\end{ejitems}

\begin{Indicacion}
Para probar \implicacion[roman]{2}{3} utilice el resultado de~\ejitem{1}.
\end{Indicacion}

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Para cada $z\in Z$, escribamos 
  \begin{gather*}
  L(z)=\{n\in\NN:d(z,z'_n)\leq \tfrac{r}{3}\}
  \qquad\text{y}\qquad
  R(z)=.
  \end{gather*}
Supongamos primero que existe $z\in Z$ tal que el conjunto
$L(z)$ es infinito, y pongamos $P=L(z)$. Si $n$,~$m\in P$, entonces 
  \[
  d(z_n,z'_m) + d(z'_m,z) + d(z,z'_n) \geq d(z_n,z'_n) \geq r,
  \]
de manera que
  \[
  d(z_n,z'_m) \geq r - d(z'_m,z) - d(z,z'_n) \geq \tfrac{r}{3},
  \]
y entonces $d(\{z_n:n\in P\},\{z'_n:n\in P\})\geq \tfrac{r}{3}$. Si, en cambio,
existe $z\in Z$ tal que el conjunto $R(z)$ es infinito, podemos proceder de
manera similar.

Queda, entonces, considerar el caso en que para cada $z\in Z$ son
finitos los conjuntos $L(z)$ y~$R(z)$. Pongamos $n_1=1$.
Como el conjunto $L(z_1)\cup R(z_1')$ es finito, existe $n_2\in\NN$ tal que
$n_2>n_1$ y 
  \[
  n\geq n_2 \implies d(z_{n_1},z_n')>\tfrac{r}{3} \wedge d(z_n,z_{n_1}')>\tfrac{r}{3}.
  \]
Sea ahora $k\geq2$ y supongamos que $n_1$,~$n_2$,~\dots,~$n_k\in\NN$ es una
secuencia estrictamente creciente tal que 
  \[
  t\in\{2,\dots,k\} \wedge n\geq n_t \implies d(z_{n_{t-1}},z_n')>\tfrac{r}{3} \wedge d(z_n,z_{n_{t-1}}')>\tfrac{r}{3}.
  \]
Como $L(z_{n_k})\cup R(z_{n_k}')$ es finito, existe $n_{k+1}>n_k$
tal que 
  \[
  n\geq n_{k+1} \implies d(z_{n_k},z_n')>\tfrac{r}{3} \wedge d(z_n,z_{n_k}')>\tfrac{r}{3}.
  \]
Por inducción, entonces, construimos así una sucesión $(n_i)_{i\geq1}$
en~$\NN$ que es estrictamente creciente y tal que
  \[
  i\in\NN \wedge n\geq n_i \implies d(z_{n_{i-1}},z_n')>\tfrac{r}{3} \wedge d(z_n,z_{n_{i-1}}')>\tfrac{r}{3}.
  \]
Sean $i$,~$j\in\NN$. 
\begin{itemize}

\item Si $i=j$, entonces $d(z_{n_i}, z'_{n_j})\geq r>r/3$.

\item Si $i<j$, entonces $i+1\leq j$ y $n_{i+1}\leq n_j$, así que 
$d(z_{n_{i}},z_j')>\tfrac{r}{3}$ y $d(z_j,z_{n_{i}}')>\tfrac{r}{3}$.

\item Finalmente, si $i>j$, entonces $j+1\leq i$ y $n_{j+1}\leq n_i$, de
manera que $d(z_{n_{j}},z_i')>\tfrac{r}{3}$ y $d(z_i,z_{n_{j}}')>\tfrac{r}{3}$.

\end{itemize}
Luego $d(\{z_{n_i}:i\in\NN\},\{z'_{n_i}:i\in\NN\})\geq\tfrac{r}{3}$, así
que podemos poner $P=\{n_i:i\in\NN\}$.

\ejitem{2} \implicacion[roman]{1}{2} Supongamos que $f$ es uniformemente continua y sean
$U$,~$V\subseteq X$ tales que $d_X(U,V)=0$. Como $d_X(U,V)=0$, existen
sucesiones $(u_n)_{n\geq1}$ en~$U$ y $(v_n)_{n\geq1}$ en~$V$ tales que
$d_X(u_n,v_n)\to0$ si~$n\to\infty$. Sea $\eps>0$. Como $f$ es uniformemente
continua, existe~$\delta>0$ tal que 
  \[
  d_X(u,v)<\delta\implies d_Y(f(u),f(v))<\eps,
  \]
y a su vez existe $n_0\in\NN$ tal que si $d_X(u_{n_0},v_{n_0})<\delta$, así
que
  \[
  d_Y(f(U),f(V))\leq d_Y(f(u_{n_0}),f(v_{n_0}))<\eps.
  \]
La arbitrariedad de~$\eps$, entonces, implica que $d_Y(f(U),f(V))=0$.

\implicacion[roman]{2}{3} Sean $(u_n)_{n\geq1}$ y $(v_n)_{n\geq1}$ 
sucesiones en~$X$ para las que $d_X(u_n,v_n)\to\infty$ si~$n\to\infty$ y
supongamos, para llegar a un absurdo, que 
  \begin{equation} \label{eq:hip}
  \text{$d_Y(f(u_n),f(v_n))\not\to0$ cuando~$n\to\infty$.}
  \end{equation}
Existen entonces $c>0$ y un subconjunto infinito
$Q\subseteq\NN$ tales que $d_Y(f(u_n),f(v_n))\geq c$ para todo $n\in Q$.
Vemos así que podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que de hecho 
$d_Y(f(u_n),f(v_n))\geq c$ para todo $n\in \NN$. De acuerdo a~\ejitem{1},
entonces, sabemos que existe un subconjunto infinito~$P\subseteq\NN$ tal
que si ponemos $U=\{u_n:n\in P\}$ y $V=\{v_n:n\in P\}$, es
  \begin{equation} \label{eq:f1}
  d_Y(f(U),f(V))\geq c/3
  \end{equation}
Afirmamos que 
  \begin{equation}\label{eq:claim-1}
  d_X(U,V)=0.
  \end{equation}
Para verlo, basta mostrar que $d_X(U,V)<\eps$ para todo $\eps>0$. Sea,
entonces, $\eps>0$. Como $d_X(u_n,v_n)\to\infty$ si~$n\to\infty$, existe
$n_0\in\NN$ tal que $d_X(u_n,v_n)<\eps$ si $n\geq n_0$, y como $P$~es
infinito, existe $m\in P$ tal que $m\geq n_0$. Entonces $d_X(U,V) \leq
d_X(u_m,v_m)<\eps$, como queríamos.

La hipótesis, ahora, nos permite concluir de~\eqref{eq:claim-1} que
$d_Y(f(U),f(V))=0$. Como esto es incompatible con~\eqref{eq:f1}, vemos que
nuestra suposición~\eqref{eq:hip} es contradictoria. Así, conclimos que
$d_Y(f(u_n),f(v_n))\to0$ si $n\to\infty$, como queríamos.

\implicacion[roman]{3}{1} Sea $\eps>0$. Supongamos que para todo $n\in\NN$
existen $u_n$,~$v_n\in X$ tales que $d_X(u_n,v_n)<1/n$ y
$d_Y(f(u_n),f(v_n))\geq\eps$. Como $d_X(u_n,v_n)\to0$ si~$n\to\infty$, la
hipótesis implica que $d_Y(f(u_n),f(v_n))\to0$ si~$n\to\infty$. Esto es
imposible.

Concluimos de esta forma que existe $n\in\NN$ tal que si
$d_X(u_n,v_n)<1/n$ entonces $d_Y(f(u_n),f(v_n))<\eps$. Así, $f$~es
uniformemente continua, como queríamos mostrar.~\qed
\end{Solucion}


\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[hp]

\vspace*{3cm}

\foto{Urysohn}{Pavel Samuilovich Urysohn\\1898--1924, Ucrania/Francia}{%
}

\vspace*{3cm}

\end{figure}

\end{document}
