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\hyphenation{siguiente}

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\renewcommand\P{\mathscr{P}}
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\DeclarePairedDelimiter\inn{\langle}{\rangle}
\DeclareMathOperator\diam{diam}
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\hyphenation{sobre}

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\Materia{Cálculo Avanzado}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2010}
\Practica{4}
\Titulo{Espacios métricos, II}

\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Separabilidad}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Mostrar que $\RR^n$ con su métrica usual es un espacio separable.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea 
  \(
  X=\{(a_n)_{n\geq1}\in\RR^\NN:\text{existe $n_0\in\NN$ tal que $n\geq n_0\implies a_n=0$}\}
  \)
y consideremos la función $d:X\times X\to\RR$ dada por
  \[
  d\bigl((x_i)_{i\geq1},(y_i)_{i\geq1}\bigr) = \sup\{\abs{x_i-y_i}:i\in\NN\}
  \]
siempre que $(x_i)_{i\geq1}$,~$(y_i)_{i\geq1}\in X$. Entonces $(X,d)$ es un espacio métrico separable.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio metrico. Las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
\begin{ejitems}

\item $X$ es separable.

\item $X$ posee una base numerable de abiertos.

\item Todo cubrimiento abierto de~$X$ posee un subcubrimiento numerable.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Todo subespacio de un espacio métrico separable es separable.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio métrico separable. 
\begin{ejitems}

\item Toda familia de abiertos no vacíos y disjuntos de~$X$ es a lo sumo
numerable.

\item El conjunto de puntos aislados de~$X$ es a lo sumo numerable.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\label{ej:dinfty} Sean $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ dos espacios métricos, y
consideremos el espacio métrico $(X\times Y,d)$ con
$d\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr)=\max\{d_X(x_1,x_2),d_Y(y_1,y_2)\}$
siempre que $x_1$,~$x_2\in X$ e $y_1$,~$y_2\in Y$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item El espacio $\ell^1$ es separable.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item ¿Es separable $\ell^\infty$?

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Completitud}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico y sea $(x_n)_{n\in\NN}$ una sucesión
en~$X$.
\begin{ejitems}

\item $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ sii para toda subsucesión
$(x_{n_k})_{k\geq1}$ de~$(x_n)_{n\geq1}$ se tiene que
$\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=x$.

\item Si existe $x\in X$ tal que toda subsucesión $(x_{n_k})_{k\geq1}$
de~$(x_n)_{n\geq1}$ tiene una subsucesión que converge a~$x$, entonces
$\lim_{n\to\infty}x_n=x$.

\item Si $(x_n)_{n\geq1}$ converge, entonces $(x_n)_{n\geq1}$ es de Cauchy.

\end{ejitems}
¿Vale la recíproca de esta última afirmación?

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Un espacio métrico es completo sii todas sus bolas cerradas son
espacios métricos completos.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio métricos.
\begin{ejitems}

\item Un subconjunto completo de~$X$ es cerrado.

\item Si $X$ es completo, todo cerrado de~$X$ es un subespacio completo.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Teorema de Cantor} Un espacio métrico es completo sii toda
sucesión decreciente $(F_n)_{n\geq1}$ de cerrados no vacíos de $X$ 
tal que $\lim_{n\to\infty}\diam F_n=0$ tiene intersección no vacía.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ espacios métricos y sea $X\times Y$ el
espacio métrico introducido en el ejercicio~\ref{ej:dinfty}. Entonces
$X\times Y$ es completo sii $X$ e $Y$ son completos.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sea $X$ un espacio métrico y sea $B(X)$ el conjunto de las funciones
$X\to\RR$ que son acotadas. Si $d:B(X)\times B(X)\to\RR$ está dada por
  \[
  d(f,g)=\sup\{\abs{f(x)-g(x)}:x\in X\}
  \]
para cada $f$,~$g\in B(X)$, entonces $(B(X),d)$ es un espacio métrico
completo.

\item Sean $a$,~$b\in\RR$ tales que $a<b$, y sea $C[a,b]$ el conjunto de
las funciones continuas $[a,b]\to\RR$. Entonces $C[a,b]\subseteq B([a,b])$
y, de hecho $C[a,b]$ es un subespacio completo.

\item Sea $\mathcal C_0$ el conjunto de las sucesiones
$(a_n)_{n\geq1}\in\RR^\NN$ tales que $\lim_{n\to\infty}a_n=0$. Es claro que
podemos considerar a~$\mathcal C_0$ coom un subconjunto de~$B(\NN)$ y
entonces se trata de un subespacio completo.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio métrico completo y sea $D\subseteq X$ un
subconjunto denso tal que toda sucesión de Cauchy con valores en~$D$
converge en~$X$. Muestre que $X$ es completo.

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Completitud}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item $\RR^n$ no es unión numerable de subespacios vectoriales propios.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $X$ es un espacio métrico completo sin puntos aislados y
$D\subseteq X$ es un subconjunto denso numerable, entonces $D$ no es un
conjunto~$G_\delta$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item No existe una función $f:\RR\to\RR$ que es continua solamente en los
números racionales.

\begin{Indicacion}
Para cada $n\in\NN$ considere el conjunto 
  \[
  U_n=\{x\in\RR:\text{existe $U\subseteq\RR$ abierto tal que $x\in U$ y $\diam f(U)<1/n$}\}.
  \]
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(I_n)_{n\in\NN}$ una enumeración de los subintervalos de $[0,1]$
con extremos racionales y sea, para cada $n\in\NN$,
  \[
  E_n=\{f\in C[0,1]:\text{$f$ es monótona en~$I_n$}\}.
  \]
\begin{ejitems}

\item Para cada $n\in\NN$ el conjunto $E_n$ es cerrado y nunca denso en
$C[0,1]$.

\item Existen funciones continuas $[0,1]\to\RR$ que no son monótonas en
ningún subintervalo.

\end{ejitems}

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[hp]

\vspace*{3cm}

\foto{Baire}{René-Louis Baire\\1874--1933, Francia}{%
}

\vspace*{3cm}

\end{figure}

\end{document}
