%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\hyphenation{siguiente}

\newcommand\CC{\mathbb{C}}
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\newcommand\RR{\mathbb{R}}
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\hyphenation{sobre}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\Materia{Cálculo Avanzado}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2010}
\Practica{3}
\Titulo{Espacios métricos}

\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{\texorpdfstring{Métricas en~$\RR^n$}{Métricas en Rn}}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\label{ej:BQQ} Sea $\B=\{B(q, r)\subseteq\RR^n:q\in\QQ^n,r\in\QQ_{>0}\}$. Si
$U\subseteq\RR^n$ es abierto y $x\in U$, entonces existe $B\in\B$
tal que $x\in B\subseteq U$.

\begin{Solucion}
Sea $U\subseteq\RR^n$ un abierto y sea $x=(x_1,\dots,x_n)\in U$. Existe $r>0$ tal que
$B(x,r)\subseteq U$. Como $\QQ$ es denso en~$\RR$, para cada
$i\in\{1,\dots,n\}$ existe $q_i\in\QQ$ tal que $\abs{x-q_1}<n^{-1/2}r/2$.

Sea $q=(q_1,\dots,q_n)\in\QQ^n$. Es
$d(x,q)^2=\sum_{i=1}^n(x_i-q_i)^2<r^2/4$, así que $d(x,q)<r/2$ y, en
consecuencia, $x\in B(q,r/2)\subseteq B(x,r)\subseteq U$. Para verlo, basta
probar la primera inclusión: si~$y\in B(q,r/2)$, entonces
$d(x,y)\leq d(x,q)+d(q,y)<r/2+r/2=r$, esto es, $y\in B(x,r)$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Una familia de abiertos disjuntos de~$\RR^n$ es a lo sumo numerable.
Dé un ejemplo de una familia no numerable de cerrados disjuntos.

\begin{Solucion}
Sea $\U$ una familia disjunta de abiertos de~$\RR^n$. Para
ver que $\U$ es a lo sumo numerable podemos suponer que
$\emptyset\not\in\U$. En ese caso, de acuerdo al ejercicio~\ref{ej:BQQ},
para cada $U\in\U$ existen $q_U\in\QQ^n$ y $r_U>0$ tales que
$B(q_U,r_U)\subseteq U$. Podemos entonces definir una función
$\phi:U\in\U\mapsto q_U\in\QQ^n$ y ésta es inyectiva: si $U$,~$V\in\U$ son
tales que $q_U=q_V$, entonces $q_U\in B(q_U,r_U)\cap B(q_V,r_V)\subseteq
U\cap V$, de manera que $U\cap V\neq\emptyset$ y, como $\U$ es una familia
disjunta, esto nos dice que $U=V$. Pero entonces
$\abs{\U}\leq\abs{\QQ^n}=\aleph_0$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Teorema de Lindelöf} Si $A\subseteq\RR^n$ y $\U$ es
un cubrimiento abierto de~$A$, entonces existe un subcubrimiento 
$\U'\subseteq\U$ de~$A$ que es numerable.

\begin{Solucion}
Si $a\in A$, entonces existe $U_a\in\U$ tal que $a\in U_a$ y, según el
ejercicio~\ref{ej:BQQ}, existen $q_a\in\QQ^n$ y $r_a>0$ tales que $a\in
B(q_a,r_a)\subseteq U_a$. Sea $\V=\{B(q_a,r_a):a\in A\}$. El conjunto~$\V$
es numerable, porque se trata de un subconjunto de~$\B=\{B(q,
r)\subseteq\RR^n:q\in\QQ^n,r\in\QQ_{>0}\}$, y claramente cubre a~$A$. 

Por otro lado, para cada $V\in\V$ existe $a_V\in A$ tal que
$V=B(q_{a_V},r_{a_V})\subseteq U_{a_V}$. Si ponemos
$\U'=\{U_{a_V}:V\in\V\}$, entonces
$A\subseteq\bigcup_{V\in\V}V\subseteq\bigcup_{U\in\U'}U$, de manera que
$\U'$ es un cubrimiento de~$A$ contenido en~$\U$. Como $\V$ es
numerable, $\U'$ también lo és.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\label{ej:cond} Si $S\in\RR^n$, un punto $x\in\RR^n$ es un \emph{punto de
condensación} de~$S$ si toda bola~$B$ centrada en~$x$ tiene intersección no
numerable con~$S$. Muestre que todo conjunto no numerable tiene al menos un
punto de condensación.

\begin{Solucion}
Supongamos que $S$ es un subconjunto de~$\RR^n$ que no tiene ningún punto
de condensación. Para cada $x\in\RR^n$, entonces, existe $r_x>0$ tal que
$B(x,r_x)\cap S$ es numerable. Más aún, si $\B=\{B(q,
r)\subseteq\RR^n:q\in\QQ^n,r\in\QQ_{>0}\}$ entonces existe
$\B_x\subseteq\B$ tal que $B(x,r_x)=\bigcup_{B\in\B_x}B$.

Sea $\B'=\bigcup_{x\in\RR^n}\B_x$. Como $\B'\subseteq\B$, $\B'$ es 
numerable y, en vista de la construcción hecha, para cada $B\in\B'$ el
conjunto $S\cap B$ es numerable. Ahora bien, como
  \[
  \RR^n 
    = \bigcup_{x\in\RR^N}B(x,r_x)
    = \bigcup_{x\in\RR^N}\bigcup_{B\in\B_x}B
    = \bigcup_{B\in\B'}B,
  \]
tenemos que
  \[
  S = S\cap\RR^n = S\cap\bigcup_{B\in\B'}B = \bigcup_{B\in\B'}(S\cap B),
  \]
y como esta última es una unión numerable de conjuntos numerables, vemos
que $S$ mismo es numerable.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item El conjunto de puntos aislados de un conjunto $S\subseteq\RR^n$ es a
lo sumo numerable.

\begin{Solucion}
Sea $S\subseteq\RR^n$ un subconjunto y sea $A\subseteq S$ el conjunto
de los puntos aislados de~$S$. Afirmamos que $A$ es cerrado. 

Supongamos que $A$ no es numerable, de
manera que, de acuerdo al ejercicio~\ref{ej:cond}, existe un punto
$x\in\RR^n$ de condensación de~$A$. 

Si $n\in\NN$, el conjunto $B(x,1/n)\cap A$ es no numerable, así que existe $a_n\in
(B(x,1/n)\cap A)\setminus\{x\}$. La sucesión $(a_n)_{n\geq1}$, que toma
valores en~$A\setminus\{x\}\subseteq S\setminus\{x\}$, claramente converge a~$x$.

\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $d_1$,~$d_2$,~$d_2$,~$d_3$,~$d_4:\RR\times\RR\to\RR$ las
funciones tales que
  \begin{align*}
  & d_1(x,y)=(x-y)^2,  & & d_2(x,y) = \sqrt{\abs{x-y}}, \\
  & d_3(x,y)=\abs{x^2-y^2}, & & d_4(x,y) = \abs{x-2y}, \\
  & d_5 = \frac{\abs{x-y}}{1+\abs{x-y}},
  \end{align*}
para cada $(x,y)\in\RR\times\RR$. Decida cuáles de ellas son métricas.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item\label{d12infty} Las funciones $d_1$,~$d_2$,~$d_\infty:\RR^n\times\RR^n\to\RR$ tales que
  \begin{align*}
  & d_1(x,y)=\sum_{i=1}^n\abs{x_i-y_i}, 
        & & d_2(x,y) = \left(\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2\right)^{1/2}, \\
  & d_\infty(x,y) = \sup_{1\leq i\leq n}\abs{x_i-y_i},
  \end{align*}
para cada $(x,y)\in\RR^n\times\RR^n$ son métricas.

\item Haga diagramas de las bolas $B_1(0)$ correspondientes a cada una 
de las métricas $d_1$,~$d_2$,~$d_3$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $p$,~$q\in\RR$ tales que $1<p,q$ y $\frac1{p}+\frac1{q}=1$.
\begin{ejitems}

\item\header{Desigualdad de Young} Si $x$,~$y>0$, entonces
  \[
  xy \leq \frac{x^p}{p} + \frac{y^q}q.
  \]

\item\header{Desigualdad de Hölder} Si $x$,~$y\in\RR^n$, entonces
  \[
  \abs[\big]{\inn{x,y}}
    \leq \sum_{i=1}^n\abs{x_iy_i}
    \leq \left(\sum_{i=1}^n\abs{x_i}^p\right)^{1/p}
         \left(\sum_{i=1}^n\abs{y_i}^q\right)^{1/q}.
  \]

\begin{Indicacion}
Reduza al caso en que $\left(\sum_{i=1}^n\abs{x_i}^p\right)^{1/p}=
\left(\sum_{i=1}^n\abs{y_i}^q\right)^{1/q}=1$.
\end{Indicacion}

\item\header{Desigualdad de Minkowski} Si $x$,~$y\in\RR^n$, entonces
  \[
  \left(\sum_{i=1}^n\abs{x_i+y_i}^p\right)^{1/p}
    \leq \left(\sum_{i=1}^n\abs{x_i}^p\right)^{1/p}
         + \left(\sum_{i=1}^n\abs{y_i}^p\right)^{1/p}.
  \]

\begin{Indicacion}
Use la desigualdad de Hölder.
\end{Indicacion}

\item La función $d_p:(x,y)\in\RR^n\times\RR^n\mapsto\left(\sum_{i=1}^n\abs{x_i-y_i}^p\right)^{1/p}\in\RR$
es una métrica en~$\RR^n$.

\end{ejitems}

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Espacios métricos}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto y sea $d:X\times X\to\RR$ la función tal que
  \[
  d(x,y) =
    \begin{cases}
    1, & \text{si $x\neq y$;} \\
    0, & \text{en caso contrario.}
    \end{cases}
  \]
El par $(X,d)$ es un espacio métrico y todo subconjunto~$A\subseteq X$ es
abierto en~$X$. Decimos que se trata de un \emph{espacio métrico discreto}.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea
$\ell^1=\{(a_n)_{n\geq1}\in\RR^\NN:\sum_{i\geq1}\abs{a_i}<\infty\}$ y sea
$d:\ell^1\times\ell^1\to\RR$ tal que
  \[
  d(a,b) = \sum_{i\geq1}\abs{a_i-b_i}
  \]
siempre que $a=(a_i)_{i\geq1}$, $b=(b_i)_{i\geq1}\in\ell^1$. El par
$(\ell^1,d)$ es un espacio métrico.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea
$\ell^\infty=\{(a_n)_{n\geq1}\in\RR^\NN:\sup_{i\geq1}\abs{a_i}<\infty\}$ y sea
$d:\ell^\infty\times\ell^\infty\to\RR$ tal que
  \[
  d(a,b) = \sup_{i\geq1}\abs{a_i-b_i}
  \]
siempre que $a=(a_i)_{i\geq1}$, $b=(b_i)_{i\geq1}\in\ell^\infty$. El par
$(\ell^\infty,d)$ es un espacio métrico.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $a$,~$b\in\RR$ son tales que $a<b$, sea $C[a,b]$ el conjunto
de todas las funciones $[a,b]\to\RR$ que son continuas. 
Las funciones $d_1$,~$d_\infty:C[a,b]\times C[a,b]\to\RR$ dadas por
  \begin{gather*}
  d_1(f,g) = \int_a^b\abs{f(x)-g(x)} \d x
\shortintertext{y}
  d_\infty(f,g) = \sup_{x\in[a,b]}\abs{f(x)-g(x)}
  \end{gather*}
para cada $f$,~$g\in C[a,b]$, son métricas sobre~$C[a,b]$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\label{dXX1infty} Sean $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ dos espacios métricos y sean 
  \[
  d_X, d_\infty:(X\times Y)\times(X\times Y)\to\RR
  \]
las funciones tales que 
  \begin{gather*}
  d_1\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr) = d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2)
\shortintertext{y}
  d_\infty\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr) = \max\{d_X(x_1,x_2),d_Y(y_1,y_2)\}
  \end{gather*}
siempre que $x_1$,~$x_2\in X$ y $y_1$,~$y_2\in Y$. Entonces $(X\times
Y,d_1)$ y $(X\times Y,d_\infty)$ son espacios métricos.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico y sea 
  \[
  d':(x,y)\in X\times X\mapsto \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}\in \RR.
  \]
Entonces $(X,d')$ es un espacio métrico, y la métrica~$d'$ es
\emph{topológicamente equivalente} a la métrica~$d$: esto es, un conjunto
es abierto para~$d$ sii es abierto para~$d'$. Nótese que $d'$ es
\emph{acotada}.

\item Sea $\bigl((X_n,d_n)\bigr)_{n\geq1}$ una sucesión de espacios
métricos tal que para cada $n\geq1$ y cada $x$,~$y\in X_n$ se tiene que
$0\leq d(x,y)\leq 1$. Sea $X=\prod_{n\geq1}X_n$ y sea $d:X\times X\to\RR$
tal que
  \[
  d(x,y) = \sum_{i\geq1}2^{-n}d_n(x_n,y_n)
  \]
cada vez que $x=(x_n)_{n\geq1}$,~$y=(y_n)_{n\geq1}\in X$. El par $(X,d)$ es
un espacio métrico.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico y sea $X^\NN$ el conjunto de las
sucesiones en~$X$. Construya una métrica \emph{razonable} sobre~$X^\NN$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Las métricas $d_1$,~$d_2$ y $d_\infty$ sobre~$\RR^n$ definidas en el
ejercicio~\ref{d12infty} son topológicamente equivalentes.

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Propiedades topológicas}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico y sean $A$,~$B\subseteq X$.
\begin{ejitems}

\item Muestre que
\begin{ejitems}

\item $A^\circ=\bigcup_{\text{$U\subseteq A$ abierto}}U$;

\item $\emptyset^\circ$ y $X^\circ=X$;

\item $A\subseteq B \implies A^\circ\subseteq B^\circ$;

\item $(A\cap B)^\circ = A^\circ\cap B^\circ$; 

\item $(A\cup B)^\circ\supseteq A^\circ\cup B^\circ$.

\end{ejitems}
¿Puede generalizar las dos últimas afirmaciones al caso de uniones o
intersecciones infinitas? ¿Vale la igualdad en la última de ellas?

\item Muestre que
\begin{ejitems}

\item $\overline A=\bigcup_{\text{$F\supseteq A$ cerrado}}F$;

\item $\overline\emptyset=\emptyset$ y $\overline X=X$;

\item $A\subseteq B\implies\overline A\subseteq\overline B$;

\item $\overline{A\cup B} = \overline A\cup\overline B$;

\item $\overline{A\cap B}\supseteq\overline A\cap\overline B$.

\end{ejitems}
¿Puede generalizar las dos últimas afirmaciones al caso de uniones o
intersecciones infinitas? ¿Vale la igualdad en la última de ellas?

\item Muestre que
\begin{ejitems}

\item $(X\setminus A)^\circ = X-\overline A$;

\item $\overline{X\setminus A} = X - A^\circ$.

\end{ejitems}
¿Valen las igualdades $\overline A=\overline{A^\circ}$ y
$A^\circ=(\overline{A})^\circ$?

\item Muestre que
\begin{ejitems}

\item $\partial A=\overline A\cap\overline{X\setminus A}$;

\item $\partial A$ es cerrado;

\item $\partial A=\partial(X\setminus A)$.

\end{ejitems}

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico, sea $A\subseteq X$ y sea $x\in X$.
\begin{ejitems}

\item Es $x\in\overline A$ sii existe una sucesión $(x_n)_{n\geq1}$ en~$A$ tal que
$x_n\to x$.

\item Es $x\in A^\circ$ sii cada vez que una sucesión $(x_n)_{n\geq1}$
en~$X$ converge a~$x$, existe $n_0\geq1$ tal que $x_n\in A$ para $n\geq
n_0$.

\item Dé una caracterización de~$\partial A$ en término de sucesiones.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico y sean $G\subseteq X$ un abierto y
$F\subseteq X$ un cerrado. El conjunto $F\setminus G$ es entonces cerrado y
el conjunto $G\setminus F$ es abierto.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Si $a\in X$ y $r>0$, el conjunto
  \[
  B[a,r] = \{x\in X:d(a,x)\leq r\}
  \]
es la \emph{bola cerrada}  de centro~$a$ y radio~$r$.
\begin{ejitems}

\item El conjunto $B[a,r]$ es cerrado y contiene a $\overline{B(a,r)}$.

\item Dé un ejemplo de un espacio métrico y una bola abierta cuya clausura
no sea la bola cerrada del mismo centro y radio.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ dos espacio métricos y consideremos al
conjunto $X\times Y$ dotado de la métrica~$d_1$ definida en el
ejercicio~\ref{dXX1infty}. Si $A\subseteq X$ y $B\subseteq Y$, entonces
\begin{ejitems}

\item $(A\times B)^\circ = A^\circ\times B^\circ$;

\item $\overline{A\times B} = \overline A\times\overline B$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico y sean $A$,~$B\subseteq X$.
\begin{ejitems}

\item Muestre que
\begin{ejitems}

\item $A'$ es cerrado;

\item $A\subseteq B\implies A'\subseteq B'$;

\item $(A\cup B)'= A'\cup B'$;

\item $\overline A=A\cup A"$;

\item $(\overline A)'=A'$.

\end{ejitems}

\item Un elemento $x\in X$ es un punto de acumulación de~$A$ sii existe una
sucesión $(x_n)_{n\geq1}$ en~$A$ tal que $x_n\to x$ y que no es a la larga
constante.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Encuentre el interior, la clausura, el conjunto derivado, y la
frontera de cada uno de los siguientes subconjuntos de~$\RR$:
  \[
  [0,1], \qquad 
  (0,1), \qquad
  \QQ, \qquad
  \QQ\cap(0,1) \qquad
  \ZZ, \qquad 
  [0,1)\cup{2}.
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que un subconjunto
$A\subseteq X$ es un \emph{conjunto~$G_\delta$} si es la intersección de una
familia numerable de abiertos de~$X$, y que es un
\emph{conjunto~$F_\sigma$} si es la unión de una familia numerable de cerrados de~$X$.
%
\begin{ejitems}

\item El complemento de un conjunto~$G_\delta$ es un conjunto~$F_\sigma$.

\item El complemento de un conjunto~$F_\sigma$ es un conjunto~$G_\delta$.

\item Todo cerrado es un conjunto~$G_\delta$ y todo abierto es un conjunto~$F_\sigma$.

\item Encuentre familias numerables de abiertos de~$\RR$ cuya intersección
sea~$[0,1)$ y~$[0,1]$.

\item Encuentre una familia numerable de cerrados de~$\RR$ cuya unión sea
$[0,1)$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $C\subseteq[0,1]$ el conjunto de Cantor.
\begin{ejitems}

\item $C$ es cerrado y acotado, así que es compacto.

\item $C=C'$. Decimos que se trata de un \emph{conjunto perfecto}.

\item $C^\circ=\emptyset$.

\item Si $x\in[0,1]$, entonces $x\in C$ sii el dígito~$2$ no aparece en el 
desarrollo $3$\nbd-ário de~$x$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico, sean $(x_n)_{n\geq1}$ e
$(y_n)_{n\geq1}$ dos sucesiones en~$X$, y sean $x$,~$y\in X$.
%
\begin{ejitems}

\item Si $x_n\to x$ e $y_n\to y$, entonces, $d(x_n,y_n)\to
d(x,y)$.

\item Si $(x_n)_{n\geq1}$ e $(y_n)_{n\geq1}$ son sucesiones de Cauchy,
entonces la sucesión de números reales $(d(x_n,y_n))_{n\geq1}$ converge.

\end{ejitems}

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Distancias a conjuntos}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Si $A\subseteq X$ es no vacío y $x\in
X$, la \emph{distancia de~$x$ a~$A$} es
  \[
  d(x,A) = \inf\{d(x,a):a\in A\}.
  \]
\begin{ejitems}

\item Si $x$,~$y\in X$, entonces $\abs{d(x,A)-d(y,A)}\leq d(x,y)$.

\item $x\in A\implies d(x,A)=0$.

\item $d(x,A)=0 \iff x\in\overline A$.

\item Si $r>0$, el conjunto $B(A,r)=\{x\in X:d(x,A)<r\}$ es abierto.

\item Si $r>0$, el conjunto $B[A,r]=\{x\in X:d(x,A)\leq r\}$ es cerrado.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Si $A$,~$B\subseteq X$ son
subconjuntos no vacíos, la \emph{distancia de~$A$ a~$B$} es
  \[
  d(A,B) = \inf\{d(a,b):a\in A, b\in B\}.
  \]
Determine la veracidad de las siguientes afirmaciones:
\begin{ejitems}

\item $d(A,B)=d(\overline A,\overline B)$.

\item $d(A,B)=0 \iff A\cap B\neq\emptyset$.

\item $d(A,B)=0 \iff \overline A\cap\overline B\neq\emptyset$.

\item Para todo $C\subseteq X$ no vacío es $d(A,B)\leq d(A,C)+d(C,B)$.

\end{ejitems}

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace*{\stretch{1}}

\foto{Frechet}{Maurice René Fréchet\\1878--1973, Francia}{%
Fréchet introdujo la noción de espacio métrico en su trabajo \emph{Sur
quelques points du calcul fonctionnel} (Rendic. Circ. Mat. Palermo
\textbf{22} (1906) 1--74), que es un resumen de su tesis doctoral. El
término `espacio métrico', sin embargo, fue introducido por Felix Hausdorff
}

\vspace*{\stretch{1}}

\end{document}
