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\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\hyphenation{siguiente}

\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
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\renewcommand\P{\mathscr{P}}

\let\emptyset\varnothing
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\hyphenation{sobre}

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\Materia{Cálculo Avanzado}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2010}
\Practica{2}
\Titulo{Cardinalidad}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Algunas identidades}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $B$ un conjunto y $(A_i)_{i\in I}$ una familia de conjuntos.
Entonces:
\begin{ejitems}

\item $B\setminus\bigcup_{i\in I}A_i=\bigcap_{i\in I}(B\setminus A_i)$;

\item $B\setminus\bigcap_{i\in I}A_i=\bigcup_{i\in I}(B\setminus A_i)$;

\item $\bigcup_{i\in I}(A_i\cap B) = B\cap\bigcup_{i\in I}A_i$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(A_n)_{n\in\NN}$ una familia de conjuntos, y sea
$A=\bigcup_{n\in\NN}A_n$. Encuentre una familia de conjuntos
$(B_n)_{n\in\NN}$ tal que:
  \begin{itemize}

  \item $B_n\subseteq A_n$ para cada $n\in\NN$;

  \item $B_k\cap B_j=\emptyset$ si $k$,~$j\in\NN$ y $k\neq j$; y

  \item $A=\bigcup_{n\in\NN}B_n$.

  \end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:X\to Y$ una función y sean $A$,~$B\subseteq X$. 
\begin{ejitems}

\item Muestre que 
  \begin{ejitems}

  \item $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$,

  \item $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$,

  \end{ejitems}
y de un ejemplo en el que esta última inclusión sea estricta.

\item Generalice esto al caso de uniones e intersecciones infinitas.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:X\to Y$ una función y sean $A\subseteq X$ y
$B$,~$B_1$,~$B_2\subseteq V$. Pruebe que
  \begin{ejitems}

  \item $A\subseteq f^{-1}(f(A))$;

  \item $f(f^{-1}(B))\subseteq B$;

  \item $f^{-1}(Y\setminus B) = X\setminus f^{-1}(B)$;

  \item $f^{-1}(B_1\cup B_2) = f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)$;
  
  \item $f^{-1}(B_1\cap B_2) = f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)$.

  \end{ejitems}
Generalize las dos últimas igualdades al caso de uniones e intersecciones
infinitas.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:X\to Y$ una función. Entonces $f$ es sobreyectiva sii para
cada $B\subseteq Y$ se tiene que $f^{-1}(f(B))=B$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:X\to Y$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
\begin{ejitems}

\item $f$ es inyectiva;

\item $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ para cada $A$,~$B\subseteq X$;

\item $f^{-1}(f(A))=A$ para todo $A\subseteq X$;

\item $f(A)\cap f(B)=\emptyset$ para cada $A$,~$B\subseteq X$ tales que
$A\cap B=\emptyset$;

\item $f(A\setminus B)=f(A)\setminus f(B)$ para cada $A$,~$B\subseteq X$
tales que $B\subseteq A$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un conjunto. Para cada $S\subseteq A$, la \emph{función
característica de~$S$} es la función $\chi_S:A\to\{0,1\}$ tal que
  \[
  \chi_S(a) =
    \begin{cases}
    1, & \text{si $a\in S$;} \\
    0, & \text{si $a\not\in S$.} 
    \end{cases}
  \]
\begin{ejitems}

\item Si $S$,~$T\subseteq A$, entonces $\chi_{S\cap T}=\chi_S\cdot\chi_T$.

\item Si $S\subseteq A$, entonces $\chi_{A\setminus S}=1-\chi_S$.

\item Su $S$,~$T\subseteq A$, entonces $\chi_S+\chi_T=\chi_{S\cup
T}+\chi_{S\cap T}$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Cardinalidad}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $n\in\NN_0$ y $A$ es un conjunto de $n$ elementos, entonces $\P(A)$
tiene $2^n$ elementos.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un conjunto. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
\begin{ejitems}

\item $A$ es infinito, de manera que contiene un subconjunto en biyección
con~$\NN$; 

\item para todo $x\in A$ existe una función biyectiva $f_x:A\to A\setminus\{x\}$;

\item para todo $n\in\NN$ y todo subconjunto $X=\{x_1,\dots,x_n\}\subseteq
A$, existe una función biyectiva $f_X:A\to A\setminus X$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un conjunto numerable y sea $f:A\to B$ una función
sobreyectiva. Muestre que $B$ es a lo sumo numerable.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que los siguientes conjuntos son infinitos y numerables:
$\ZZ_{\leq-1}$, $\ZZ_{\geq-3}$, $3\NN$, $\ZZ$, $\NN^2$, $\ZZ\times\NN$,
$\QQ$, $\NN^m$ con $m\in\NN$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Si $A$ y $B$ con conjuntos a lo sumo numerables, la unión $A\cup B$
es a lo sumo numerable.

\item Sea $A$ un conjunto finito y sea $S=\bigcup_{m\in\NN} A^m$. Muestre
que $S$ es infinito numerable.

Deduzca de esto que, cualquiera sea el alfabeto utilizado, hay más números
reales que palabras para nombrarlos. ¿Cuántos subconjuntos de $\NN^2$
pueden ser definidos en un lenguaje fijo? ¿Cuántos hay en total?

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un conjunto infinito y sea $B$ un conjunto numerable. Existe
una biyección entre $A\cup B$ y $A$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item El conjunto de los polinomios con coeficientes racionales es
numerable.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Un número complejo $z\in\CC$ es \emph{algebraico} si existen
$n\in\NN$ y enteros $a_0$,~\dots,~$a_n$, no todos nulos, tales que
$a_0+a_1z+\cdots+a_{n-1}z^{n-1}+a_nz^n=0$.
\begin{ejitems}

\item El conjunto de los números algebraicos es numerable.

\item Existen números reales que no son algebraicos, a los que llamamos
\emph{números trascendentes}.

\item Más aún, hay tantos números trascendentes como números reales.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X\subseteq\RR_{\geq0}$ y supongamos que existe $C>0$ tal que
para cada subconjunto finito $\{x_1,\dots,x_n\}\subseteq X$ vale que
$\sum_{i=1}^nx_i\leq C$. Entonces el conjunto $X$ es a lo sumo numerable.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $f:\RR\to\RR$ es una función monótona, entonces el conjunto
  \[
  \{x\in\RR:\text{$f$ no es continua en $x$}\}
  \]
es a lo sumo numerable.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $A$ es un conjunto numerable, el conjunto de las partes finitas
de~$A$ es numerable.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determine los cardinales de los siguientes conjuntos:
\begin{ejitems}

\item $\NN^\NN$, el conjunto de todas las sucesiones de elementos de~$\NN$; 

\item $\{(a_n)_{n\in\NN}\in\NN^\NN : \forall n\in\NN, a_n\leq a_{n+1} \}$;

\item $\{(a_n)_{n\in\NN}\in\NN^\NN : \forall n\in\NN, a_n\geq a_{n+1} \}$;

\item $\{(a_n)_{n\in\NN}\in\QQ^\NN : \lim_{n\to\infty}a_n=0\}$;

\item $\{(a_n)_{n\in\NN}\in\QQ^\NN : \text{la sucesión $(a_n)_{n\in\NN}$ es periódica}\}$;

\item $\{(a_n)_{n\in\NN}\in\NN^\NN : \forall n\in\NN, 1\leq a_n\leq m\}$, con $m\in\NN$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Encuentre el cardinal de los siguientes conjuntos:
\begin{ejitems}

\item $\{I\subseteq\RR: \text{$I$ es un intervalo de extremos racionales}\}$;

\item $\{[a,b]\subseteq\RR:a,b\in\RR\wedge a<b\}$;

\item $\{(x,y)\in\RR^2:3x^2+2y\geq7\}$;

\item $\RR_{>0}$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $(A_i)_{i\in I}$ es una familia de intervalos disjuntos de~$\RR$,
describa los posibles cardinales del conjunto $I$.

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace*{\stretch{1}}

\foto{Cantor}{Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor\\1845--1918, Rusia y Alemania}{%
Aparte de fundar esencialmente lo que hoy entendemos por teoría de
conjuntos, Cantor obtuvo resultados importantes en el area del análisis de
Fourier---suyo es el resultado que afirma que una función es suma de a lo
sumo una serie de Fourier, por ejemplo---y, de hecho, fue su estudio
detallado del problema de la caracterización de los posibles conjuntos de
convergencia de una serie de Fourier lo que lo llevó a considerar la
aritmética transfinita de ordinales y cardinales.
}

\vspace*{\stretch{1}}

\end{document}
