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\hyphenation{siguiente lema abierto abierta podemos sucesión suce-siones
  bola bolas
}

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\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}

\let\eps\varepsilon

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\Materia{Cálculo Avanzado}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2010}
\Titulo{Primer parcial}

\begin{document}

\maketitleParcial

\thispagestyle{empty}

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto y sean $d_1$ y $d_2$ dos métricas sobre~$X$. Las
siguientes afirmaciones son equivalentes:
\begin{ejitems}

\item Todo conjunto abierto para~$d_2$ es también abierto para~$d_1$.

\item La función identidad $\id:(X,d_1)\to(X,d_2)$ es continua.

\item Si $Y$ es un espacio métrico y $f:X\to Y$ que es continua para~$d_2$,
entonces $f$~también es continua para~$d_1$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\implicacion{1}{2} Sabemos que para ver que $\id$ es continua, alcanza con
mostrar que si $U\subseteq X$ es un abierto en~$(X,d_1)$ entonces
$\id^{-1}(U)$ es un abierto en~$(X,d_1)$. Como $\id^{-1}(U)=U$, esto es
consecuencia inmediata de la hipótesis.

\implicacion{2}{1} Sea $U\subseteq X$ un abierto para~$d_2$. Como
$\id:(X,d_1)\to(X,d_2)$ es continua, $\id^{-1}(U)$ es un abierto
en~$(X,d_1)$, esto es, $U$~es abierto para~$d_1$.

\implicacion{2}{3} Sea $(Y,d)$ un espacio métrico y sea $f:X\to Y$ una
función que es continua para la métrica~$d_2$, esto es, tal que
$f:(X,d_2)\to(Y,d)$ es continua. Entonces la composición de~$f$ con la
función $\id:(X,d_1)\to(X,d_2)$, que es continua por hipótesis, es
continua. Esta composición es la función~$f:(X,d_1)\to(Y,d)$.

\implicacion{3}{2} Sea $Y$ el espacio métrico $(X,d_2)$. La 
función $\id:(X,d_2)\to(X,d_2)$ es continua, así que por hipótesis la
función $\id:(X,d_1)\to(X,d_2)$ es continua.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $B(\RR)$ el conjunto de las funciones continuas y acotadas
$\RR\to\RR$ dotado de la métrica~$d_\infty$ y sea $D\subseteq\RR$. Entonces
el conjunto $E=\{f\in B(\RR):f(0)\in D\}$ es denso en~$B(\RR)$ sii $D$~es
denso en~$\RR$.

\begin{Solucion}
($\Longrightarrow$) Sea $a\in\RR$. Sea $\eps>0$. Sea $f:x\in\RR\mapsto
a\in\RR$ la funcion constante de valor~$a$, que evidentemente es un
elemento de~$B(\RR)$. Como $E$~es denso en~$B(\RR)$, existe $g\in E$ tal
que $d_\infty(f,g)<\eps$, y entonces
  \[
  \abs{a-g(0)}=\abs{f(0)-g(0)} \leq \sup_{x\in\RR}\abs{f(x)-g(x)} = d_\infty(f,g) < \eps.
  \]
Como $g(0)\in D$, esto nos dice que $d(a,D)<\eps$. La arbitrariedad
de~$\eps$ implica que $a\in\overline D$ y concluimos que $D$ es denso
en~$\RR$.

($\Longleftarrow$) Sea $f\in B(\RR)$ y sea $\eps>0$. Como $D$ es denso
en~$\RR$, existe $a\in D$ tal que $\abs{a-f(0)}<\eps$. La función
$g=f+a-f(0)$ es continua y acotada, así que se trata de un elemento
de~$B(\RR)$. Por otro lado, es claro que $g(0)=a\in D$, de manera que $g\in
E$,y que
  \[
  d_\infty(f,g)=\sup_{x\in\RR}\abs{f(x)-(f(x)+a-f(0)} = \abs{a-f(0)} < \eps.
  \]
Esto nos dice que $d_\infty(f,E)<\eps$. Como $\eps$ es arbitrario, vemos
que $f\in\overline E$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item \begin{ejitems}

\item Sean $X$ e $Y$ dos espacios métricos y sea $f:X\to Y$ una función
continua. Si $X$ es separable, el subespacio~$f(X)$ de~$Y$ es separable.

\item Sea $X$ un espacio métrico y sea $Y\subseteq X$ un subespacio
separable. Entonces $\overline Y$ es un subespacio separable de~$X$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $D$ un subconjunto denso numerable en~$X$. Sea $y\in f(X)$.
Existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$ y, por hipótesis, existe una
sucesión~$(x_n)_{n\geq1}$ en~$D$ tal que $\lim_{n\to\infty}x_n=x$. Como
$f$~es continua, $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)=y$. Es claro que la sucesión
$(f(x_n))_{n\geq1}$ toma valores en el conjunto~$f(D)\subseteq f(X)$, así
que esto nos dice que $f(D)$~es denso en~$f(X)$. Como claramente~$f(D)$ es
numerable, vemos que $f(X)$~es separable.

\ejitem{2} Sea $D$ un subconjunto de~$Y$ que es denso en~$Y$. Afirmamos que
$D$ es denso en~$\overline Y$.

En efecto, sea $x\in\overline Y$ y sea $\eps>0$. Como $x\in\overline Y$,
existe $y\in Y$ tal que $d(x,y)<\eps/2$ y como $D$ es denso en~$Y$, existe
$z\in D$ tal que $d(y,z)<\eps/2$. Luego $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)<\eps$. La
arbitrariedad de~$\eps$ implica que $d(x, D)=0$, esto es, que
$x\in\overline D$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Un espacio métrico separable y no numerable tiene al menos un punto
de condensación.

\item Si $X$ es un espacio metrico separable y no numerable y $C$ es el
conjunto de los puntos de condensación de~$X$, entonces $X\setminus C$ es a
lo sumo numerable.

\item Un espacio métrico separable tiene a lo sumo cardinal $c$.

\item* Un espacio métrico separable, completo y no numerable tiene cardinal
exactamente~$c$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $X$ un espacio métrico separable y supongamos que todo $x\in
X$ posee un entorno abierto~$U_x$ numerable. Entonces $\U=\{U_x:x\in X\}$
es un cubrimiento abierto de~$X$ así que, como $X$ es un espacio de
Lindelöf, existe un subconjunto \emph{numerable} $Y\subseteq X$ tal que
$\U'=\{U_x:x\in Y\}\subseteq\U$ es un subcubrimiento. Pero entonces
$X=\bigcup_{x\in Y}U_x$ es un conjunto numerable. Vemos así que si $X$ es
no numerable, debe existir algún punto de~$X$ que no posee entornos
numerables: ese punto es un punto de condensación.

\ejitem{2} El conjunto $X\setminus C$ es un espacio métrico separable. Si
fuese no numerable tendría, de acuerdo a la parte~\ejitem{1} de este
ejercicio, un punto de condensación. Pero ese punto sería también,
evidentemente, un punto de condensación de~$X$. Esto es absurdo.

\ejitem{3} Sea $X$ un espacio métrico separable y sea $D\subseteq X$ un
subconjunto denso y numerable. Sea $S\subseteq D^\NN$ el conjunto de las
sucesiones con valores en~$D$ que convergen, y sea $\ell:S\to X$ la función
tal que $\ell(s)$ es el límite de $s\in S$. Como $D$ es denso en~$X$, la
función $\ell$~es sobreyectiva. La conclusión buscada sigue entonces de que
$\abs{X} \leq \abs{S} \leq \abs{D^\NN} = c$.

\ejitem{4} Sea $S=\{0,1\}$. Construyamos para cada $k\geq1$ y cada
secuencia finita $i_1i_2\cdots i_k$ de~$k$ elementos de~$S$ una bola
cerrada $B_{i_1i_2\cdots i_k}$ que es no numerable, de radio menor que
$2^{-k}$ y, si~$k>1$, contenida en~$B_{i_1i_2\cdots i_{k-1}}$:
\begin{itemize}
  
  \item Supongamos primero que $k=1$. Como $X$ es un espacio métrico
  separable y no numerable, de acuerdo a~\ejitem{2} existen dos puntos de
  condensación $x_1$,~$x_2\in X$ distintos. Si
  $r=\min\{d(x_1,x_2)/2,2^{-1})$, podemos poner $B_0=\overline B(x_1,r)$ y
  $B_1=B(x_2,r)$.

  \item Supongamos ahora que $k\geq 1$, que $i_1i_2\cdots i_k$ es una
  secuencia de~$k$ elementos de~$S$ tal que ya construimos la
  bola~$B=B_{i_1i_2\cdots i_k}$ con centro~$y$ y radio~$r$. Como
  $B'=\overline B(y,r/2)$ es un espacio métrico separable y no numerable,
  \ejitem{2} nos dice que posee dos puntos de condensación $x_1$,~$x_2\in
  B'$. Si $s=\min\{d(x_1,x_2)/2,r/2,2^{-k}\}$, entonces ponemos
  $B_{i_1i_2\cdots i_k0}=\overline B(x_1,s)$ y $B_{i_1i_2\cdots
  i_k1}=\overline B(x_2,s)$. Se trata de subconjuntos disjuntos y no
  numerables de~$B$.

\end{itemize}
Notemos $c_{i_1i_2\cdots i_k}$ al centro de la bola $B_{i_1i_2\dots i_k}$.

Sea $S^\NN$ es conjunto de las sucesiones con valores en~$S$. Si
$s=(s_k)_{k\geq1}\in S^\NN$, definimos una sucesión $x^s=(x^s_k)_{k\geq1}$
con $x^s_k=c_{s_1s_2\cdots s_k}$. Por la forma en que fue construida la
familia de bolas, es claro que $d(x^s_k,x^s_l)\leq 2^{-\min\{k,l\}}$ para
cada $k$,~$l\in\NN$, así $x^s$ es una sucesión de Cauchy en~$X$, así que en
particular existe $\phi(s) = \lim_{k\to\infty} x^s_k\in X$. 

Esto define entonces una función $\phi:s\in S^\NN\mapsto \lim x^s\in X$, y
es claro que $\phi(s)\in B_{s_1s_2\cdots s_k}$ para todo $k\geq1$. Si
$s$,~$t\in S^\NN$ son distintos, existe $k\in\NN$ tal que $s_i=t_i$ si
$1\leq i<k$ y $s_k\neq t_k$. $\phi(s)\in B_{s_1s_2\cdots s_k}$ y
$\phi(t)\in B_{t_1t_2\cdots t_k}$, y como $B_{s_1s_2\cdots s_k}\cap
B_{t_1t_2\cdots t_k}=\emptyset$, es $\phi(s)\neq\phi(t)$. Así, $\phi$~es
una función inyectiva.

Esto implica que $\abs{X}\geq\abs{S^\NN}=c$ y, teniendo en cuenta con lo hecho
en~\ejitem{3}, podemos concluir que $\abs{X}=c$, como queríamos.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Recordemos que un subconjunto de un espacio métrico es \emph{nunca
denso} si el interior de su clausura en vacío, y que es de \emph{primera
categoría} si es unión numerable de conjuntos nunca densos.

\begin{ejitems}

\item Un espacio métrico numerable es de primera categoría sii no posee
puntos aislados.

\item Un espacio métrico numerable y completo tiene infinitos puntos
aislados.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Supongamos primero que $X$ es un espacio métrico numerable sin
puntos aislados. Entonces para cada $x\in X$ el conjunto $\{x\}$ es cerrado
de interior vacío, es decir nunca denso, y $X=\bigcup_{x\in X}\{x\}$ es de
primera categoría.

Recíprocamente, supongamos que $X$ es un espacio métrico que posee un punto
aislado~$x$, y que $X=\bigcup_{n\geq1}N_n$, con $N_n\subseteq X$ para
cada~$n\in\NN$. Existe $n\in\NN$ tal que $x\in N_n$, y entonces, como
$\{x\}$ es abierto, $\{x\}\subseteq(\overline{N}_n)^\circ$.
Luego $N_n$ no es nunca denso. Esto implica que $X$ no es de primera
categoría.

\ejitem{2} Supongamos que $X$ es un espacio métrico numerable y completo
tal que el conjunto~$S\subseteq X$ de sus puntos aislados es finito.
El espacio $X\setminus S$ es un espacio métrico numerable que es completo
porque se trata de un cerrado de~$X$. Por el teorema de Baire, entonces, 
$X\setminus S$ es de segunda categoría y, en particular, no es de primera
categoría. De acuerdo a~\ejitem{1}, $X\setminus S$ tiene un punto aislado.
Como $X\setminus S$ es un abierto de~$X$, ese punto aislado también es
aislado en~$X$. Esto es absurdo.~\qed
\end{Solucion}

\end{ejercicios}

\end{document}
