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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\title{El conjunto de puntos de continuidad\\de una función real}

\author{Mariano Su\'arez-Alvarez}
\address{Facultad de Ciencias Exactas y Naturales\\
Universidad de Buenos Aires\\
Ciudad Universitaria, Pabell\'on I\\
Buenos Aires (1428) Argentina.}
\email{mariano@dm.uba.ar}

\date{30 de abril, 2010; compiled:~\today}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Fijemos una función $f:\RR\to\RR$. Si $A\subseteq\RR$ es no vacío, ponemos
  \[
  \omega_f(A) = \sup_{x,y\in A}\abs{f(x)-f(y)}.
  \]
Es inmediato que
  \[
  A\subseteq B\subseteq\RR \implies \omega_f(A) \leq \omega_f(B).
  \]

Para cada $x\in\RR$, definimos
  \[
  \omega_f(x) = \inf_{\delta>0} \omega_f\bigl((x-\delta,x+\delta)\bigr).
  \]
Es $0\leq\omega_f(x)\leq\infty$ para todo $x\in\RR$, y el valor~$\infty$ puede
alcanzarse; por ejemplo, si $f$~es la función tal que $f(x) = 0$ si
$x\in\RR\setminus\QQ$, y~$f(x)=q$ si $x=\frac{p}{q}\in\QQ$ y $(p,q)=1$,
entonces $\omega_f(A)=\infty$ siempre que $A^\circ\neq\emptyset$.

\begin{Proposicion}\label{prop:cont}
La función~$f$ es continua en~$x_0\in\RR$ sii $\omega_f(x_0)=0$.
\end{Proposicion}

En vista de este resultado, podemos ver a~$\omega_f(x_0)$ como
una \emph{medida} de la discontinuidad de~$f$ en~$x_0$.

\begin{proof}
Supongamos primero que $f$ es continua en~$x_0$ y sea $\eps>0$. Existe
entonces $\delta>0$ tal que 
  \[
  \abs{x-x_0}<\delta \implies \abs{f(x)-f(x_0)}<\eps,
  \]
y, en consecuencia, si $x$,~$y\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ tenemos que
  \[
  \abs{f(x)-f(y)} 
    \leq \abs{f(x)-f(x_0)} + \abs{f(x_0)-f(y)}
    \leq 2\eps.
  \]
Esto nos dice que $\omega_f\bigl((x_0-\delta,x_0+\delta)\bigr)<2\eps$, así
que $\omega_f(x_0)<2\eps$. Como esto vale cualquiera sea $\eps$, concluimos
que de hecho es $\omega_f(x_0)=0$.

Recíprocamente, supongamos que $\omega_f(x_0)=0$ y sea $\eps>0$. La
hipótesis implica que existe $\delta>0$ tal que
$\omega_f\bigl((x_0-\delta,x_0+\delta)\bigr)<\eps$, y esto significa que si
$x$,~$y\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ entonces $\abs{f(x)-f(y)}<\eps$. Por
supuesto, en particular vemos que
  \[
  \abs{x-x_0}<\delta \implies \abs{f(x)-f(x_0)}<\eps.
  \]
Así, $f$~es continua en~$x_0$, como queríamos.
\end{proof}
 
\begin{Proposicion}\label{prop:ab}
Si $\gamma>0$, el conjunto $\{x\in\RR:\omega_f(x)<\gamma\}$ es abierto
en~$\RR$.
\end{Proposicion}

\begin{proof}
Llamemos $A$ al conjunto del enunciado y sea $x_0\in A$, de manera que
$\omega_f(x_0)<\gamma$. Existe entonces $\delta>0$ tal que
$\omega_f\bigl((x_0-\delta,x_0+\delta)\bigr)<\gamma$.

Si $x_1\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ y $\delta'>0$ es tal que
$(x_1-\delta',x_1+\delta')\subseteq(x_0-\delta,x_0+\delta)$, entonces
  \begin{align}
  \omega_f(x_1)
    & \leq \omega_f\bigl((x_1-\delta',x_1+\delta')\bigr) 
      \leq \omega_f\bigl((x_0-\delta,x_0+\delta)\bigr) 
      < \gamma,
  \end{align}
de manera que $x_1\in A$. Luego $(x_0-\delta,x_0+\delta)\subseteq A$, y
vemos que $x_0\in A^\circ$.
\end{proof}

\begin{Proposicion}
El conjunto $\{x\in\RR:\text{$f$ es continua en~$x$}\}$ es~$G_\delta$.
\end{Proposicion}

\begin{proof}
De la proposición~\ref{prop:cont} sabemos que el conjunto del enunciado 
coincide con $\{ x\in\RR : \omega_f(x) = 0 \}$, que a su vez es claramente
lo mismo que
  \[
  \bigcap_{n\geq1} \{ x\in\RR : \omega_f(x) < \tfrac1n \}.
  \]
De acuerdo a la proposición~\ref{prop:ab}, cada uno de los conjuntos que
aparecen en esta intersección numerable es abierto, así que esta
intersección es un conjunto~$G_\delta$.
\end{proof}

\begin{Proposicion}
Todo conjunto~$G_\delta$ de~$\RR$ es el conjunto de puntos de continuidad
de alguna función $f:\RR\to\RR$.
\end{Proposicion}

\begin{proof}
Sea $G\subseteq\RR$ un conjunto~$G_\delta$, de manera que existe una
sucesión de abiertos $(G_n)_{n\geq1}$ de~$\RR$ tal que
$G=\bigcap_{n\geq1}G_n$. Sin pérdidad de generalidad, podemos suponer que
$G_1=\RR$ y que, más aún, $G_n\supseteq G_{n+1}$ para cada $n\geq1$; en
efecto, si no fuese este el caso podríamos considerar en cambio la sucesión
de abiertos $(G'_n)_{n\geq1}$ que tiene $G'_n=\bigcap_{1\leq i<n}G_n$ para
cada $n\geq1$, que también tiene como intersección a~$G$. Notemos que
$\{G\} \cup \{ G_n\setminus G_{n+1} : n\geq 1 \}$ es una familia de
subconjuntos disjuntos con unión igual a~$\RR$.

Sean $\alpha=(\alpha_n)_{n\geq1}$ y $\beta=(\beta_n)_{n\geq1}$ sucesiones
en~$\RR$ tales que $\alpha_n>\beta_n>\alpha_{n+1}$ para cada $n\geq1$ y
$\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\lim_{n\to\infty}\beta_n=0$, y consideremos la
función $f:\RR\to\RR$ tal que para cada $x\in\RR$ es
  \[
  f(x) = 
    \begin{cases}
    0, & \text{si $x\in G$;} \\
    \alpha_n, & \text{si $x\in(G_n\setminus G_{n+1})\cap\QQ$;} \\
    \beta_n, & \text{si $x\in(G_n\setminus G_{n+1})\cap(\RR\setminus\QQ)$.} 
    \end{cases}
  \]
Afirmamos que el conjunto de puntos de continuidad de~$f$ es
precisamente~$G$. Esto sigue de la consideración de los siguientes dos
casos:
%
\begin{itemize}

\item Sea $x_0\in G$ y sea $\eps>0$. Existe $N\in\NN$ tal que
$\alpha_N<\eps$ y, como $x\in G_N$, existe $\delta>0$ tal que
$B(x_0,\delta)\subseteq G_N$. 

Sea $x\in B(x_0,\delta)$. Si $x\in G$, entonces $f(x)=0<\eps$. Por otro
lado, si existe $n$ tal que $x\in G_n\setminus G_{n+1}$, entonces
necesariamente $n\geq N$ y, como $f(x)\in\{\alpha_n,\beta_n\}$, vemos que
también en este caso $f(x)<\alpha_N<\eps$. 

Así, vemos que $0\leq f(x)<\eps$ cualquiera sea $x\in B(x_0,\delta)$ y,
como $f(x_0)=0$, esto nos dice que $f$ es continua en~$x_0$.

\item Sea ahora $n\in\NN$ y $x_0\in G_n\setminus G_{n+1}$. Si $x_0$ es
interior a $G_n\setminus G_{n+1}$, entonces en todo entorno de~$x_0$ hay
puntos donde $f$ vale~$\alpha_n$ y puntos donde vale~$\beta_n$. Como
$\alpha_n\neq\beta_n$, $f$ no es continua en~$x_0$.
Supongamos entonces que $x_0$ está en la frontera de $G_n\setminus G_{n+1}$
y, para llegar a un absurdo, que $f$ es continua en~$x_0$.
Existe una sucesión $(y_k)_{k\geq1}$ con valores en
$\RR\setminus(G_n\setminus G_{n+1})$ que converge a~$x_0$ y la hipótesis
implica que $f(x_0)=\lim_{k\to\infty}f(y_k)$. Si notamos
  \[
  A = f(\RR\setminus(G_n\setminus G_{n+1}))
    = \{0\}\cup\{\alpha_k,\beta_k:k\in\NN,k\neq n\},
  \]
entonces $f(y_k)\in A$ para cada $k\geq1$ y $f(x_0)\not\in A$, así que
$f(x_0)\in A'$. Pero la elección de las sucesiones~$\alpha$ y~$\beta$
implica inmediatamente que $A'=\{0\}$, así que debe ser $f(x_0)=0$. Esto es
imposible. 

Concluimos así que $f$ no es continua en los puntos de~$G_n\setminus
G_{n+1}$.~\qedhere 
\end{itemize}

\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
