%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\hyphenation{siguiente}

\newcommand\CC{\mathbb{C}}
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\newcommand\HH{\mathbb{H}}

\renewcommand\S[1]{[\![#1]\!]}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% proclaiming things
\theoremseparator{.}
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\theoremindent\parindent
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\newtheorem*{Proposicion}{Proposición}

\hyphenation{sobre elemento coefi-cientes}

\newcommand\todo[1]{\textcolor{red}{#1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\Materia{Teoría de álgebras}
\Cuatrimestre{Segundo cuatrimestre --- 2010}
\Practica{1}
\Titulo{Álgebras}

\begin{document}

\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Construcciones}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Álgebra opuesta}
\begin{ejitems}
\item Sea $A$ una $k$-álgebra. Sea $\ast:A\times A\to A$ la
operación definida por
  \[
  a\ast b = ba,\qquad\forall a, b\in A.
  \]
Muestre que $(A,+,\ast)$ es una $k$-álgebra. Se trata del \emph{álgebra opuesta de
$A$}, que escribimos habitualmente $A^\op$.

\item Muestre con un ejemplo que en general $A\not\cong A^\op$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $A$ y $B$ son $k$-álgebras, el \emph{producto cartesiano} $A\times
B$ es el álgebra que como $k$-espacio vectorial coincide con la suma
directa~$A\oplus B$ y en la que el producto está dado por
  \[
  (a,b)\cdot(a',b') = (aa',bb')
  \]
cualesquiera sean $a$,~$a'\in A$ y $b$,~$b'\in B$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $A$ es una $k$-álgebra, el \emph{centro} de~$A$ es
  \[
  Z(A) = \{z\in A:\text{para todo $a\in A$ es $az=za$}\}.
  \]
Muestre que $Z(A)$ es una subálgebra de~$A$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Álgebras de matrices}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ una $k$-álgebra y sea $n\in\NN$. El conjunto de matrices
$M_n(A)$ con coeficientes en $A$ es una $k$-álgebra con respecto a las
operaciones usuales de suma y producto de matrices. Si $n>1$, entonces
$M_n(A)$ no es conmutativa.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $A$ es una $k$-álgebra y $n\in\NN$, determine el centro de
$M_n(A)$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determine todos los ideales biláteros de~$M_n(k)$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $A$ es una $k$-álgebra y $m$,~$n\in\NN$, entonces hay un isomorfismo
de $k$-álgebras $M_n(M_m(A))\cong M_{nm}(A)$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ una $k$-álgebra y sea $M_\infty(A)$ el conjunto de todas las
``matrices infinitas'' $(a_{ij})_{i,j\in\NN}$ con coeficientes en~$A$.

Decimos que una matriz $a=(a_{ij})_{i,j\in\NN}\in M_\infty(A)$ tiene
\emph{filas finitas} si para cada $n\in\NN$, existe $k\in\NN$ tal que
$a_{n,m}=0$ si $m>k$; de manera similar, decimos que $a$ tiene
\emph{columnas finitas} si para cada $m\in\NN$, existe $k\in\NN$ tal que
$a_{n,m}=0$ si $n>k$.

Sean $M_\infty^{\mathsf{f}}(A)$ y $M_\infty^{\mathsf{c}}(A)$ los subconjuntos de $M_\infty(A)$ de las
matrices con filas finitas y con columnas finitas, respectivamente, y sea
  \[
  M_\infty^{\mathsf{fc}}(A)=M_\infty^{\mathsf{f}}(A)\cap M_\infty^{\mathsf{c}}(A).
  \]
Con el producto ``usual'' de matrices, $M_\infty^{\mathsf{f}}(A)$,
$M_\infty^{\mathsf{c}}(A)$ y $M_\infty^{\mathsf{fc}}(A)$ son $k$-álgebras.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Álgebras de grupo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\label{ej:AG} Sea $G$ un grupo y sea $A$ una $k$-álgebra. Sea $AG$ el $A$-módulo
izquierdo libre generado por el conjunto~$G$, de manera que $G$ es una base
de~$AG$. Muestre que existe exactamente una estructura de $k$-álgebra en
$AG$ para la cual se tiene que
  \[
  ag \cdot bh = (ab)(gh)
  \]
cualesquiera sean $a$,~$b\in A$ y $g$,~$h\in G$. Llamamos a~$AG$ el \emph{álgebra
de grupo} de~$G$ con coeficientes en~$A$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $C_2$ y $C_3$ grupos cíclicos de~$2$ y $3$ elementos,
respectivamente. Muestre que hay isomorfismos $\CC C_2\cong\CC\times\CC$ y
$\CC C_3\cong \CC\times\CC\times\CC$ de $\CC$-álgebras, y $\RR C_2\cong\RR\times\RR$ de~$\RR$-álgebras. 
Describa además la $\RR$-álgebra $\RR C_3$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $G$ es un grupo y $k$ un cuerpo, describa el centro de la
$k$-álgebra $kG$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $G$ es solamente un \emph{monoide}, esto es, está dotado de un
producto $G\times G\to G$ que es asociativo y que posee un elemento neutro,
la construcción del ejercicio~\ref{ej:AG}  también produce un álgebra, que
en ese caso llamamos el \emph{álgebra de monoide} de~$G$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $k$ un cuerpo.
\begin{ejitems}

\item Si $G=(\NN_0,+)$ es el monoide del conjunto de los números enteros no
negativos con la operación dada por la suma, existe un
isomorfismo de $k$-álgebras $kG\cong k[X]$.

\item Si $G$ es un grupo cíclico infinito, hay un isomorfismo $kG\cong
k[X^{\pm1}]$. Aquí $k[X^{\pm1}]$ es la $k$-álgebra de los \emph{polinomios
de Laurent} con coeficientes en~$k$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Productos cruzados}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ una $k$-álgebra y sea $G$ un grupo. Sea $\Aut_k(A)$ el grupo
de automorfismos de~$A$ en tanto $k$-álgebra y supongamos que
$\phi:G\to\Aut_k(A)$ es un homomorfismo de grupos. Sea $A*G$ el $A$-módulo
a izquierda con base en el conjunto~$G$, de manera que un elemento de~$A*G$
es una combinación lineal formal finita $\sum_{g\in G}a_gG$ de elementos
de~$G$ con coeficientes en~$A$. 

Es claro que $A*G$ es un $k$-espacio
vectorial de manera evidente. Muestre que $A*G$ posee una única estructura de $k$-álgebra
para la cual se tiene que
  \[
  ag \cdot bh = \underbrace{a\phi(g)(b)}_{\in A}\,\underbrace{gh}_{\in G}
  \]
para cada $a$,~$b\in A$ y cada $g$,~$h\in G$. Llamamos al álgebra~$A*G$ el
\emph{producto cruzado} de~$A$ por~$G$ (con respecto a la acción~$\phi$)

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si el morfismo $\phi:G\to\Aut_k(A)$ es trivial, entonces $A*G$ es
isomorfa, en tanto~$k$-álgebra, al álgebra de grupo~$AG$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determine el centro de~$A*G$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $C_2$ un grupo cíclico de órden~$2$ y sea $\sigma\in C_2$ el
elemento no trivial. Consideremos a~$\CC$ como una $\RR$-álgebra y sea
$\phi:C_2\to\Aut_\RR(\CC)$ el morfismo tal que $\phi(\sigma)$ es la
conjugación compleja. Muestre que $\CC*C_2\cong\End_\RR(\CC)$ como
$\RR$-álgebras.

\begin{Indicacion}
Muestre que hay un isomorfismo $f:\CC*C_2\to\End_RR(\CC)$ tal que para cada
$z\in\CC\subseteq\CC*C_2$ la aplicación
$f(z):\CC\to\CC$ es la multiplicación por~$z$, y $f(\sigma):\CC\to\CC$ es
una conjugación.
\end{Indicacion}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Álgebras de convolución}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{Álgebras de funciones}
Sea $A$ una $k$-álgebra y sea $X$ un conjunto no vacío. Sea $X^A$ el
$k$-espacio vectorial de todas las funciones $X\to A$ y consideremos el
producto $\mathord{\cdot}:A\times A\to A$ dado por
  \begin{gather*}
  (f\cdot g)(x) = f(x)g(x), \qquad\forall x\in X
  \end{gather*}
para cada $f, g\in A^X$. Muestre que $X^A$ es una $k$-álgebra.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\label{ej:series}\header{Álgebras de series formales}
Sea $A$ una $k$-álgebra y sea $S$ el conjunto de todas las sucesiones
$(a_n)_{n\geq0}$ de elementos de~$A$. El conjunto~$S$ es de manera natural
un $k$-espacio vectorial y podemos definir un producto
$\mathord{\cdot}:S\times S\to S$ de manera que para cada
$a=(a_n)_{n\geq0}$,~$b=(b_n)_{n\geq0}\in S$ el producto $c=a\cdot b$ es la
sucesión $c=(c_n)_{n\geq0}$ con
  \[
  c_n = \sum_{\substack{k,l\geq0\\k+l=n}}a_kb_l.
  \]
Muestre que $S$ es una $k$-álgebra.

Si introducimos una variable $X$, podemos representar cada sucesión
$a=(a_n)_{n\geq0}$ por una serie formal
  \[
  \sum_{n\geq0}a_nX^n.
  \]
Usando esta notación, las definiciones de la suma y el producto de $S$ imitan
formalmente a las correspondientes operaciones con las series. Esto hace que
llamemos a $S$ el \emph{álgebra de series formales de potencias con coeficientes
en $A$}. La notación usual para este álgebra es $A\S X$. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\label{ej:Dirichlet}\header{Series de Dirichlet} Sea $A$ una $k$-álgebra y sea $S$ el
conjunto de todas las sucesiones $a=(a_n)_{n\geq1}$ de elementos de~$A$. El
conjunto $S$ es de manera evidente un $k$-espacio vectorial. Definimos un
producto $\mathord{\cdot}:S\times S\to S$ poniendo, para cada
$a=(a_n)_{n\geq0}$,~$b=(b_n)_{n\geq0}\in S$ el producto $c=a\cdot b$ es la
sucesión $c=(c_n)_{n\geq0}$ con
  \[
  c_n = \sum_{\substack{d\in\NN\\d\mid n}} a_db_{n/d}.
  \]
Muestre que $S$ es una $k$-álgebra.

Si $s$ es una variable, a un elemento $(a_n)_{n\geq1}\in S$ podemos asignarle la expresion
formal
  \[
  \sum_{n\in\NN} \frac{a_n}{n^s}.
  \]
Las operaciones de $S$ se corresponden entonces con las operaciones evidentes de
estas series. 

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M$ un monoide y supongamos que $M$ es \emph{localmente finito},
de manera que para cada $m\in M$ el conjunto $\{(a,b)\in M\times M:ab=m\}$
es finito.

Sea $A$ una $k$-álgebra y sea $A[M]$ el conjunto de todas las funciones
$M\to A$, con su estructura usual de $k$-espacio vectorial. Definimos un
producto $\mathord\star:M\times M\to M$ de manera que
  \[
  (f\star g)(m) = \sum_{\substack{a,b\in M\\ab=m}}f(a)g(b)
  \]
cada vez que $f$,~$g\in A[M]$ y $m\in M$; notemos que esta expresión tiene
sentido precisamente porque $M$ es localmente finito.

\begin{ejitems}

\item Muestre que $A[M]$ es una $k$-álgebra, a la que llamamos el
\emph{álgebra de convolución} de~$M$ con valores en~$A$.

\item Muestre que las álgebras de series formales como en~\ref{ej:series} y
las álgebras de series de Dirichlet del ejercicio~\ref{ej:Dirichlet} pueden
obtenerse como álgebras de convolución de monoides apropiados.

\end{ejitems}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Álgebras de cuaterniones}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $k$ un cuerpo y sea $\HH=k^4$. Sean
$1$, $i$, $j$ y $k$ los vectores de la base canónica de $\HH$. Mostrar que
existe exactamente un producto asociativo $k$-bilineal
$\mathord{\cdot}:\HH\times\HH\to\HH$ tal que $1$ es el elemento unidad y
  \begin{gather*}
  i^2=j^2=k^2=1, \\
  ij = -ji = k, \qquad
  jk = -kj = i, \qquad
  ki = -ik = j. 
  \end{gather*}
Si queremos poner en evidencia el cuerpo $k$, escribimos $\HH(k)$.
\begin{ejitems}

\item Muestre que con este producto $\HH$ es una $k$-álgebra.

\item Muestre que $\HH(k)$ es conmutativa sii $k$ tiene característica $2$.

\item Determine el centro de $\HH$.

\item Si $u=\alpha1+\beta i+\gamma j+\delta k$, sea $\bar u=\alpha1-\beta
i-\gamma j-\delta k$. Muestre que esto define un anti-automorfismo de
$k$-álgebras $\iota:u\in\HH\mapsto\bar u\in\HH$; esto es, muestre que $\iota$
es un isomorfismo de $k$-espacios vectoriales tal que
  \[
  \overline{uv}=\overline{v}\,\overline{u}.
  \]

\item Muestre que existe una función $N:\HH\to k$ tal que
  \[
  u\,\bar u=N(u)1, \qquad\forall u\in\HH.
  \]
Además, si $u, v\in\HH$, entonces $N(uv)=N(u)N(v)$.

\item Muestre que si $u\in\HH$ es tal que $N(u)\neq0$, entonces $u$ es
inversible en $\HH$.

\item Muestre que $\HH(\RR)$ es un álgebra de división pero que $\HH(\CC)$ no lo
es.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Álgebras de caminos}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
\begin{ejitems}
\item Un \emph{carcaj} $Q$ es una $4$-upla $(Q_0,Q_1,s,t)$ en la que:
\begin{itemize}[noitemsep,label=---]
\item $Q_0$ y $Q_1$ son conjuntos. Los elementos de $Q_0$ son los 
\emph{vértices} de $Q$ y los de $Q_1$ las \emph{flechas}.
\item $s$ y $t$ son funciones $Q_1\to Q_0$. Si $\alpha\in Q_1$ es una flecha,
decimos que $s(\alpha)$ es el \emph{origen} de $\alpha$ y que $t(\alpha)$ es su
final.
\end{itemize}
Por ejemplo, tenemos un carcaj si ponemos $Q=(Q_0,Q_1,s,t)$ con vértices
$Q_0=\{1,2,3,4\}$, flechas $Q_1=\{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\eta,\rho\}$ y $s$ y $t$
están dados por la tabla siguiente:
  \[  
  \setlength{\extrarowheight}{5pt}
  \begin{tabular}{@{\extracolsep{2em}}*{7}{>{\math}c<{\endmath}}}
  {} & \alpha & \beta & \gamma & \delta & \eta & \rho \\ \hline
  s & 1 &2 &2 &2 &3 &3 \\
  t & 2 &3 &3 &4 &3 &1 \\
  \end{tabular}
  \]
Podemos describir este carcaj más eficientemente dando el siguiente dibujo:
  \[\xymatrix{
  1 \ar[r]^\alpha 
    & 2 \ar@<-0.5ex>[r]_-\gamma \ar@<0.5ex>[r]^-\beta \ar[d]_-{\delta}
    & 3 \ar@(dr,ur)_\eta[] \ar@(u,u)_-\rho[ll]
    \\
  {}
    & 4
  }\]

Fijemos un carcaj $Q$. Si $x,y\in Q_0$, un \emph{camino de $x$ a $y$ en $Q$} es
una secuencia finita $\gamma=(x;\alpha_1,\dots,\alpha_n;y)$ de flechas de $Q$ tal
que $s(\alpha_1)=x$, $t(\alpha_n)=y$ y para cada $i\in\{1,\dots,n-1\}$ se tiene
que $t(\alpha_i)=s(\alpha_{i+1})$. El número $n$ es la \emph{longitud} de $\gamma$. En
particular, si $x\in Q_0$, hay un camino $(x;\,;x)$ de $x$ a $x$ de longitud $0$.

Sea $P(Q)$ el conjunto de todos los caminos de $Q$, sea $k$ un cuerpo y sea $kQ$
el espacio vectorial que tiene a $P(Q)$ como base. Un elemento $u\in kQ$ es una
combinación lineal finita de caminos de $Q$ con coeficientes en $k$:
  \[
  u = \sum_{\gamma\in P(Q)}a_\gamma \gamma.
  \]
Muestre que hay exactamente una forma de definir un producto asociativo 
  \[
  \mathord{\cdot}:kQ\times kQ\to kQ
  \]
tal que para cada par de caminos 
$\gamma=(x;\alpha_1,\dots,\alpha_n;y)$ y $\eta=(z;\beta_1,\dots,\beta_m;w)$ en
$Q$, es 
  \[
  \gamma\cdot\eta =
    \begin{cases}
    (x;\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta_1,\dots,\beta_m;w),
      & \text{si $y = z$;} \\
    0, & \text{en caso contrario.}
    \end{cases}
  \]
Mostrar que, con este producto, $kQ$ es una $k$-álgebra. ¿Cuál es la unidad de
esta álgebra? Llamamos a $kQ$ la \emph{$k$-álgebra de caminos de $Q$}.

\item Si $Q$ tiene un solo vértice y ninguna flecha, entonces $kQ=k$

\item Si $Q$ tiene un solo vertice y una única flecha, entonces $kQ$ es isomorfo
a $k[X]$, el anillo de polinomios en una variable con coeficientes en $k$.
  \[
  Q : \qquad \xymatrix{
    \bullet \ar@(dr,ur)[]
  }\]

\item\header{$k$-álgebras libres}
Sea $X$ un conjunto y sea $Q$ el carcaj $(Q_0,Q_1,s,t)$ en el que $Q_0$
tiene un único elemento $p$, $Q_1=X$ y $s,\,t:Q_1\to Q_0$ son las funciones
evidentes. Escribimos $L(X)$ en vez de $kQ$. Describa una base de $L(X)$ y su
multiplicación

\item ¿Cuándo es $kQ$ un dominio de integridad? ¿Cuándo tiene dimensión finita?
¿Cuándo es conmutativa?

\item Describa el centro de $kQ$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Dos ejemplos de dimensión infinita}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{El álgebra de Weyl}
Sea $\End_\CC(\CC[X])$ el anillo de endomorfismos de $\CC[X]$ considerado como
$\CC$-espacio vectorial. Sean $p, q\in\End_\CC(\CC[X])$ definidos de la
siguiente manera: si $f\in\CC[X]$, entonces
  \[
  p(f) = \frac{\mathrm df}{\mathrm dX},
  \qquad\text{y}\qquad
  q(f) = X f
  \]
y sea $A=\CC[p,q]$ el menor subanillo de $\End_\CC(\CC[X])$ que contiene a
$\CC$, a $p$ y a~$q$. Llamamos a $A$ el \emph{álgebra de Weyl}.

\begin{ejitems}
\item $A$ es una $\CC$-álgebra de dimensión infinita. 

\item En $A$ es $pq-qp=1$.

\item El conjunto $\{p^iq^j:i,j\in\NN_0\}$ es una base de $A$ como $\CC$-espacio
vectorial.

\item Describa el centro de $A$.

\item Muestre que $A$ no posee divisores de cero.

\item Describa el conjunto de unidades de $A$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\header{El álgebra de funciones en el plano cuántico}
Sea $q\in\CC\setminus0$ y supongamos que $q$ no es una raíz de la unidad. 
Sea $V=\{f:\NN_0\to\CC\}$ el $\CC$-espacio vectorial de
todas las funciones de $\NN_0$ en $\CC$. Consideramos dos elementos
$x,\,y\in\End_\CC(V)$ definidos de la siguiente manera: si $f\in V$ y
$n\in\NN_0$, entonces $x(f), y(f):\NN_0\to\CC$ son tales que
  \[
  \big(x(f)\big)(n) = q^n\,f(n)
  \]
y
  \[
  \big(y(f)\big)(n) = f(n+1).
  \]
Sea $A_q=\CC[x,y]$ la menor subálgebra de $\End_CC(V)$ que contiene a $\CC$, a
$x$ y a $y$. Llamamos a $A_q$ el \emph{álgebra de funciones en el plano
cuántico}.

\begin{ejitems}
\item En $A_q$ vale que $yx=qxy$.
\item El conjunto $\{x^iy^j:i,\,j\in\NN_0\}$ es una base de $A_q$.
\item Se tiene que $\Z(A_q)=\CC$. 
\item Muestre que no hay en $A_q$ divisores de cero.
\item Describa el conjunto de unidades de $A_q$.
\item* Para cada $n\in\NN$ definimos
  \[
  (n)_q=\frac{q^n-1}{q-1}.
  \]
Ponemos, además, $(0)_q!=1$ y si $n\in\NN$, 
  \[
  (n)_q!=(1)_q(2)_q\cdots (n)_q.
  \]
Finalmente, si $n\in\NN_0$ y $0\leq k\leq n$, ponemos
  \[
  \binom nk_q = \frac{(n)_q!}{(k)_q!(n-k)_q!}.
  \]
Muestre que:
  \begin{enumerate}[label=\emph{(\roman*)}]
  \item Si $0\leq k\leq n$, es 
    \[
    \binom nk_q=\binom n{n-k}_q.
    \]
  \item Si $0\leq k\leq n$, entonces
    \[
    \binom nk_q 
      = \binom{n-1}{k-1}_q + q^k\binom{n-1}k_q
      = \binom{n-1}k_q + q^{n-k}\binom{n-1}{k-1}_q.
    \]
  \item Si $0\leq k\leq n$, $\displaystyle\binom nk_q$ es un polinomio en $q$ con
  coeficientes enteros.
  \item Sean $x,\,y\in A_q$ los generadores del álgebra de funciones del plano
  cuántico. Si $n>0$, entonces
    \[
    (x+y)^n = \sum_{0\leq k\leq n}\binom nk_q x^ky^{n-k}.
    \]
  \end{enumerate}

\item* ¿Qué pasa si $q$ es una raíz primitiva de la unidad de orden~$e$?
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Álgebras de Boole}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $X$ un conjunto y escribimos $\mathcal P(X)$ al conjunto de partes de~$X$ y
$\mathord{\triangle}$ a la operación de diferencia simétrica, entonces
$(\mathcal{P}(X),\,\mathord{\triangle},\,\mathord{\cap})$ es un anillo.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Un anillo $A$ es \emph{booleano} si todos sus elementos son idempotentes.
\begin{ejitems}
\item Si $X$ es un conjunto, entonces el anillo $(\mathcal P(X),\triangle,\cap)$
es booleano.
\item Un anillo booleano es conmutativo.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $A$ es un anillo booleano, existe exactamente una forma de hacer
de~$A$ una $\ZZ_2$-álgebra.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Dos teoremas clásicos}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item*\header{Álgebras de division reales}
El objetivo de este ejercicio es probar el siguiente teorema de Ferdinand Georg
Frobenius (1849--1917, Prusia):

\begin{Teorema}
Sea $D$ una $\RR$-álgebra de división tal que $\dim_\RR D<\infty$. Entonces $D$
es isomorfa a $\RR$, a $\CC$ o a $\HH$.
\end{Teorema}

\noindent La conclusión del teorema vale más generalmente (y con exactamente la
misma demostración) para una $\RR$-álgebra de división arbitraria si suponemos
que es \emph{algebraica} sobre $\RR$: esto es, si para todo elemento $d\in D$
existe $p\in\RR[X]$ tal que $p(d)=0$.

\begin{ejitems}
\item Si $\dim_\RR D=1$ no hay nada que hacer, así que suponga que $\dim_\RR
D>1$. Sea $a\in D\setminus\RR$. Muestre que $\RR[a]\subset D$ es un cuerpo y que
debe ser isomorfo a $\CC$. En particular, concluya que existe $i\in
D\setminus\RR$ tal que $i^2=-1$. Identifiquemos a $\CC$ con $\RR[i]$.

\item Definamos subespacios
  \[
  D^+=\{d\in D:di=id\}
  \]
y
  \[
  D^-=\{d\in D:di=-id\}
  \]
de $D$. Muestre que $D=D^+\oplus D^-$.

\item Claramente $\CC\subset D^+$. Si $d\in D^+\setminus\CC$, muestre que
$\CC[d]$ es un cuerpo que contiene a $\CC$. Concluya que $D^+=\CC$.

\item Si $D^-=0$, entonces $D=\CC$. Supongamos desde ahora que $D^-\neq0$.
Sea $z\in D^-$ y considere la aplicación $s:d\in D^-\mapsto dx\in D^+$. Muestre
que es $\CC$-lineal e inyectiva, así que debe ser $\dim_\CC D^-=1$. Concluya que
$\dim_\RR D=4$.

\item Muestre que existe $j\in D^-$ tal que $j^2=-1$. Concluya que $D\cong\HH$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Describa todas las $\QQ$-álgebras de división de dimensión~$2$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item*\header{Álgebras de division finitas}
El objetivo de este ejercicio es mostrar el siguiente teorema de Joseph Henry
Maclagen Wedderburn (1882--1948, Escocia):

\begin{Teorema}
Un anillo de división finito es un cuerpo.
\end{Teorema}

\begin{ejitems}
\item Sea $\mu:\NN\to\ZZ$ la función de Möbius, de manera que si
$n=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$ es la descomposición de $n$ como producto de
potencias de primos distintos,
  \[
  \mu(n) = \left\{
           \begin{array}{cl}
             1,         & \text{si $n=1$;} \\
             (-1)^k,    & \text{si $p_1=\cdots=p_k=1$;} \\
             0,         & \text{si $r_i>1$ para algún $i$.}
           \end{array}
           \right.
  \]
Muestre que si $n,m\in\NN$ son coprimos, entonces $\mu(nm)=\mu(n)\mu(m)$.

\item Sea $M:n\in\NN\mapsto\sum_{d\mid n}\mu(d)\in\ZZ$.
Muestre que si $n,m\in\NN$ son coprimos, entonces $M(nm)=M(n)M(m)$.
Muestre además que $M(1)=1$ y que si $p$ es primo y $r\in\NN$, entonces
$M(p^r)=0$.

Concluya que vale la siguiente \emph{identidad de Möbius}:
  \[
  \sum_{d\mid n}\mu(d) = 
    \begin{cases}
      1, & \text{si $n=1$;} \\
      0, & \text{en caso contrario.}
    \end{cases}
  \]
                        
\item Sea $n\in\NN$. Sea $\Omega_n=\{w\in\CC:w^n=1\}$ el conjunto de las raíces
$n$\nobreakdash-ésimas de la unidad y sea $\Omega_n^*\subset\Omega_n$ el
subconjunto de $\Omega_n$ formado por aquellas que son primitivas. Recordemos
que
  \(
  X^n-1=\prod_{\omega\in\Omega_n}(X-\omega)
  \).
Definimos un polinomio $\Phi_n\in\CC[X]$ poniendo
  \[
  \Phi_n=\prod_{\omega\in\Omega_n^*}(X-\omega).
  \]
Muestre que
  \(
  X^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(X)
  \)
y, usando eso, que
  \[
  \Phi_n = \prod_{d\mid n}(X^d-1)^{\mu(d)}.
  \]
Concluya que $\Phi_n\in\ZZ[X]$.

\item Muestre que si $q\in\ZZ\setminus\{1\}$ y $n,\,r\in\NN$ son tales que
$r\mid n$, entonces
  \[
  \Phi_n(q)\mathrel{\Big|}\frac{q^n-1}{q^r-1}.
  \]

\item Sea $D$ un anillo de división finito y sea $F$ su centro. Muestre que $F$
es un cuerpo y que $D$ es un $F$-espacio vectorial de dimensión finita. Sean
$q=\abs{F}$ y $n=\dim_F D$, de manera que $\abs{D}=q^n$ y
$\abs{D^\times}=q^n-1$.

\medskip

\noindent \emph{Supongamos que $D$ no es conmutativo. Debe ser entonces $n>1$.}

\medskip

\item Sea $a\in D$ y sea
  \[
  \C(a)=\{d\in D:da=ad\}.
  \]
Muestre que $\C(a)$ es un subanillo de $D$ que es de división y que contiene a
$F$. Otra vez, se trata de un $F$-espacio vectorial. Sea $r(a)=\dim_F\C(A)$; es
entonces $\abs{\C(a)}=q^{r(a)}$ y $\abs{\C(a)^\times}=q^{r(a)}-1$. Como
$\C(a)^\times$ es un subgrupo de $D^\times$, debe ser $q^{r(a)}-1\mid q^n-1$.
Concluya que $r(a)\mid n$.

\item Si $a\in D^\times$, entonces la clase $\cl(a)$ de conjugación de $a$ en
el grupo $D^\times$ tiene cardinal
  \[
  \abs{\cl(a)} = \frac{q^n-1}{q^{r(a)}-1}.
  \]

\item Sean $a_1,\dots,a_l$ representantes de las clases de conjugación no
triviales de $D^\times$. Entonces la ecuación de clases para $D^\times$ es:
  \[
  q^n-1 = q-1 + \sum_{i=1}^l\frac{q^n-1}{q^{r(a)}-1}.
  \]
y vemos que $\Phi_n(q)\mid(q-1)$. 

\item En particular,
  \[
  q-1\geq\abs{\Phi_n(q)}=\prod_{\omega\in\Omega_n^*}\abs{q-\omega}. 
  \]
Muestre que esto es imposible.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $k$ es un cuerpo algebraicamente cerrado, entonces no existen
$k$-álgebras de dimensión finita que no tengan divisores de cero.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $k$ un cuerpo algebraicamente cerrado. Describa, a menos de
isomorfismo, todas las $k$-álgebras de dimensión a lo sumo~$3$.


\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace*{\stretch{1}}

%\foto{Bolzano}{Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano\\1781--1848, Austria/República checa}{%
%}

\vspace*{\stretch{1}}

\end{document}
