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\hyphenation{sobre sub-con-junto topo-logía topo-logías todo todos toda todas como Como
entonces}

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\Materia{Topología}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2009}
\Practica{9}
\Titulo{Revestimientos. Teorema de van Kampen}

\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%
\let\theinnersection\thesection
\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Revestimientos}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Un revestimiento $p:E\to X$ es una función abierta.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $p:E\to X$ un revestimiento y sean $\alpha$,~$\beta:I\to X$ dos
curvas en~$X$ tales que $\alpha(1)=\beta(0)$. Si
$\tilde\alpha$,~$\tilde\beta:I\to E$ son levantados de~$\alpha$ y $\beta$,
respectivamente, tales que $\tilde\alpha(1)=\tilde\beta(0)$, entonces
$\tilde\alpha*\tilde\beta$ es un levantado de $\alpha*\beta$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $p:E\to X$ un revestimiento con $E$ arco-conexo, y fijemos $x_0\in
B$ y $e_0\in p^{-1}(x_0)$.
\begin{ejitems}

\item El morfismo $p_*:\pi_1(E,e_0)\to\pi_1(X,x_0)$ es inyectivo.

\item Hay una biyección $\phi:\pi_1(X,x_0)/\Im p_*\to p^{-1}(x_0)$.

\item Si $\pi_1(X,x_0)\cong\ZZ$, entonces o bien $\pi_1(E,e_0)\cong\ZZ$ o
bien $\pi_1(E,e_0)=0$.

\item Si $\pi_1(X,x_0)$ es finito, entonces también lo es $\pi_1(E,e_0)$ y
  \[
  \abs{p^{-1}(x_0)}=[\pi_1(X,x_0):\pi_1(E,e_0)].
  \]

\item Si $X$ es simplemente conexo, entonces $p$ es un homeomorfismo.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Compatibilidades}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $p:E\to X$ y $p':E'\to X'$ son revestimientos, también lo es
la aplicación producto $p\times p':E\times E'\to X\times X'$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $p:E\to X$ y $q:F\to E$ son revestimientos, y si $p$ tiene fibras
finitas, entonces $q\circ p:F\to X$ es un revestimiento.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $p:E\to X$ un revestimiento, con $X$ conexo y localmente conexo.
Si $C$ es una componente de~$E$, entonces $p|_C:C\to X$ es un
revestimiento.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $p:E\to X$ y $p':E'\to X$ son revestimientos, entonces el producto
fibrado $E\times_X E'\to X$ también lo es.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Ejemplos}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Para cada $n\in\NN$ la función $p:z\in S^1\mapsto z^n\in S^1$ es un
revestimiento.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item La función $p:t\in(0,\infty)\mapsto e^{2\pi i t}\in S^1$ no es un
revestimiento.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item La aplicación $p:(x,y)\in\RR\times\RR^+\mapsto x e^{2\pi i
y}\in\CC\setminus0$ es un revestimiento. Encontrar levantados de los
caminos $\alpha:t\in I\mapsto 2-t\in\CC\setminus0$, $\beta:t\in I\mapsto (1+t)e^{2\pi i
t}$, y $\gamma:t\in I\mapsto\alpha(t)\beta(t)\in\CC\setminus0$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $p:(x,y)\in\RR^2\mapsto (e^{2\pi ix},e^{2\pi i y})\in S^1\times
S^1=T^2$ el revestimiento usual del toro. Encuentre un levantado del camino
$t\in I\mapsto (e^{2\pi i t},e^{4\pi i t})\in T^2$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determine el grupo fundamental de los siguientes espacios:
\begin{multicols}{2}
\begin{ejitems}

\item $S^1\times[0,1]$;

\item $S^1\times\RR$;

\item $\RR^2\setminus\{(0,0)\}$;

\item la banda de Möbius;

\item $T^2=S^1\times S^1$, el toro;

\item $\RR^3\setminus L$, con $L$ una recta o un plano.

\end{ejitems}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Sea $p:t\in\RR\mapsto e^{2\pi it}\in S^1$, sea $X$ un espacio y sea $f:X\to S^1$ una
función continua. Entonces existe una función continua $\tilde f:X\to\RR$
tal que $p\circ\tilde f=f$ sii $f$ es homotopicamente nula.

\item $S^1$ no es un retracto de~$D^2$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Fijemos una curva $\gamma:I\to S^1$ cerrada
con $\gamma(0)=\gamma(1)=1$ y tal que su clase $[\gamma]\in\pi_1(S^1,1)$ es un generador.
\begin{ejitems}

\item Para cada $z\in S^1$ sea $\alpha_z:I\to S^1$ un camino de~$1$ a~$z$.
Entonces la clase de la curva $\gamma_z=\alpha_x^{-1}*\gamma*\alpha_x^{-1}$ en $\pi_1(S^1,z)$
es un generador y no depende de la elección de~$\alpha_z$.

\item Sea $f:S^1\to S^1$ una función continua, sea $z_0\in S^1$ y
$z_1=f(z_0)$, de manera que tenemos un morfismo
$f_*:\pi_1(S^1,z_0)\to\pi_1(S^1,z_1)$. Existe un entero $d\in\ZZ$ tal que
$f_*([\gamma_{z_0}])=d[\gamma_{z_1}]$, al que llamamos \emph{grado} de la
función~$f$ y al que notamos $\deg f$.

\item $\deg f$ depende solamente de~$f$ y no de la elección de~$\gamma$ ni
de~$z_0$.

\item Si $f$,~$f':S^1\to S^1$ son funciones homotópicas, entonces $\deg
f=\deg f'$.

\item Si $f$,~$f':S^1\to S^1$, entonces $\deg(f\circ f')=\deg f\cdot\deg
f'$.

\item Determine el grado de las aplicaciones $\id_{S^1}:S^1\to S^1$,
$\rho:z\in S^1\to\overline z\in S^1$, y, para cada $n\in\NN$, $p_n:z\in
S^1\mapsto z^n\in S^1$.

\item Si $f$,~$f':S^1\to S^1$ son funciones tales que $\deg f=\deg g$,
entonces $f\simeq f'$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo y $X$ un espacio, y sea $\mathord\cdot:G\times X\to
X$ una acción de~$G$ sobre~$X$, de manera que se tiene
  \begin{align*}
  &1_G\cdot x=x,
  &&(g\cdot h)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)
  \end{align*}
para cada $g$,~$h\in G$ y cada $x\in X$ y supongamos que esta acción es
continua, de manera que para cada $g\in G$ la función 
  \(
  \phi_g:x\in X\mapsto g\cdot x\in X
  \)
es continua. Decimos que la acción es \emph{propiamente discontinua} si
  \[
  \claim{para cada $x\in X$ existe un abierto $U\subseteq X$ tal que $x\in
  U$ y $gU\cap U\neq\emptyset$ si y solamente si $g=1_G$.}
  \]
\begin{ejitems}

\item Si $X$ es Hausdorff y $G$ es finito, entonces toda acción continua
de~$G$ sobre~$X$ es propiamente discontinua.

\item Sea $\simeq$ la relación de equivalencia sobre~$X$ tal que, si
$x$,~$y\in G$, es $x\simeq y$ sii existe $g\in G$ tal que $g\cdot x=y$. Sea
$X/G$ el espacio cociente $X/\mathord\simeq$, y sea $p:X\to X/G$ la
aplicación cociente. Si la acción de $G$ sobre~$X$ es continua y
propiamente discontinua, entonces $p$ es un cubrimiento.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{El teorema de van Kampen}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio topológico y sean $A$,~$B\subseteq X$ dos cerrados
simplemente conexos tales que $X=A\cup B$ y $A\cap B$ tiene un solo punto.
Entonces todo revestimiento $p:E\to X$ es un homeomorfismo.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio topológico y sean $U$,~$V\subseteq X$ dos abiertos
arco-conexos tales que $X=U\cup V$ y $U\cap V$ es no vacío y arco-conexo.
Sean $x\in U\cap V$ y $\psi:U\to X$ la inclusión.
\begin{ejitems}

\item Si $V$ es simplemente conexo, entonces
$\psi_*:\pi_1(U,x)\to\pi_1(X,x)$ es sobreyectivo

\item Si $V$ y $U\cap V$ son simplemente conexos, entonces
$\psi_*:\pi_1(U,x)\to\pi_1(X,x)$ es un isomorfismo.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $n\in\NN$. Para cada $i\in\{1,\dots,n\}$ sea $C_i$ la circunferencia en~$\RR^2$
con centro en~$(1/n,0)$ y radio~$1/n$, sea $X=C_1\cup\cdots\cup C_n$ y sea
$x_0=(0,0)$. Entonces $\pi_1(X,x_0)$ es ungrupo libre en~$n$ generadores.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $n\in\NN$ y sea 
  \[
  Y_n=\{x\in\RR^2:\text{existe $j\in\{1,\dots,n\}$ tal que $d(x,(j-\tfrac12,0))=\tfrac12$}\}.
  \]
Determinar $\pi_1(Y_n,0)$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Si $n\geq2$, entonces la esfera $S^n$ es simplemente conexa.

\item Si $n\geq2$, entonces $\pi_1(\PP^n)\cong\ZZ_2$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determine los grupos fundamentales de los siguientes espacios:
\begin{ejitems}

\item $T^2\setminus\{\mathrm{pt}\}$, el toro perforado en un punto;

\item $\PP^2_\RR\setminus\{\mathrm{pt}\}$, el plano proyectivo real
perforado en un punto;

\item $S^n\vee S^n$, la unión de dos esferas por un punto;

\item $S^1\cup(\RR_{\geq0}\times\{0\})$;

\item $S^1\cup(\RR_{\geq0}\times\RR)$;

\item $S^1\cup(\RR\times\{0\})$;

\item $\RR^2\setminus(\RR_{\geq0}\times\{0\})$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Muestre que $\pi_1(\PP^2_\RR\vee\PP^2_\RR)$ es infinito.

\item Muestre que $\pi_1(\PP^2_\RR\vee\PP^2_\RR)\cong\ZZ\rtimes\ZZ_2$ para
una cierta acción de~$\ZZ_2$ sobre~$\ZZ$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Si $L\subseteq\RR^n$ es una variedad lineal de dimensión $k$, con
$0\leq k\leq n-2$, determine el grupo $\pi_1(\RR^2\setminus L)$.

\item Si $C\subseteq\RR^3$ es una circunferencia, entonces
$\pi_1(\RR^3\setminus C)\cong\ZZ$.

\begin{Indicacion}
Muestre que $\RR^3\setminus C$ se deforma en un subespacio homeomorfo
a~$S^1\wedge S^2$
\end{Indicacion}

\end{ejitems}

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[hp]

\vspace*{1cm}

\foto{vanKampen}{Egbert Rudolf van Kampen\\1908--1942, Bélgica y
Estados-Unidos}{%
}

\vspace*{0cm}

\end{figure}

\end{document}
