%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\hyphenation{sobre sub-con-junto topo-logía topo-logías todo todos toda todas como Como
entonces}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\Materia{Topología}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2009}
\Practica{8}
\Titulo{Homotopía}

\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%
\let\theinnersection\thesection
\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Homotopía}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $X$ es un espacio, las aplicaciones $i_0$,~$i_1:X\to X\times I$
tales que $i_j(x)=(x,j)$ para cada $x\in X$ y cada $j\in\{0,1\}$ son
equivalencias homotópicas con la misma inversa $p:(x,t)\in X\times I\mapsto
x\in X$. Más aún, $i_0\simeq i_1$.

\begin{Solucion}
Es evidente que $p\circ i_0=p\circ i_1=\id_X$. Es $i_j\circ
p:(x,t)\in X\times I\mapsto (x,j)\in X\times I$ para cada $j\in\{0,1\}$.
Consideremos las funciones
  \[
  H_0:(x,t,s)\in X\times I\times I\mapsto (x,ts)\in X\times I
  \]
y
  \[
  H_1:(x,t,s)\in X\times I\times I\mapsto (x,1-s+ts)\in X\times I,
  \]
que son continuas. Como 
  \begin{gather*}
  H_0(x,t,0)=(x,0)=(i_0\circ p)(x,t), \\
  H_0(x,t,1)=(x,t)=\id_{X\times I}(x,t), \\
  H_1(x,t,0)=(x,1)=(i_1\circ p)(x,t), \\
  H_1(x,t,1)=(x,t)=\id_{X\times I}(x,t)
  \end{gather*}
para cada $(x,t)\in X\times I$, vemos que
$H_0:i_0\circ p\simeq\id_{X\times I}$ y
$H_1:i_1\circ p\simeq\id_{X\times I}$. Esto prueba que $i_0$ e $i_1$ son
equivalencias homotópicas con inversa homotópica común $p$.

Por otro lado, la función continua
  \[
  G : (x,t) X\times I \mapsto (x,t)\in X\times I
  \]
es tal que $G(x,0)=(x,0)=i_0(x)$ y $G(x,1)=(x,1)=i_1(x)$ para todo $x\in
X$, así que $G:i_0\simeq i_1$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:X\to Y$ una función continua y sea $Z$ un espacio topológico.
Definimos aplicaciones
  \[
  f^*:[g]\in[Y,Z]\mapsto [g\circ f]\in[X,Z]
  \]
y
  \[
  f_*:[g]\in[Z,X]\mapsto [f\circ g]\in[Z,Y].
  \]
\begin{ejitems}

\item Las funciones $f^*$ y $f_*$ están bien definidas.

\item Si $f':X\to Y$ es otra función continua y $f\simeq f'$, entonces
$f^*=f'^*$ y $f_*=f'_*$.

\item Si $f$ es una equivalencia homotópica, entonces $f^*$ y $f_*$ son
biyecciones.
\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Para ver que $f^*$ está bien definida, tenemos que mostrar que
si $\phi_1$,~$\phi_2:Y\to Z$ son homotópicas entonces $\phi_1\circ
f$,~$\phi_2\circ f:X\to Y$ son homotópicas. Sea $H:Y\times I\to Z$ una
función continua tal que $H(y,0)=\phi_1(y)$ y $H(y,1)=\phi_2(y)$ para todo
$y\in Y$, y sea $F=f\times\id_I:X\times I\to Y\times I$. Entonces
$H'=H\circ F:X\times I\to Z$ es continua, y 
  \begin{gather*}
  H'(x,0)=H(F(x,0))=H(f(x),0)=\phi_1(f(x)), \\
  H'(x,1)=H(F(x,1))=H(f(x),1)=\phi_2(f(x)),
  \end{gather*}
de manera que $H':\phi_1\circ f\simeq\phi_2\circ f$. Esto es lo que
queríamos ver.

De la misma forma, para ver que $f_*$ está bien definida, tenemos que
mostrar que si $\phi_1$,~$\phi_2:Z\to X$ son funciones homotópicas,
entonces $f\circ\phi_1$,~$f\circ\phi_2:Z\to Y$ son funciones homotópicas.
Pero si $H:Z\times I\to X$ es continua y $H(z,0)=\phi_1(z)$ y
$H(z,1)=\phi_2(z)$ para todo $z\in Z$, entonces la función
$H'=f\circ H:Z\times I\to X$ es continua y
  \begin{gather*}
  H'(z,0)=f(H(z,0))=f(\phi_1(z)),
  H'(z,1)=f(H(z,1))=f(\phi_2(z)),
  \end{gather*}
para cada $z\in Z$. En otras palabras, $H'$ es una homotopía de
$f\circ\phi_1$ a~$f\circ\phi_2$.

\ejitem{2} Sea $g:Y\to Z$. Entonces como $f\simeq f'$, $[f]=[f']$ en
$[Y,Z]$ y entonces la buena definición de $g^*:[Z,X]\to[Y,X]$ implica que 
  \[
  f_*([g])=[f\circ g]=g^*([f])=g^*([f'])=[f'\circ g]=f'_*([g]),
  \]
de manera que $f_*=f'_*$.
De la misma forma, la buena definición de $g_*:[X,Y]\to[X,Z]$ implica que
  \[
  f^*([g]) = [g\circ f] = g_*([f]) = g_*([f']) = [g\circ f'] = f'^*([g]),
  \]
y entonces $f^*=f'^*$.

\ejitem{3} Supongamos que $f$ es una equivalencia homotópica, y que $h:Y\to
X$ es una inversa homotópica, de manera que $h\circ f\simeq\id_X$ y $f\circ
h\simeq\id_Y$. Esto implica que $h_*\circ f_*=(h\circ
f)_*=(\id_X)_*=\id_{[Z,X]}$ y que $f_*\circ h_*=(f\circ
h)_*=(\id_Y)_*=\id_{[Z,Y]}$: vemos así que $f_*:[Z,X]\to[Z,Y]$ es una
biyección con inversa~$h_*:[Z,Y]\to[Z,X]$.

También es $h^*\circ f^*=(f\circ
h)^*=(\id_Y)^*=\id_{[Y,Z]}$ y $f^*\circ h^*=(h\circ
f)^*=(\id_X)^*=\id_{[X,Z]}$, así que $f^*:[Y,Z]\to[X,Z]$ es una biyección
con inversa $h^*$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\label{ej:equivs} Sean $f$,~$g:X\to Y$ funciones continuas tal es que
$f\simeq g$. Si $f$ es una equivalencia homotópica, entonces $g$ también lo
es.

\begin{Solucion}
Por hipótesis, existe $r:Y\to X$ tal que $r\circ f\simeq\id_X$ y $f\circ
r:\simeq\id_Y$. Entonces $r\circ g\simeq r\circ f\simeq\id_X$ y $g\circ
r\simeq f\circ r\simeq\id_Y$, así que $r$ es una inversa homotópica
para~$g$. Esto implica que $g$ es una equivalencia homotópica.
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio.
\begin{ejitems} 

\item Hay una biyección natural $[*,X]\to\pi_0(X)$.

\item Más generalmente, si $Y$ es un espacio contráctil, entonces hay una
biyección natural $[Y,X]\to\pi_0(X)$.

\item Si $X'$ es otro espacio y $X\simeq X'$, entonces hay una biyección
entre $\pi_0(X)$ y~$\pi_0(X')$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $\beta_X:[*,X]\to\pi_0(X)$ la aplicación tal que si $f:*\to
X$, entonces $\beta_X([f])$ es la componente arco-conexa de~$f(*)$ en~$X$.
Esto está bien definido: si $f':\to X$ es otra función continua y $f\simeq
f'$, entonces existe una función $H:*\times I\to X$ tal que $H(*,0)=f(*)$ y
$H(*,1)=f'(*)$. Entonces la función $\gamma:t\in I\mapsto H(*,t)\in X$ es
continua, $\gamma(0)=f(*)$ y $\gamma(1)=f'(*)$: así, $\gamma$ es un camino
de~$f(*)$ a~$f'(*)$ en~$X$, y vemos que las componentes arco-conexas
de~$f(*)$ y de~$f'(*)$ coinciden.

Si $c\in\pi_0(X)$ es una componente arco-conexa y $x\in c$, sea $f_x:*\to
X$ tal que $f_x(*)=x$. Entonces es claro que $\beta_X([f])=c$, y esto nos
dice que $\beta_X$ es sobreyectiva. Por otro lado, si $f$,~$f':*\to X$ son
tales que $\beta_X([f])=\beta_X([f'])$, entonces $f(*)$ y $f'(*)$ están en
la misma componente arco-conexa de~$X$, y existe un camino $\gamma:I\to X$
tal que $\gamma(0)=f(*)$ y $\gamma(1)=f'(*)$. La función $H:*\times I\to X$
dada por $H(*,t)=\gamma(t)$ es entonces continua, $H(*,0)=f(*)$ y
$H(*,1)=f'(*)$: así, $H$ es una homotopía de~$f$ a~$f'$ y, en consecuencia,
$[f]=[f']$. Esto prueba que $\beta_X$~es inyectiva.

Solo nos queda verificar la naturalidad de~$\beta_X$ con respecto a~$X$:
tenemos que mostrar que si $\phi:X\to X'$ es continua, conmuta el diagrama
  \[
  \xymatrix{
  [*,X] \ar[r]^-{\beta_X} \ar[d]_-{\phi_*}
    & \pi_0(X) \ar[d]^-{\pi_0(\phi)}
    \\
  [*,X'] \ar[r]^-{\beta_{X'}}
    & \pi_0(Y)
  }\]
Sea entonces $f:*\to X$ continua. Entonces $\beta_X([f])$ es la componente
arco-conexa de~$f(*)$ en~$X$, así que $\pi_0(\phi)(\beta_X([f]))$ es la
componente arco-conexa de~$\phi(f(*))$ en~$Y$. Por otro lado, $\phi_*([f])$
es la clase en~$[*,X']$ de la función $\phi\circ f:*\to X'$ y, entonces,
$\beta_{X'}(\phi_*([f]))$ es la componente arco-conexa de $\phi(f(*))$
en~$X'$. Por supuesto, esto nos dice que
$\pi_0(\phi)(\beta_X([f]))=\beta_{X'}(\phi_*([f]))$ y, en definitiva, vemos
que el diagrama conmuta, como queríamos.

\ejitem{2} Si $Y$ es un espacio contráctil, cualquier función $\xi:*\to Y$ es una
equivalencia homotópica, así que $\xi^*:[Y,X]\to[*,X]$ es una biyección
natural; mas aún, la función $\xi^*$ no depende de la elección particular
de~$\xi$, ya que dos elecciones cualesquiera son homotópicas. La
composición
  \[
  \xymatrix{
  [Y,X] \ar[r]^-{\xi^*}
    & [*,X] \ar[r]^-{\beta_X}
    & \pi_0(X)
  }\]
es entonces una biyección natural en~$X$.

\ejitem{3} Supongamos que $r:X\to X'$ es una equivalencia homotópica.
Entonces el diagrama
  \[
  \xymatrix{
  [*,X] \ar[r]^-{\beta_X} \ar[d]_-{r_*}
    & \pi_0(X) \ar[d]^-{\pi_0(r)}
    \\
  [*,X'] \ar[r]^-{\beta_{X'}}
    & \pi_0(X')
  }\]
conmuta, porque $\beta_X$ depende naturalmente de~$X$, y $r_*$ es una
biyección. Esto implica que $\pi_0(r)$ es una biyección.~\qed
\end{Solucion}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:X\to Y$ una función continua.
\begin{ejitems}

\item Puede ser que $f$ tenga inversa homotópica a izquierda (a
derecha) pero no a derecha (a izquierda).

\item Si $f$ posee una inversa homotópica a izquierda y una inversa
homotópica a derecha, entonces $f$ es una equivalencia homotópica.

\item $f$ es una equivalencia homotópica sii
existen functiones $g$,~$h:Y\to X$ tales que $f\circ g$ y $h\circ f$ son
equivalencias homotópicas.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sean $X$ e~$Y$ espacios discretos. Si $\abs{X}<\abs{Y}$ y
$f:X\to Y$ es una función inyectiva, entonces existe una función $g:Y\to
X$ tal que $g\circ f=\id_X$. Por otro lado, si $h:Y\to X$ es tal que
$f\circ h\simeq \id_Y$, entonces $f\circ h=\id_Y$, lo que es absurdo porque
en ese caso $h$ sería inyectiva: en efecto, esto es consecuencia de que
  \[
  \claim{si $Z$ es discreto y $\phi$,~$\psi:Z\to Z$ son funciones
  homotópicas, entonces $\phi=\psi$.}
  \]
Verifiquemos esto. Si $H:Z\to I\to Z$ es una homotopía de~$\phi$ a~$\psi$ y
$z\in Z$, entonces $t\in I\mapsto H(z,t)\in Z$ es un camino de~$\phi(z)$
a~$\psi(z)$. Como $Z$ es discreto, las componentes arco-conexas se reducen
a puntos, así que $\phi(z)=\psi(z)$. Concluimos así que $\phi=\psi$.

\ejitem{2} Sean $g$,~$h:Y\to X$ tales que $f\circ g\simeq\id_Y$ y $h\circ
f\simeq\id_X$. Entonces
  \[
  g \simeq \id_X\circ g \simeq h\circ f\circ g \simeq h\circ\id_Y \simeq h,
  \]
y en consecuencia
  \[
  g\circ f\simeq h\circ f\simeq \id_X.
  \]
Esto nos muestra que $g$ es una inversa homotópica para~$f$.

\ejitem{3} La necesidad de la condición es evidente, porque si $r:Y\to X$
es una inversa homotópica para $f$, podemos tomar $g=h=r$: en ese caso
$f\circ g$ y $h\circ f$ resultan homotópicas a $\id_Y$ y a~$\id_X$,
respectivamente, así que son ellas mismas equivalencias homotópicas de
acuerdo al ejercicio~\ref{ej:equivs} 

Recíprocamente, supongamos que existen $g$,~$h:Y\to X$ tales que $f\circ g$
y $h\circ f$ son equivalencias homotópicas. Existen entonces $r:Y\to Y$ y
$s:X\to X$ tales que $f\circ g\circ r\simeq\id_Y$, $r\circ f\circ
g\simeq\id_Y$, $h\circ f\circ s\simeq\id_X$ y $s\circ h\circ f\simeq\id_X$.
Pero entonces 
  \[
  \id_X\simeq s\circ h\circ f\simeq s\circ h\circ f\circ g\circ r\circ f\simeq g\circ r\circ f
  \]
y vemos que $g\circ r$ es una inversa homotópica para~$f$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio, sea $A\subseteq X$ un subespacio y sea $a_0\in
A$. Supongamos que existe una función continua $H:X\times I\to X$ tal que
\pitem[roman]{1} $H(x,0)=x$ para todo $x\in X$; \pitem[roman]{2} $H(A\times
I)\subseteq A$; y \pitem[roman]{3} $H(a,1)=a_0$ para todo $a\in A$.
Entonces la aplicación cociente $q:X\to X/A$ es una equivalencia
homotópica.

\begin{Solucion}
Sea $h:x\in X\mapsto H(x,1)\in X$. Como $h(A)=\{a_0\}$, es claro que existe
una función $r:X/A\to X$ que hace conmutar el diagrama
  \[
  \xymatrix{
  X\ar[r]^-h \ar[d]_-q
    & X \\
  X/A \ar@{..>}[ur]_-{r}
  }\]
Como $q$ es un cociente, $r$ es continua. Como $H:X\times I\to X$ es tal
que $H(x,0)=\id_X(x)$ y $H(x,1)=(r\circ q)(x)$ para todo $x\in X$, vemos
que $\id_X\simeq r\circ q$. Por otro lado, como $H(A\times I)\subseteq A$,
existe una única función $\bar H:X/A\times I\to X/A$ tal que conmuta el
diagrama
  \[
  \xymatrix{
  X\times I \ar[r]^-H \ar[d]_-{q\times\id_I}
    & X \ar[d]^-q
    \\
  X/A\times I \ar@{..>}[r]^-{\bar H}
    & X/A
  }\]
Como $q\circ H$ es continua, y $q\times\id_I$ es un cociente (porque $q$ lo
es e $I$ es compacto y Hausdorff), vemos que $\bar H$ es continua. Si $x\in
X$, entonces $\bar H(q(x),0)=q(H(x,0))=q(x)$, así que $\bar
H(\place,0)=\id_{X/A}$. De manera similar, $\bar
H(q(x),1)=q(H(x,1))=q(h(x))=q(r(q(x))$, así que $\bar H(\place,1)=q\circ
r$. Así, vemos que $\id_{X/A}\simeq q\circ r$ y, entonces, que $q$ es una
equivalencia homotópica con inversa homotópica~$r$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $X$ es un espacio conexo y $A\subseteq X$ es un subespacio
discreto con más de un punto, entonces $A$ no es un retracto débil de~$X$.

\begin{Solucion}
Sea $i:A\to X$ la inclusión y sea $r:X\to A$. Como $X$ es conexo y $A$
discreto, la función $r$ es constante. Como $A$ tiene más de un punto,
entonces $r\circ i\neq\id_A$. Más aún, no existe una homotopía $H:r\circ
i\to A$, ya que dos funciones $A\to A$ son homotópicas sii son
iguales.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Un subespacio $X\subseteq\RR^n$ que es convexo tiene a cualquiera de
sus puntos como retracto por deformación fuerte.

\begin{Solucion}
Sea $X\subseteq\RR^n$ un convexo no vacío y sea $x_0\in X$. Sea 
  \[
  H:(x,t)\in X\times I\mapsto (1-t)x+tx_0\in X.
  \]
Es inmediato que se trata de una función continua---ya que extiende de
manera evidente a una función lineal afín $\RR^n\times R\to\RR^n$---y
claramente para cada $x\in X$ es $H(x,0)=x$ y $H(x,1)=x_0$, de manera que
$H$~es una homotopía de~$\id_X$ a la función constante $c:x\in X\mapsto x_0\in X$. 
Como $H(x_0,t)=x_0$ para todo $t\in I$, $H$ es una retracción por
deformación fuerte.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ el \emph{peine}, esto es, el subespacio de~$\RR^2$ dado por
  \[
  X=\{(x,y)\in\RR^2:0\leq y\leq1, x=0\vee x^{-1}\in\NN\} \cup \{(x,0):0\leq x\leq 1\}.
  \]
Sea $x_0=(0,1)\in X$.
\begin{ejitems}

\item El espacio $X$ es contráctil.

\item No existe una homotopía  \emph{relativa a $x_0$} entre la identidad
$\id_X:X\to X$ y la función constante $c:x\in X\mapsto x_0\in X$.

\end{ejitems}
Esto nos dice que toda contracción de~$X$ a $x_0$ mueve al punto~$x_0$.
\begin{ejitems}[resume]

\item Por otro lado, el espacio $Y$ que resulta de pegar dos copias de~$X$
identificando los puntos $x_0$ en un solo punto \emph{no} es contráctil.

\item La inclusión $i:X\to [0,1]\times[0,1]$ es un retracto por deformación
débil pero no un retracto por deformación fuerte.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Construcciones}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $G$ un grupo topológico y $X$ un espacio. Definimos una función 
  \[
  \star:C(X,G)\times C(X,G)\to C(X,G)
  \]
de manera que si $f$,~$g:X\to G$ son funciones continuas, entonces
$f\star g:X\to G$ está dada por
  \[
  (f\star g)(x)=f(x)\cdot g(x)
  \]
para todo $x\in X$; aquí $\cdot$ es el producto de~$G$.
\begin{ejitems}

\item* Si $X$ es Hausdorff, entonces $(C(X,G),\star)$ es un grupo topológico.

\item Hay una función $\bullet:[X,G]\times[X,G]\to[X,G]$ tal que si
$f$,~$g:X\to G$ son continuas entonces $[f]\bullet[g] = [f\star g]$.
Más aún, $([X,G],\bullet)$ es un grupo.

\item Si $X'$ es otro espacio y $f:X\to X'$ es una función continua, 
entonces la función $f^*:[X',G]\to[X,G]$ es un morfismo de grupos. 

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Es evidente que se trata de un grupo, así que solamente tenemos
que mostrar que la multiplicación $\star$ y la inversión son operaciones
continuas. Probemos primero la siguiente afirmación:
  \begin{equation} \label{eq:fsub}
  \claim{Sea $f:Y\to Y'$ una función continua y sea $X$ un espacio
  topológico. Entonces la función $f_*:h\in C(X,Y)\mapsto f\circ h\in
  C(X,Y')$ es continua.}
  \end{equation}
Fijemos $h\in C(X,Y)$ y sean $K\subseteq X$ un compacto y $U\subseteq Y'$ un
abierto tales que $f_*(h)\in B(K,U)=\{g\in C(X,Y'):g(K)\subseteq U\}$.
Entonces $f^{-1}(U)$ es abierto en~$Y$ y el conjunto $V=B(K,f^{-1}(U))\subseteq
C(X,Y)$ es un entorno abierto de~$h$ tal que $f_*(V)\subseteq
B(K,U)$. Esto muestra que $f_*$ es continua en~$h$ y la arbitrariedad
de~$h$, que se trata de una función continua.

En segundo lugar, mostremos que
  \begin{equation}\label{eq:sub-base}
  \claim{Si $X$ es un espacio de Hausdorff y $\B$ es una base de un
  espacio~$Y$, entonces el conjunto de los abiertos $B(K,U)$ con
  $K\subseteq X$ compacto y $U\in\B$ de~$C(X,Y)$ es una sub-base para la
  topología de~$C(X,Y)$.}
  \end{equation}
Para verlo, sea $K\subseteq X$ un compacto, $U\subseteq Y$ un abierto y sea
$f\in B(K,U)$. Como $f(K)$ es un compacto contenido en~$U$ y $\B$ una base,
existen $n\in\NN$ y $U_1$,~\dots,~$U_n\in\B$ tales que
$f(K)\subseteq\bigcup_{i=1}^nU_n\subseteq V$. Por otro lado,
$\{f^{-1}(U_i)\cap K:i\in\{1,\dots,n\}\}$ es un cubrimiento de~$K$ por
abiertos relativos. Como $K$ es compacto y Hausdorff, es un espacio
localmente compacto, y entonces para cada $x\in K$ existe un entorno
compacto $N_x$ de~$x$ en~$K$ e $i(x)\in\{1,\dots,n\}$ tales que
$N_x\subseteq f^{-1}(U_{i(x)})$. Como $\{\inte_K N_x:x\in K\}$ es un cubrimiento
de~$K$ por abiertos relativos, existe $F\subseteq K$ finito tal que
$L=\bigcup_{x\in F}N_x$. Es claro ahora que
$f\in\bigcap_{x\in F}B(N_x,U_{i(x)})\subseteq B(K,U)$., y esto verifica la
afirmación~\eqref{eq:sub-base}

En tercer lugar, probemos que
  \begin{equation}\label{eq:prod}
  \claim{Sean $X$, $Y$ y $Z$ tres espacios, y supongamos que $X$ es~$T_2$.
  Sean $\pi_1:Y\times Z\to Y$ y $\pi_2:Y\times Z\to Z$ las dos
  proyecciones, y sea $p:C(X,Y\times Z)\to C(X,Y)\times C(X,Z)$ la función
  tal que $p(f)=(\pi_1\circ f,\pi_2\circ f)$. Entonces $p$ es un
  homeomorfismo. Su inversa es la aplicación $\phi:C(X,Y)\times C(X,Z)\to
  C(X,Y\times Z)$ tal que si $f\in C(X,Y)$ y $g\in C(X,Z)$, $\phi(f,g)\in
  C(X,Y\times Z)$ es la única función continua tal que
  $\pi_1\circ\phi(f,g)=f$ y $\pi_2\circ\phi(f,g)=g$.}
  \end{equation}
Se trata claramente de una biyección: esto es precisamente la propiedad
universal del producto cartesiano. Más aún, esto muestra que la
función~$\phi$ es la función inversa de~$p$. Si $q_1:C(X,Y)\times C(X,Z)\to
C(X,Y)$ y $q_2:C(X,Y)\times C(X,Z)\to C(X,Z)$ son las proyecciones,
entonces es claro que $q_1\circ p=(\pi_1)_*:C(X, Y\times Z)\to C(X,Y)$ y
$q_2\circ p=(\pi_2)_*:C(X, Y\times Z)\to C(X,Z)$, y estas aplicaciones son
continuas en vista de~\eqref{eq:fsub}. Esto implica que $p$ es continua.
Para ver que es abierta, basta mostrar que la imagen de cada abierto de una
sub-base de $C(X,Y\times Z)$ es abierta y, de acuerdo
a~\eqref{eq:sub-base}, el conjunto de los abiertos $B(K,U\times V)$, con
$K\subseteq X$ un compacto y $U\subseteq Y$ y $V\subseteq Z$ abiertos, es
una tal sub-base. Pero la imagen de un abierto de esa forma es
  \[
  p(B(K,U\times V)) = B(K,U)\times B(K,V),
  \]
que es un abierto de $C(X,Y)\times C(X,Z)$. Esto termina la prueba de~\eqref{eq:prod}.

Podemos ahora probar que $(C(X,G),\star)$ es un grupo topológico. Sean
$\mu:G\times G\to G$ e $\iota:G\to G$ la multiplicación y la inversión
de~$G$. Entonces la multiplicación~$\star$ de~$C(X,G)$ es la composición
  \[
  \xymatrix{
  C(X,G)\times C(X,G)\ar[r]^-\phi
    & C(X,G\times G)\ar[r]^-{\mu_*}
    & C(X,G)
  }\]
de la función $\phi$ de~\eqref{eq:prod} y de la función~$\mu_*$ construida
a partir de~$\mu$ como en~\eqref{eq:fsub}, así que $\star$~es continua. De
manera similar, la inversión de~$C(X,G)$ es precisamente la aplicación
$\iota_*:C(X,G)\to C(X,G)$ construida a partir de~$\iota$ como
en~\eqref{eq:fsub}, así que también es continua.

\ejitem{2} Para ver que $\bullet$ está bien definida, consideremos
funciones $f$,~$f'$,~$g$,~$g'\in C(X,G)$ y homotopías $F$,~$G:X\times I\to
G$ de manera que $F:f\simeq f'$ y $G:g\simeq g'$. Sea $H:X\times I\to G$ la
composición
  \[
  \xymatrix{
  X\times I \ar[r]^-\Delta
    & X\times I\times X\times I \ar[r]^-{F\times G}
    & G\times G \ar[r]^-\mu
    & G
  }\]
con $\Delta$ la aplicación diagonal y $\mu$ el producto de~$G$. Claramente
$H$ es continua, y un cálculo directo muestra que se trata de una
homotopía de~$f\star g$ a $f'\star g'$.

Como $\star$ es una operación asociativa, es inmediato que $\bullet$ es
asociativa. De la misma forma, como la función constante $e:X\to G$ de
valor~$1_G$ es una identidad para $\star$, su clase de homotopía
$[e]\in[X,G]$ es una identidad para~$\bullet$, y si $[f]\in [X,G]$,
entonces $[\iota\circ f]$ es un inverso para~$[f]$.


\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $X$ es un espacio, el \emph{cono} sobre~$X$ es el espacio
$CX=X\times I/\mathord\sim$ con $\sim$ la menor relación de equivalencia
sobre~$X\times I$ tal que $(x,1)\sim(y,1)$ para todo par de puntos
$x$,~$y\in X$. Si $x\in X$ y $t\in I$, escribimos $[x,t]\in CX$ a la clase de
equivalencia de $(x,t)$ en~$X\times I$.
\begin{ejitems}

\item La función $i:x\in X\mapsto[x,0]\in CX$ es continua, inyectiva y
cerrada.

\item El espacio $CX$ es contráctil.

\item $X$ es contráctil sii $i:X\to CX$ es un retracto.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} La función $i$ es la composición 
  \[
  \xymatrix{
  X \ar[r]^{i'} 
    & X\times I \ar[r]^-\pi
    & CX
  }\]
con $i':x\in X\mapsto (x,0)\in X\times I$ y $\pi$ el cociente. Esto muestra
que $i$ es continua. La definición de la relación~$\sim$ implica
inmediatamente que se trata de una inyección, y como $i'$ es un
homeomorfismo con su imagen, para ver que $i$ es cerrada basta mostrar que
$\pi$ lo es.

Sea $F\subseteq X\times I$ es un cerrado. Si
$F\cap(X\times\{1\})=\emptyset$, entonces $F$ es saturado. Si, en cambio, 
$F\cap(X\times\{1\})\neq\emptyset$, la saturación de~$F$ es
$F\cup(X\times\{1\})$, que es un cerrado de~$X\times I$. Esto implica que
$\pi$ es cerrada, como queríamos.

\ejitem{2} Escribamos $\xi=X\times\{1\}\in CX$ al `vértice' del cono~$CX$.

Sea $h:(x,s,t)\in X\times I\times I\mapsto (x,t+(1-t)s)\in
X\times I$, que claramente es continua y sea $\pi:X\times I\to CX$ la
proyección al cociente. Afirmamos que existe una función continua
$H:CX\times I\to CX$ tal que conmuta
  \[
  \xymatrix{
  X\times I\times I \ar[r]^-h \ar[d]_-{\pi\times\id_I}
    & X\times I\ar[d]^-\pi
    \\
  CX\times I \ar@{..>}[r]^-H
    & CX
  }\]
En efecto, si $u=(x,s,t)$,~$u'=(x',s',t')\in X\times I\times I$ son tales que
$([x,s],t)=([x',s'],t')$, entonces o $(x,s,t)=(x',s',t')$ o $s=s'=1$ y
$t=t'$. En el primer caso evidentemente $(\pi\circ h)(u)=(\pi\circ h)(u')$;
en el segundo, 
  \[
  (\pi\circ h)(u)=[x,t+(1-t)]=[x,1]=[x',1]=[x',t'+(1-t')]=(\pi\circ h)(u').
  \]
Esto implica que $H$ existe. Su continuidad es consecuencia de la
conmutatividad del diagrama y de que $\pi\times I$ es un cociente porque
$\pi$ lo es e $I$ es compacto y Hausdorff.

Ahora bien, si $(x,s)\in X\times I$, entonces calculamos que
$H([x,s],0)=[x,s]$, de manera que $H(\place,0)=\id_{CX}$ y, por otro lado
$H([x,s],1)=[x,1]=\xi$, de manera que $H(\place,1)$ es la función constante
$c:CX\to CX$ con valor~$\xi$. Finalemente, $H(\xi,t)=H([x,1],t)=[x,1]=\xi$.
Esto muestra que $H:\id_{CX}\simeq c$, así que $\{\xi\}$ es un retracto por
deformacion fuerte de~$CX$.

\ejitem{3} Supongamos primero que $X$ es contráctil, y sea $H:X\times I\to
X$ una contracción al punto $x_0\in X$, de manera que $H(x,0)=x$ y
$H(x,1)=x_0$ para todo $x\in X$. Existe una función $r:CX\to
X$ tal que $r\circ \pi=H$ que, como $\pi$ es un cociente, es necesariamente
continua: en efecto, si $(x,t)$,~$(x',t')\in X\times I$ son distintos
y $\pi(x,t)=\pi(x',t')$, entonces $t=t'=1$ y $H(x,t)=x_0=H(x',t')$.
Ahora bien, si $x\in X$ entonces $(r\circ i)(x)=r([x,0])=(r\circ\pi)(x,0)=H(x,0)=x$,
de manera que $r\circ i=\id_X$. En otras palabras, $r$ es una retracción
de~$CX$ a~$X$.

Recíprocamente, supongamos que $X$ es un retracto de~$CX$ y sea $r:CX\to X$
una retracción, de manera que $r\circ i=\id_X$. La función
$H=r\circ\pi:X\times I\to X$ es continua, y $H(x,0)=r([x,0])=(r\circ i)(x)=x$
y $H(x,1)=r([x,1])=r(\xi)$ para todo $x\in X$, de manera que
$H(\place,0)=\id_X$ y $H(\place,1)$ es constante. Esto nos dice que $H$ es
una contracción de~$X$~a~$\{\xi\}$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:X\to Y$ una función continua. El \emph{cono} de~$f$ es el
espacio cociente $C(f)=(CX\sqcup Y)/\mathord\sim$ con $\sim$ la menor
relación de equivalencia sobre la únión disjunta tal que $[x,0]\sim f(x)$
para todo $x\in X$. Hay funciones continuas evidentes $CX\to C(f)$ e $Y\to
C(f)$; notamos $\overline{[x,t]}$ y $\overline y$ a las imágenes de~$[x,t]\in
CX$ y de~$y\in Y$, respectivamente, por esas funciones.
\begin{ejitems}

\item La función $j:y\in Y\mapsto \overline y\in C(f)$ es un homeomorfismo a
su imagen.

\item Si $g:Y\to Z$ es una función continua, entonces $g\circ f:X\to Z$ es
homotópica a cero sii existe una función $\tilde g:C(f)\to Z$ tal que
$\tilde g\circ j=g$. Decimos en ese caso que ``$g$ extiende a $C(f)$''.
\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $\pi_f:CX\sqcup Y\to C(f)$ la aplicación cociente.
Entonces $j$ es la composición 
  \[
  \xymatrix{
  Y \ar@{^(->}[r] 
    & CX\sqcup Y \ar[r]^-{\pi_f}
    & C(f)
  }\]
que es claramente continua. Para ver que $j$ es inyectiva, tenemos que
mostrar que si $y$,~$y'\in Y$ son tales que $y\sim y'$, entonces $y=y'$,
pero esto es inmediato. Para terminar, mostremos que $j$ es cerrada.

Sea $F\subseteq Y$ un cerrado. Entonces $\pi_f^{-1}(j(F))=i(f^{-1}(F))\sqcup
F$, con $i:x\in X\mapsto [x,0]\in CX$, y como $i$ es cerrada y $f$
continua, este conjunto es un cerrado de $CX\sqcup Y$. Como $\pi_f$~es un
cociente, esto implica que $j(F)$ es un cerrado de~$C(f)$ y prueba que $j$
es una función cerrada.

\ejitem{2} Supongamos primero que $g\circ f$ es homotópica a cero, y sea
$H:X\times I\to Z$ una función continua tal que $H(\place,0)=g\circ f$ y
$H(\place,1)$ es constante. Si $\pi:X\times I\to CX$ es el cociente que
define a~$CX$, entonces es claro que existe una función continua $H':CX\to
Z$ tal que $H'\circ\pi=H$. Por otro lado, existe una función continua
$\tilde g$ que completa el diagrama siguiente a un diagrama conmutativo:
  \[
  \xymatrix{
  CX\sqcup Y \ar[r]^-{H'\sqcup g}  \ar[d]_-{\pi_f}
    & Z
    \\
  C(f) \ar@{..>}[ru]_-{\tilde g}
  }\]
Para verlo, basta mostrar que $(H'\sqcup g)([x,0])=(H'\sqcup g)(f(x))$
para todo $x\in X$, lo que es inmediato. Observemos finalmente que $(\tilde
g\circ j)(y)=(\tilde g\circ\pi_f)(y)=(H'\sqcup g)(y)=g(y)$ para todo $y\in
Y$, de manera que $\tilde g\circ j=g$.

Recíprocamente, supongamos que existe una función continua $\tilde
g:C(f)\to Z$ tal que $\tilde g\circ j=g$, y definamos $H=\tilde
g\circ\pi_f\circ s\circ \pi:X\times I\to Z$, con $\pi:X\times I\to CX$ el
cociente que define a~$CX$, $i:CX\to CX\sqcup Y$ la inclusión, y
$\pi_f:CX\sqcup Y\to C(f)$ el cociente. Claramente $H$ es continua. Si
$x\in X$, entonces $H(x,0)=\tilde g(\pi_f([x,0]))=\tilde
g(\pi_f(f(x)))=\tilde g(j(f(x))=g(f(x))$, de forma que $H(\place,0)=g\circ
f$; por otro lado, $H(x,1)=\tilde g(\pi_f([x,1]))=\tilde g(\xi)$ cualquiera
sea $x\in X$, de manera que $H(\place,1)$ es constante. Esto muestra que
$g\circ f$ es homotópica a cero.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:X\to Y$ una función continua. El \emph{cilindro} de~$f$ es el
espacio cociente $Z(f)=(X\times I\sqcup Y)/\mathord\sim$ con $\sim$ la menor
relación de equivalencia en $X\times I\sqcup Y$ tal que $(x,0)\sim f(x)$
para cada $x\in X$. Si $(x,t)\in X\times I$ e $y\in Y$, escribimos
$\overline{(x,t)}$ y $\overline y$ a las clases de $(x,t)$ y de~$y$
en~$Z(f)$. 
\begin{ejitems}

\item Las funciones $i:x\in X\mapsto\overline{(x,1)}\in Z(f)$ y $k:y\in
Y\mapsto \overline y\in Z(f)$ son continuas e inyectivas.

\item Hay una función $r:Z(f)\to Y$ tal que $r(\overline{(x,t)})=f(x)$ para cada
$(x,t)\in X\times I$ y $r(\overline y)=y$ para cada $y\in Y$, y es
continua.

\item La función $j:Y\to Z(f)$ es una equivalencia homotópica y $r$ es una
inversa homotópica para~$j$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{El grupo fundamental}

Si $\alpha$,~$\beta:I\to X$ son dos caminos en un espacio~$X$, notamos
$\alpha\simeq_p\beta$ a la relación de homotopía relativa a los extremos.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $\alpha_1$,~$\alpha_2$,~$\alpha_3$, $\alpha_1'$,~$\alpha_2'$,~$\alpha_3':I\to X$ son
caminos en un espacio~$X$ tales que $\alpha_i(1)=\alpha_i'(0)$ si
$i\in\{1,2,3\}$, y si $H_i:\alpha_i\simeq_p\alpha_{i+1}$ y $H'_i:\alpha'_i\simeq_p\alpha'_{i+1}$,
para $i\in\{1,2\}$, son homotopías, entonces
  \[
  (H_1+H_2)*(H_1'+H_2') = (H_1*H_1')+(H_2*H_2').
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $X$ es un espacio, $x_0\in X$ y $\Omega(X,x_0)=\{\sigma\in
C(I,X):\sigma(0)=\sigma(1)=x_0\}$ con su topología de subespacio
de~$C(I,X)$, entonces hay una biyección natural
$\pi_0(\Omega(X,x_0))=\pi_1(X,x_0)$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $S^1=\{z\in\CC:\abs{z}=1\}$, sea $X$ un espacio y sea $x_0\in X$.
Consideremos sobre el conjunto $C((S^1,1),(X,x_0))$ de las funciones
continuas de pares $(S^1,1)\to(X,x_0)$ la relación de equivalencia
$\simeq_{\{1\}}$ de homotopía relativa a $\{1\}\subseteq S^1$, y notemos
$[(S^1,1),(X,x_0)]$ al conjunto de clases de equivalencia
de~$\simeq_{\{1\}}$. Entonces hay una biyección natural 
$[(S^1,1),(X,x_0)]\to\pi_1(X,x_0)$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio, sea $A\subseteq X$ un subespacio y sea $i:A\to X$
la inclusión.
\begin{ejitems}

\item Si $r:X\to A$ es una retracción, entonces cualquiera sea $a_0\in A$ 
el homomorfismo $r_*:\pi_1(X,a_0)\to\pi_1(A,a_0)$ es un epimorfismo y el
homomorfismo
$i_*:\pi_1(A,a_0)\to\pi_1(X,x_0)$ es un monomorfismo.

\item Si $A$ es un retracto por deformación (débil o fuerte), entonces
$\pi_1(A)$ y $\pi_1(X)$ son grupoides equivalentes y, en particular, para
todo $a_0\in A$ se tiene que $\pi_1(X,a_0)\cong\pi_1(A,a_0)$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $(X,x_0)$ e $(Y,y_0)$ dos espacios punteados.
\begin{ejitems}

\item Las funciones $i_X:x\in X\mapsto (x,y_0)\in X\times Y$ y $i_Y:y\in
Y\mapsto(x_0,y)\in X\times Y$ inducen una función
  \[
  f:(\alpha,\beta)\in\pi_1(X,x_0)\times\pi_1(Y,y_0)
        \mapsto (i_X)_*(\alpha)\cdot (i_Y)_*(\beta)\in \pi_1(X\times Y,(x_0,y_0))
  \]
que es un isomorfismo de grupos.

\item En particular, si $\sigma\in\Omega(X,x_0)$ y $\tau\in\Omega(Y,y_0)$,
$[i_X\circ\sigma]$ y $[i_Y\circ\tau]$ son elementos de $\pi_1(X\times
Y,(x_0,y_0))$ que conmutan. Explicite una homotopía para verlo.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(G,\mathord\cdot,e)$ un grupo topológico. Si $\sigma$,~$\tau\in
\Omega(G,e)$, sea 
  \[
  \sigma\odot\tau:t\in I\mapsto \sigma(t)\cdot\tau(t)\in G.
  \]
Esto define una operación $\odot$ en el conjunto $\Omega(G,e)$ que hace de
él un grupo.
\begin{ejitems}

\item La operación~$\odot$ induce una operación, que también notamos
$\odot$, sobre $\pi_1(G,e)$ y con ésta $\pi_1(G,e)$ es un grupo.

\item Esta estructura de grupo coincide con la estructura usual
de~$\pi_1(G,e)$.

\item $\pi_1(G,e)$ es un grupo abeliano.

\end{ejitems}

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace*{\stretch{1}}

%\begin{figure}[hp]

\vspace*{1cm}

\foto{Poincare}{Jules Henri Poincaré\\1854--1912, Francia}{%
Se considera a Poincaré como el último matemático que llegó a conocer \emph{toda} 
la matemática de su tiempo. Entre la gran cantidad de aportes que hizo se
cuenta la introducción del grupo fundamental de un espacio o \emph{grupo de
Poincaré}.
}

\vspace*{0cm}

%\end{figure}

\vspace*{\stretch{1}}

\end{document}
