%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\hyphenation{sobre sub-con-junto}

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\Materia{Topología}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2009}
\Practica{3}
\Titulo{Redes}

\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%
\let\theinnersection\thesection
\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Ejemplos}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Describa las sucesiones convergentes y las redes convergentes en un
espacio discreto.

\item Describa las sucesiones convergentes y las redes convergentes en un
espacio numerable dotado de la topología de los conjuntos cofinitos.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $X$ un espacio discreto y sea red $\phi:I\to X$ que converge
a~$x_0\in X$. Como $\{x_0\}$ es un entorno de~$x_0$, existe $i_0\in I$ tal
que si $i\geq i_0$ es $\phi(i)\in\{x_0\}$, esto es, $\phi(i)=x_0$. Así,
$\phi$ es \emph{a la larga constante}. Recíprocamente, es claro que toda
red a la larga constante converge.

\ejitem{2} Sea $X$ un espacio infinito con la topología de los conjuntos
cofinitos, sea $\phi:\NN\to X$ una sucesión y sea $x_0\in X$. Entonces
  \[
  \claim{$\phi$ converge a~$x_0$ sii todo elemento de~$X\setminus\{x_0\}$
  tiene finitas preimagenes por~$\phi$}
  \]
Supongamos primero que la condición se satisface y sea $U\subseteq X$ un
entorno abierto de~$x_0$, de manera que, como $U\neq\emptyset$, es
$X\setminus U$ finito. Es claro que si $U=X$, entonces $\phi$ está
a la larga en~$U$, así que podemos suponer que $U\subsetneq X$.
Sea $n=\abs{X\setminus U}$, que es un entero positivo, y sean
$x_1$,~\dots,~$x_n$ los elementos de~$X\setminus U$. Como
$\phi^{-1}(x_1)$,~\dots,~$\phi^{-1}(x_n)$ son conjuntos finitos, existe
$i_0\in\NN$ tal que si $i\geq i_0$ es $\phi(i)\not\in\{x_1,\dots,x_n\}$,
esto es, $\phi(i)\in U$. Pero entonces $\phi$ está a la larga en~$U$, y
vemos que converge a~$x_0$.

Recíprocamente, supongamos que $\phi$~converge a~$x_0$, y sea $x_1\in
X\setminus\{x_0\}$.  Entonces $X\setminus\{x_1\}$ es un entorno de~$x_0$ y,
por hipótesis, existe $i_0\in\NN$ tal que si $i\geq i_0$ es $\phi(i)\in
X\setminus\{x_1\}$, esto es, $\phi(i)\neq x_1$. Luego
$\phi^{-1}(x_1)\subseteq\{1,\dots,i_0-1\}$, así que se trata de un conjunto
finito.

De manera similar, si $\phi:I\to X$ es una red en~$X$, 
se tiene que
  \[
  \claim{$\phi$~converge a~$x_0$ si para todo $x\in X$ la red
  $\phi$ toma, a la larga, valores distintos de~$x$.}
  \]
Esto da la caracterización buscada.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Describa todas las sucesiones que son subredes de una sucesión dada.

\item Muestre que una sucesión tiene subredes que no son subsucesiones.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $\phi:\NN\to X$ una red en~$X$. Toda sucesión que es una
subred de~$\phi$ es de la forma $\phi\circ s:\NN\to X$ para una función
$s:\NN\to\NN$ que es cofinal. Bastará, entonces, caracterizar las funciones
$s:\NN\to\NN$ que son cofinales, pero es claro que
  \[
  \claim{Una función $s:\NN\to\NN$ es cofinal sii
  $\lim_{n\to\infty}s(n)=\infty$.}
  \]

\ejitem{2} Sea $\phi:\NN\to X$ una sucesión, y sea
$\psi:n\in\NN\mapsto\phi(2^n+(-1)^n 2^{n-1})\in X$. Entonces $\psi$ es una
subred de~$\phi$: si definimos $s:n\in\NN\mapsto 2^n+(-1)^n 2^{n-1}\in\NN$,
entonces $s$ es cofinal y $\psi=\phi\circ s$. Pero como $s$ no es monótona,
$\psi$~no es una subsucesión.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Dé un ejemplo de un espacio topológico~$X$, de un
subconjunto~$A\subseteq X$ y de un punto~$x\in\overline A$ tal que ninguna
sucesión en~$X$ con valores en~$A$ converge a~$x$.

\item Dé un ejemplo de un espacio topológico que no sea Hausdorff y en
el cual toda sucesión convergente converge a exactamente un límite.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Sea $\Omega$ el primer ordinal no numerable y sea $X=\Omega+1$
dotado de su topología del orden; observemos que podemos suponer que, como
conjunto, $X=\Omega\cup\{\Omega\}$. Sea $\phi:\NN\to X$ una sucesión con
valores en~$\Omega$. Entonces
$\phi(\NN)$ es un subconjunto propio y numerable de~$\Omega$, así que
existe $\xi\in\Omega$ tal que $\phi(x)\leq\xi$ para todo $x\in\NN$. Como
$\Omega$ no tiene máximo, $U=(\xi+1,\Omega]$ es un entorno abierto
de~$\Omega$ en~$X$, y la elección de~$\xi$ nos dice que $\phi$ nunca entra
en~$U$: así, $\phi$ no converge a~$\Omega$.

\ejitem{2} Sea $\Omega$ el primer ordinal no numerable y sea
$X=\Omega\cup\{a,b\}$, con $a$ y~$b$ dos objetos que no pertenecen
a~$\Omega$. Si $x$,~$y\in\Omega$, sean
  \begin{gather*}
  L_x = \{y\in\Omega:y<x\}, \quad
  R^1_x = \{y\in\Omega:y>x\}\cup\{a\}, \quad
  R^2_x = \{y\in\Omega:y>x\}\cup\{b\}.
  \end{gather*}
y sea $\S=\{L_x, R^1_x,R^2_x:x\in\Omega\}$. Dotemos a~$X$ de la topología
que tiene a~$\S$ como subbase. 

Si $U\subseteq X$ es un entorno abierto de~$a$, entonces existen $n\in\NN$,
$x_1$,~\dots,~$x_n\in\Omega$ tales que $a\in\bigcap_{i=1}^nR_{x_i}^{1}$.
Sea $y=\max\{x_i:1\leq i\leq n\}\in\Omega$. Como $\Omega$ no tiene máximo,
existe $z\in\Omega$ tal que $z>y$, y entonces $a\in R_z^1\subseteq U$.
Vemos así que $\{R_z^1:z\in\Omega\}$ es una base de entornos de~$a$ y, de
la misma forma, que $\{R_z^2:z\in\Omega\}$ es una base de entornos de~$b$.
Si $z$,~$z'\in\Omega$ y $w\in\Omega>\max\{z,z'\}$, entonces
claramente $w\in R_z^1\cap R_{z'}^2$: esto muestra que los puntos~$a$ y~$b$
no pueden separarse por entornos abiertos disjuntos y, en consecuencia, que
$X$~no es Hausdorff.

Sea $\phi:\NN\to X$ una sucesión y sean $x_0$,~$x_1\in X$ dos limites distintos de~$\phi$.
\begin{itemize}

\item Si $x_0$, $x_1\in\Omega$ y existe $y\in\Omega$ tal que $x_0<y<x_1$,
entonces $L_y$ y $R^1_y$ son entornos abiertos de~$x_1$ y de $x_1$,
respectivamente, y disjuntos. 

\item Si $x_0$, $x_1\in\Omega$ y \emph{no} existe $y\in\Omega$ tal que $x_0<y<x_1$,
entonces $L_{x_1}$ y $R^1_{x_0}$ son entornos abiertos de~$x_1$ y de $x_1$,
respectivamente, y disjuntos. 

\item Si $x_0\in\Omega$ y $x_1\in\{a,b\}$, entonces existe $y\in\Omega$ tal
que $x_0<y$ y $L_y$ y $R_y^1\cup R^2_y$ son entornos abiertos de~$x_1$ y de $x_1$,
respectivamente, y disjuntos. 

\end{itemize}
Esto implica que, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $x_0=a$ y
$x_1=b$. El conjunto $\{\phi(n):n\in\NN,\,\phi(n)\in\Omega\}\subseteq\Omega$ es numerable,
así que existe $y\in\Omega$ tal que siempre que $n\in\NN$ y
$\phi(n)\in\Omega$ se tiene que $\phi(n)<y$. Como $\phi$ toma a la larga
valores en~$R^1_y$ porque $R^1_y$ es un entorno de~$a$ y $\phi$ converge
a~$a$, vemos que el conjunto $\{n\in\NN:\phi(n)\in\Omega\}$ es finito. Esto
implica que $\phi$ a la larga toma valores en~$\{a,b\}$. Como converge
a~$a$, $\phi$ está a la larga en~$R^1_y$ y entonces, como $b\not\in R^1_y$,
$\phi$ a la larga vale constantemente~$a$. De la misma forma, como
$\phi$~converge a~$b$, $\phi$ está a la larga en~$R^2_y$ y, como $a\not\in
R^2_y$, $\phi$ a la larga vale constantemente~$b$. Esto es absurdo.

Concluimos de esta forma que una sucesión en~$X$ puede tener a lo sumo un
límite.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto totalmente ordenado y \definiendum{superiormente
completo}, de manera que todo subconjunto $A\subset X$ superiormente
acotado y no vacío posee un supremo en~$X$. Consideremos a~$X$ dotado de su
topología del orden. 

Decimos que una red $\phi:I\to X$ es \definiendum{monótona} si
  \[
  i\leq j \implies \phi(i)\leq \phi(j),
  \]
y que es \definiendum{acotada superiormente} si
  \[
  \exists c\in X, \quad \forall i\in I, \quad \phi(i)\leq c.
  \]
Entonces toda red $\phi:I\to X$ que monótona y acotada superiormente
converge a un único límite, y ese límite es $\sup\{\phi(i):i\in I\}$.

\begin{Solucion}
Sea $\phi:I\to X$ una red monótona y acotada superiormente y escribamos
$\alpha=\sup\{\phi(i):i\in I\}$; esto tiene sentido porque el conjunto
$S=\{\phi(i):i\in I\}$ es acotado superiormente y no vacío, y $X$ es
superiormente completo. Tenemos que mostrar que $\alpha$ es un límite
de~$\phi$; que es único es consecuencia de que $X$~es un espacio de
Hausdorff.

Sea $x\in X$ tal que $\alpha<x$. Como $\alpha$ es una cota superior para
$\phi(I)$, es claro que $\phi(i)\in(-\infty,x)$ para todo $i\in I$. Por
otro lado, si $y\in X$ es tal que $\alpha>y$, entonces la elección
de~$\alpha$ implica que existe $i_0\in I$ tal que $\phi(i_i)>y$ y entonces,
como $\phi$ es monótona, $\phi(i)\in(y,\infty)$ para todo $i\in I$ con
$i\geq i_0$.

Concluímos de esta forma que $\phi$ está a la larga en todo elemento de
  \[
  \S=\{(-\infty,x):x>\alpha\}\cup\{(y,\infty):y<\alpha\}.
  \]
Como $\S$ es una sub-base de entornos de~$\alpha$ en~$X$, esto
implica que $\phi$ converge~a~$\alpha$.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aplicaciones}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio topológico. 

\begin{ejitems}

\item Un subconjunto $U\subseteq X$ es
abierto sii ninguna red en~$X$ con valores en~$X\setminus U$ converge a un
punto de~$U$.

\item Si $X$ satisface el primer axioma de la numerabilidad, entonces un
subconjunto~$U\subseteq X$ es abierto sii ninguna sucesión en~$X$ con
valores en~$X\setminus U$ converge a un punto de~$U$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Supongamos que $U$ es abierto y sea $\phi:I\to X$ una red con
valores en~$X\setminus U$ que converge a~$x_0\in U$. Entonces $\phi$ está
a la larga en~$U$, ya que $U$~es un entorno de~$x_0$: esto es claramente
imposible.

Recíprocamente, supongamos que $U$ no es abierto, de manera que existe
$x_0\in U\setminus\inte U$. Entonces para cada entorno abierto~$V$ de~$x_0$
en~$X$ es $V\not\subseteq U$, así que existe $y_V\in V\setminus U$. Sea $I$
el conjunto de los entornos abiertos de~$x$, ordenado por inclusión
reversa; se trata de un conjunto dirigido. Sea además $\phi:V\in I\mapsto
y_V\in X$. Es claro que $\phi$ toma valores en~$X\setminus U$. Para
terminar, basta con mostrar que $\phi$ converge a~$x_0$. Sea~$V$ un
entorno abierto de~$x_0$ en~$X$. Entonces si $V'\in I$ es tal que
$V'\subseteq V$, se tiene que $y_{V'}\in V'\setminus U\subseteq V\setminus
U\subseteq V$. Luego $\phi$ está a la larga en~$V$.

\ejitem{2} Supongamos ahora que $X$ satisface el primer axioma de la
numerabilidad. Si $U\subseteq$ es abierto, entonces una sucesión $\phi:I\to
X$ com valores en~$X\setminus U$ no puede converger a un punto de~$U$,
porque se trata, en particular, de una red y podemos aplicar la primera
parte.

Supongamos ahora que $U$ no es abierto, sea $x_0\in U\setminus\inte U$ y
sea $\B=\{U_i:i\geq1\}$ una base de entornos abiertos de~$x_0$. Para cada
$j\in\NN$ el conjunto $V_j=\bigcap_{i=1}^jU_i$ es un entorno abierto
de~$x_0$, así que $V_j\not\subseteq U$ y existe $y_j\in V_j\setminus U$.
Consideremos la sucesión $\phi:j\in\NN\mapsto y_j\in X$. La elección de los
elementos~$y_j$ hace inmediato que $\phi$ toma valores en~$X\setminus U$.
Por otro lado, sea $n\in\NN$. Si $j\geq n$, entonces $\phi(j)\in
V_j\subseteq U_n$, así que $\phi$ está a la larga en cada elemento
de~$\B$: esto nos dice que $\phi$~converge a~$x_0$.
\end{Solucion} 

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio topológico.
\begin{ejitems}

\item Sean $A\subseteq X$ y $x\in X$. Entonces $x\in\overline A$ sii existe
una red en~$X$ con valores en~$A$ que converge a~$x$.

\item Sean $A\subseteq X$ y $x\in X$. Entonces $x$ es un punto de
acumulación de~$A$ sii existe una red en~$X$ con valores
en~$A\setminus\{x\}$ que converge a~$x$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Supongamos que $x\in\overline A$ y sea $I$ el conjunto de todos
los entornos abiertos de~$x$, que es un conjunto dirigido para la relación
de inclusión inversa. Si $V\in I$, entonces existe $y_V\in V\cap A$. Esto
nos permite definir una red $\phi:V\in I\mapsto y_V\in X$, que claramente
toma valores en~$A$. Además, si $W$ es un entorno abierto de~$x$, entonces
para cada $V\in I$ con $V\subseteq W$ se tiene que $\phi(V)=y_V\in
V\cap A\subseteq W$: esto nos dice que $\phi$ está eventualemente en~$W$ y,
en definitiva, que $\phi$~converge a~$x$. Esto prueba la necesidad de la
condición.

Recíprocamente, sea $\phi:I\to X$ una red con valores en~$A$ que converge
a~$x\in X$. Sea $U$ un entorno abierto de~$x$ en~$X$. La convergencia,
entonces, implica que $\phi$ está a la larga en~$U$ y, en particular,
que $\emptyset\subsetneq\phi(I)\cap U\subseteq A\cap U$. Así, todo entorno
de~$x$ interseca no trivialmente a~$A$, y vemos que $x\in\overline A$.

\ejitem{2} Supongamos que $x$ es un punto de acumulación de~$A$, sea $I$ el
conjunto de los entornos abiertos de~$x$ y sea, para cada $V\in I$, $y_V\in
V\cap(A\setminus\{x\})$. Entonces, si ordenamos a~$I$ vía la inclusión
inversa, la aplicación $\phi:V\in I\mapsto y_V\in X$ es una red que toma
sus valores en~$A\setminus\{x\}$. Si $W$ es un entorno abierto de~$x$, y si
$V\in I$ es tal que $V\subseteq W$, entonces $\phi(V)=y_V\in
V\cap(A\setminus\{x\})\subseteq W$: esto muestra que $\phi$ está
a la larga en~$W$ y, finalmente, que $\phi$ converge a~$x$. La afirmación
recíproca se prueba de la misma manera que en la parte~\ejitem{1}.~\qed
\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Un espacio topológico $X$ es Hausdorff sii toda red en~$X$ converge a lo
sumo a un punto.

\begin{Solucion}
Supongamos que $X$ no es Hausdorff, de manera que existe un par de puntos
$x$,~$y\in X$ distintos tales siempre que $U$,~$V\subseteq X$ son entornos
abiertos de~$x$ e~$y$, respetivamente, se tiene que $U\cap
V\neq\emptyset$, de manera que existe $z_{U,V}\in U\cap V$.

Sea $I$ el conjunto de todos los pares $(U,V)$ con $U$ un entorno abierto
de~$x$ y $V$ un entorno abierto de~$y$, y consideremos la relación de
orden~$\leq$ en~$I$ tal que
  \[
  (U,V)\leq(U',V') \iff U\supseteq U' \wedge V\supseteq V'.
  \]
Es inmediato que esta relación hace de~$I$ un conjunto dirigido, así que la
función $\phi:(U,V)\in I\mapsto z_{U,V}\in X$ es una red.

Sea $W$ un entorno abierto de~$x$. Entonces $(W,X)\in I$ y si $(U,V)\in I$
es tal que $(W,X)\leq(U,V)$ es claro que $\phi(U,V)=z_{U,V}\in U\cap
V\subseteq W$. Vemos así que $\phi$~converge a~$x$. Por supuesto, un
razonamiento simétrico muestra que $\phi$~también converge a~$y$.

Supongamos ahora que $X$ es Hausdorff y sea $\phi:I\to X$ una red
convergente. Sea $x\in X$ un límite de~$\phi$ y sea $y\in X\setminus\{x\}$.
Por hipótesis, existen entornos $U$,~$V\subseteq X$ de~$x$ e~$y$,
respetivamente, tales que $U\cap V=\emptyset$. Como $\phi$ converge a~$x$,
está a la larga en~$U$ y entonces a la larga no está en~$U$: esto nos dice
que $\phi$~no converge a~$y$.

\end{Solucion}

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[hp]

\vspace*{3cm}

\foto{Moore}{Eliakim Hastings Moore\\1862--1932, Estados Unidos}{%
Junto con su alumno Herman Lyle Smith introdujo en el trabajo
[Moore, E. H.; Smith, H. L. A General Theory of Limits. Amer. J. Math.
\textbf{44}  (1922), no. 2, 102--121] la noción general de convergencia en
el sentido de las redes.
}

\vspace*{3cm}

\end{figure}

\end{document}
