%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\let\emptyset\varnothing
\DeclareMathOperator\inte{int}

\hyphenation{sobre}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\Materia{Topología}
\Cuatrimestre{Segundo Cuatrimestre --- 2009}
\Practica{1}
\Titulo{Topologías}

\begin{document}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%

% espacios topológicos
% bases y subbases
% topologias generadas

% clausura, interior, frontera
% definicion de topología usando:
%  - filtros de entornos
%  - operador de clausura
% reticulado de topologias

\let\theinnersection\thesection
\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Ejemplos}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Encuentre todas las topologías sobre conjuntos de a lo sumo cuatro
elementos.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto.
\begin{ejitems}

\item Sea $\tau = \{ U \in \P(X) : \text{$X\setminus U$ es finito}
\}\cup\{\emptyset\}$.
Entonces $\tau$~es una topología sobre~$X$, a la que llamamos la
\definiendum{topología cofinita}. Describa el interior, la clausura y la
frontera de los subconjuntos de~$X$ con respecto a esta topología.

\item Sea $\kappa$ un cardinal y sea 
  \[
  \tau_\kappa = \{ U \in \P(X) : \text{$X\setminus U$ tiene cardinal a lo sumo $\kappa$} \}
                \cup \{\emptyset\}
  \]
Determine condiciones necesarias y suficientes sobre~$\kappa$ para que $\tau_\kappa$ sea
una topología sobre~$X$.

\end{ejitems}

\begin{Solucion}
\ejitem{1} Veamos que $\tau$ es una topología:
\begin{itemize}

\item Por definición $\emptyset\in\tau$ y, como $X\setminus X=\emptyset$ es
finito, $X\in\tau$. 

\item Sean $U$,~$V\in\tau$. Si alguno de los dos es vacío, entonces $U\cap
V$ también lo es y ya sabemos que se trata de un elemento de~$\tau$.
Supongamos entonces que $U\neq\emptyset$ y que $V\neq\emptyset$, de manera
que $X\setminus U$ y $X\setminus V$ son finitos. En ese caso tenemos que
$X\setminus(U\cap V)=(X\setminus U)\cup(X\setminus V)$ y, como la unión de
dos conjuntos finitos es finita, que $X\setminus(U\cap V)$ es finito. Así,
también en este caso es $U\cap V\in\tau$.

\item Sea $\U\subseteq\tau$ y sea $V=\bigcup_{U\in\U}U$. Si $V=\emptyset$,
entonces $V\in\tau$. Si, por el contrario, $V\neq\emptyset$, 
existe $U_0\in\U$ con $U_0\neq\emptyset$ y, en consecuencia, $X\setminus
U_0$ es finito. Como $X\setminus V\subseteq X\setminus U_0$, vemos que
$X\setminus V$ también es finito y, así, que $V\in\tau$.

\end{itemize}
Sea $A\subseteq X$. Entonces
  \begin{align*}
  &\inte A = 
    \begin{cases}
    A, & \text{si $X\setminus A$ es finito;} \\
    \emptyset, & \text{si $X\setminus A$ es infinito;} \\
    \end{cases}
  &
  &\overline A =
    \begin{cases}
    A, & \text{si $A$ es finito;} \\
    X, & \text{si $A$ es infinito.}
    \end{cases}
  \end{align*}
En efecto, si $X\setminus A$~es finito, entonces $A$~es un abierto de~$X$ e
$\inte A=A$. Si, por el contrario, $X\setminus A$ es infinito y $U\subseteq
A$ es un abierto, entonces $X\setminus U\supseteq X\setminus A$, de manera
que $X\setminus U$ es infinito y, en conseciencia, $U=\emptyset$.

Por otro lado, si $A$ es finito, entonces $X\setminus(X\setminus A)=A$ es
finito, así que $X\setminus A$ es abierto y $A$ es cerrado: esto dice que
$\overline A=A$ en este caso. Finalmente, si $\overline A$ es un cerrado
\emph{propio} de~$X$, entonces $X\setminus\overline A$ es un abierto no
vacío y $\overline A=X\setminus(X\setminus\overline A)$ es finito, así que
$A\subseteq\overline A$ también lo es.

\ejitem{2} Afirmamos que $\tau_\kappa$ es una topología sii $\kappa$ es
infinito o nulo

Primero, supongamos que $\kappa$ es finito y no nulo, y que $X$ es un conjunto infinito.


\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto no vacío y sea $x_0\in X$. 
\begin{ejitems}

\item $\{U\in\P(X):x_0\in U\}$ es una topología sobre~$X$. 

\item $\{U\in\P(X):x_0\not\in U\}$ es una topología sobre~$X$. 

\end{ejitems}
Describa el interior, la clausura y la frontera de los subconjuntos de~$X$
con respecto a cada una de estas topologías.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico y sea $Y\subseteq X$. Muestre
que
  \[
  \tau_Y = \{ U\cap Y : U\in\tau \}
  \]
es una topología sobre~$Y$. Llamamos a~$\tau_Y$ la \definiendum{topología
inducida por~$\tau$ sobre~$Y$}.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto infinito, sea $x_0\in X$ y sea
$\tau\subseteq\P(X)$ el conjunto de las partes de~$X$ que tienen
complemento infinto o que no contienen a~$x_0$. Muestre que $\tau$ es una
topología y describa sus cerrados.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\F$ el conjunto de todos los cerrados acotados de~$\RR$ en su
topología usual, junto con~$\RR$. Entonces existe una topología en~$\RR$
para la cual $\F$ es el conjunto de todos los cerrados.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Digamos que un subconjunto $U$ de~$\RR^2$ es \definiendum{radialmente
abierto} si su intersección con toda recta que pasa por uno de sus puntos
es un intervalo abierto de ésta. Muestre que el conjunto de todos los
conjuntos radialmente abiertos de~$\RR^2$ es una topología sobre~$\RR^2$ y
compárela con la topología usual

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Clausura, interior, frontera}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio topológico y sea $A\subseteq X$. Entonces
  \[
  \overline A = \bigcap_{\substack{F\supseteq A\\\text{$F$ cerrado}}} F.
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio topológico y sean $A$,~$B\subseteq X$. Entonces:
\begin{ejitems}

\item $\overline{\overline A}=\overline A$;

\item $\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B$;

\item $\overline{A\cap B}\subseteq\overline A\cap\overline B$;

\item $A\cap\overline B\subseteq \overline{A\cap B}$ cuando $A$ es abierto; y

\item $\overline A\setminus\overline B\subseteq\overline{A\setminus B}$.

\end{ejitems}
¿Pueden ser estrictas las inclusiónes?

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio topológico y sean $\A\subseteq\P(X)$. Entonces
\begin{ejitems}

\item $\bigcup_{A\in\A}\overline A\subseteq\overline{\bigcup_{A\in\A}A}$ y 

\item $\overline{\bigcap_{A\in\A}A} \subseteq \bigcap_{A\in\A}\overline A$.

\end{ejitems}
¿Pueden ser estrictas las inclusiones?

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio topológico y sea $A\subseteq X$. Entonces
  \[
  \inte A = \bigcup_{\substack{U\subseteq A\\\text{$U$ abierto}}} U.
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio topológico y sean $A$, ~$B\subseteq X$. Entonces:
\begin{ejitems}

\item $\inte(\inte A)=\inte A$;

\item $\inte{A\cap B}=\inte A\cap\inte B$;

\item $\inte{A\cup B}\supseteq\inte A\cup\inte B$.

\end{ejitems}
¿Puede ser estricta la inclusión de~\ejitem{3}?

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio topológico y sean $\A\subseteq\P(X)$. Entonces
\begin{ejitems}

\item $\bigcup_{A\in\A}\inte A\subseteq\inte\bigcup_{A\in\A}A$ y

\item $\inte\bigcap_{A\in\A}A\subseteq\bigcap_{A\in\A}\inte A$.
\end{ejitems}
¿Pueden ser estrictas las inclusiones?

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio topológico y sea $A\subseteq X$. Entonces:
\begin{ejitems}

\item $\inte(X\setminus A) = X\setminus\overline A$;

\item $\overline{X\setminus A} = X\setminus\inte A$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio topológico y sea $A\subseteq X$. Entonces:
\begin{ejitems}

\item $\partial A=\overline A\cap \overline{X\setminus A} = \overline A\setminus\inte A$;

\item $X\setminus\partial A=\inte A\cup\inte(X\setminus A)$;

\item $\overline A = A\cup \partial A$; 

\item $\inte A=A\setminus\partial A$;

\item $A$ es abierto sii $A\cap\partial A=\emptyset$; y

\item $A$ es cerrado sii $\partial A\subseteq A$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Considere el conjunto $X=[0,1]\times [0,1]$ con la topología del
orden lexicografico y determine la clausura y el interior de los siguientes
subconjuntos de~$X$.
\begin{multicols}{2}
  \begin{ejitems}
  \item $\{(1/n,0): n \in \NN \}$,
  \item $\{(1-1/n,1/2) : n \in \NN \}$,
  \item $\{(x,0): 0<x<1\}$,
  \item $\{(x,1/2): 0<x<1\}$,
  \item $\{(1/2,y): 0<y<1 \}$.
  \end{ejitems}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item* Sea $X$ un espacio topológico y sea $A\subseteq X$. ¿Cuántos
subconjuntos de~$X$ pueden obtenerse a partir de~$A$ usando las operaciones
de tomar interior, tomar clausura y tomar complemente?

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Todo cerrado de~$\RR^2$ es la frontera de un subconjunto de~$\RR^2$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Definiciones equivalentes}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto. Un \definiendum{sistema de filtros de entornos
$\F$ en~$X$} es una regla que a cada elemento $x\in X$ asigna una
familia $\F_x\in\P(X)$ de manera que
\begin{enumerate}[label=\textbf{($\mathbf E_{\arabic*}$)}, start=0, leftmargin=1.5cm]

\item si $x\in X$, $\F_x\neq\emptyset$;

\item si $x\in X$ y $A\in\F_x$, entonces $x\in A$;

\item si $x\in X$, $A\in\F_x$ y $B\in\P(X)$ son tales que
$A\subseteq B$, entonces $B\in\F_x$;

\item si $x\in X$ y $A$,~$B\in\F_x$, entonces $A\cap
B\in\F_x$;

\item si $x\in X$ y $A\in\F_x$, entonces existe
$B\in\F_x$ tal que $B\subseteq A$ y $B\in\F_y$ para todo $y\in B$.

\end{enumerate}

\begin{ejitems}

\item Si $(X,\tau)$ es un espacio topológico, entonces si para cada $x\in
X$ ponemos
  \[
  \F_x = \{ A\in\P(X) : 
                     \text{existe $U\in\tau$ tal que $x\in U\subseteq A$} \}
  \]
entonces $\F$ es un sistema de filtros de entornos en~$X$.

\item Si $\F$ es un sistema de filtros de entornos en~$X$, sea
  \[
  \tau = \{ A\in\P(X) : \text{para todo $x\in A$ es $A\in\F_x$} \} \cup \{\emptyset\}.
  \]
Entonces $\tau$ es una topología sobre~$X$. 

\item Las construcciones de~\ejitem{1} y~\ejitem{2} son inversas.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X=\{(x,y)\in\RR^2:y\geq0\}$. Si $p=(x,y)\in X$ con $y>0$, sea
  \[
  \F_p=\{B_r(p):0<r<y\}
  \]
y si, en cambio $p=(x,0)$, sea
  \[
  \F_p=\{B_r(x,r)\cup\{p\}:0<r\}.
  \]
Entonces $\F$ genera un sistema de filtros de entornos en~$X$. Si $\tau$ es
la topología correspondiente, $(X,\tau)$ es \definiendum{el plano de
Moore}. Describa las clausuras y los interiores de los subconjuntos de~$X$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\label{ej:kuratowski} Sea $X$ un conjunto. Una función
$c:\P(X)\to\P(X)$ es un \definiendum{operador de clausura en~$X$} si
\begin{enumerate}[label=\textbf{($\mathbf C_{\arabic*}$)}, leftmargin=1.5cm]

\item $c(\emptyset)=\emptyset$;

\item si $A\in\P(X)$, entonces $A\subseteq c(A)$;

\item si $A\in\P(X)$, entonces $c(c(A))=c(A)$;

\item si $A$,~$B\in\P(X)$, entonces $c(A\cup B)=c(A)\cup c(B)$;
\end{enumerate}
\begin{ejitems}

\item Si $(X,\tau)$ es un espacio topológico, entonces la función
  \[
  c:A\in\P(X)\mapsto\overline A\in\P(X)
  \]
es un operador de clausura en~$X$.

\item Si $c:\P(X)\to\P(X)$ es un operador de clausura en~$X$, entonces el
conjunto
  \[
  \tau = \{ U\in\P(X):c(X\setminus U)=X\setminus U\}
  \]
es una topología sobre~$X$.

\item Las construcciones de~\ejitem{1} y~\ejitem{2} son inversas.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto y sea $B\subseteq X$. Entonces la función
  \[
  c:A\in\P(X)\mapsto A\cup B\in\P(X)
  \]
es un operador de clausura en~$X$. Describa los abiertos de la topología
correspondiente.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Encuentre una descripción como la del ejercicio~\ref{ej:kuratowski}
para topologías sobre un conjunto~$X$ basada en un \definiendum{operador de
interior} $i:\P(X)\to\P(X)$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{El reticulado de topologías, bases y subbases}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto y sea $\mathscr{T}$ el conjunto de todas las topologías
sobre~$X$.
\begin{ejitems}

\item La intersección de una familia arbitraria de elementos de~$\mathscr{T}$ es un
elemento de~$\mathscr{T}$.

\item La unión de dos elementos de~$\mathscr{T}$ no es necesariamente un elemento
de~$\mathscr{T}$.

\item Si $T\subseteq\mathscr{T}$ es una familia arbitraria de topologías
sobre~$X$, entonces existe exactamente una topología $\tau_T\in\mathscr{T}$ tal que
  \begin{itemize}

  \item para todo $\tau\in T$ se tiene que $\tau\subseteq\tau_T$, y

  \item si $\sigma\in\mathscr{T}$ es tal que $\tau\subseteq\sigma$
  cualquiera sea $\tau\in T$, entonces $\sigma\supseteq\tau_T$.

  \end{itemize}

\item Si $\subseteq$ es la relación de inclusión usual, que es un orden
parcial sobre~$\mathscr{T}$, entonces el conjunto parcialmente ordenado
$(\mathscr{T},\subseteq)$ es un reticulado completo: esto es, un conjunto
parcialmente ordenado en el que todo subconjunto tiene un supremo y un
ínfimo.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto y $\A\subseteq\P(X)$. Entonces existe una
topología $\tau_\A$ sobre~$X$ tal que
  \begin{itemize}

  \item todo elemento de~$\A$ es abierto para~$\tau_\A$, y

  \item si $\tau$ es una topología sobre~$X$ tal que todo elemento de~$\A$
  es abierto para~$\tau$, entonces $\tau_\A\subseteq\tau$.
  
  \end{itemize}
Decimos que $\tau_\A$ es la \definiendum{topología menos fina} que contiene
a~$\A$ o que es la \definiendum{topología generada por~$\A$ sobre~$X$}.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}

\item Describa la topología generada por~$\A=\{\{a\}, \{b,c\}, \{d\}\}$
sobre el conjunto~$X=\{a,b,c,d\}$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $K=\{1/n\in\RR:n\in\NN\}$ y consideremos los siguientes
subconjuntos de~$\P(\RR)$:
  \begin{gather*}
  \B_1 = \{ (a,b) : a,b\in\RR,\; a<b \}, \\
  \B_2 = \{ [a,b) : a,b\in\RR,\; a<b \}, \\
  \B_3 = \{ (a,b] : a,b\in\RR,\; a<b \}, \\
  \B_4 = \B_1 \cup \{B\setminus K:B\in\B_1\}, \\
  \B_5 = \{ (a,+\infty) : a\in\RR \}, \\
  \B_6 = \{ (-\infty,a) : a\in\RR \}, \\
  \B_7 = \{ B \in\P(\RR) : \text{$\RR\setminus B$ es finito} \}.
  \end{gather*}
\begin{ejitems}

\item Muestre que cada uno de $\B_1$,~\dots,~$\B_7$ es una base para una
topología en~$\RR$ y compare las topologías correspondientes.

\item Muestre que  $\B_5\cup\B_6$ es una subbase para la topología generada
por~$\B_1$.

\item Determinar la clausura del conjunto $K$ en cada una de las siete
topologías.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\B=\{(a,b):a<b\}\cup\{\{n\}:n\in\ZZ\}\subseteq\P(\RR)$. Muestre
que $\B$ es base de una topología sobre~$\RR$. Describa el interior de los
subconjuntos de~$\RR$ con respecto a ella.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Su la topología de un espacio $X$ tiene una base de
cardinal~$\kappa$, entonces la topología de~$X$ tiene cardinal a lo
sumo~$2^\kappa$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Dé una definición razonable para \definiendum{base de cerrados} de un
espacio topológico.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Miscellánea}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio topológico. Decimos que un conjunto cerrado
$F\subseteq X$ es \definiendum{irreducible} si siempre que $F=F_1\cup F_2$,
con $F_1$ y $F_2$ subconjuntos cerrados de~$X$, se tiene que $F_1=F$ o
$F_2=F$.
\begin{ejitems}

\item Si la topología de $X$ es la topología cofinita de~$X$ y $X$ es
infinito, entonces $X$ es irreducible.

\item Si $X$ es irreducible y $U\subseteq X$ es abierto y no vacío,
entonces $U$ es denso en~$X$.

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Decimos que un espacio topológico $X$ es \definiendum{noetheriano} si siempre 
que si tenemos una sucesión decreciente de cerrados
  \[
  F_1 \supseteq F_2 \supseteq \cdots \supseteq F_i \supseteq F_{i+1} \supseteq \cdots
  \]
existe $i_0\in\NN$ tal que $F_i=F_{i_0}$ para todo $i\geq i_0$. 

Las siguientes condiciones son equivalentes:
\begin{enumerate}[label=\emph{(\roman*)}]

\item $X$ es noetheriano.

\item Toda familia no vacía de cerrados de~$X$ tiene un elemento minimal.

\item Si 
  \[
  U_1 \subseteq U_2 \subseteq \cdots \subseteq U_i \subseteq U_{i+1} \subseteq \cdots
  \]
es una sucesión creciente de abiertos de~$X$, entonces existe $i_0\in\NN$
tal que $U_i=U_{i_0}$ para todo $i\geq i_0$. 

\item Toda familia no vacía de abiertos de~$X$ tiene un elemento maximal.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un espacio topológico noetheriano.
\begin{ejitems}

\item Si $F\subseteq X$ es cerrado, existen $n\in\NN$ y cerrados
irreducibles $F_1$,~\dots,~$F_n\subseteq X$ tales que $F=F_1\cup\cdots\cup
F_n$.

\item Si $n$,~$m\in\NN$ y $F_1$,~\dots,~$F_n$,
$F_1'$,~\dots,~$F_m'\subseteq X$ son cerrados irreducibles tales que
  \begin{itemize}
  \item $F_i\not\subseteq F_j$ si $i$,~$j\in\{1,\dots,n\}$ y $i\neq j$;
  \item $F_i'\not\subseteq F_j'$ si $i$,~$j\in\{1,\dots,m\}$ y $i\neq j$; y
  \item $F_1\cup\cdots\cup F_n=F_1'\cup\cdots\cup F_m'$,
  \end{itemize}
entonces $n=m$ y existe una permutación $\sigma\in S_n$ tal que
$F_i'=F_{\sigma(i)}$ para cada $i\in\{1,\dots,n\}$.

\end{ejitems}

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\vspace*{\stretch{1}}

\foto{Frechet}{Maurice René Fréchet\\1878--1973, Francia}{Fréchet fue el
primero en considerar espacios topológicos abstractos, que introdujo en su
tésis \textit{Sur quelques points du Calcul Fonctionnel} [Rendiconti di
Palermo \textbf{22} (1906) 1--74] bajo la dirección de  Jacques Hadamard.}

\vspace*{\stretch{1}}

\end{document}
