\documentclass[a4paper,fleqn,11pt,oneside]{article}
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\overfullrule5pt

\Materia[Complementos]{Complementos / Matemática 2\\Matemática 3}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2008}
\Practica{7}
\Titulo{Forma normal de Jordan}

\def\KK{\mathbb{K}}
\def\NN{\mathbb{N}}
\def\CC{\mathbb{C}}
\def\RR{\mathbb{R}}
\def\ZZ{\mathbb{Z}}
\def\QQ{\mathbb{Q}}
\let\l\lambda
\let\a\alpha
\def\E{\mathcal E}
\def\B{\mathcal B}
\def\U{\mathcal U}
\def\Id{I\!d}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\Ort}{O}
\DeclareMathOperator{\Unit}{U}
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\rank}{rk}
\def\lin#1{{\langle #1 \rangle}}
\def\place{{\mathord{-}}}
\def\norm#1{{\lVert #1\rVert}}

\hyphenation{in-va-rian-te}

\begin{document}
\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  Describir todas las formas de Jordan posibles de un endomorfismo
nilpotente de un espacio vectorial de dimensión a lo sumo~$6$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Calcular las potencias y la exponencial de las matrices
  \begin{align*}
    &
    \begingroup
    \begin{pmatrix}
    0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 
    \end{pmatrix}
    \endgroup
    &
    &
    \begin{pmatrix}
    2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 
    \end{pmatrix}
  \end{align*}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{enumerate}
\item ¿Cuántas clases de semejanza hay de matrices de~$M_4(\CC)$ que tienen
polinomio característico igual a $x^4$?

\item ¿Cuántas clases de semejanza hay de matrices de~$M_7(\CC)$ que tienen
polinomio característico igual a $x^4$ y polinomio minimal igual a $x^3$?
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{enumerate}
\item Sea $N\in M_3(\CC)$ nilpotente, y sea $A=1+\frac12N-\frac18N^2$. Mostrar
que $A$ es una raiz cuadrada de $1+A$.
\item Desarrollando la función $(1+x)^{1/2}$ en su serie de Taylor, muestre que
toda matriz de la forma $1+N$ con $N$ nilpotente admite raices cuadradas.
¿Cuántas?
\item* Muestre que un endomorfismo $f\in\End(V)$ nilpotente de índice de
nilpotencia máximo no posee raices cuadradas.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Hallar una base en la que se realice la forma normal de Jordan, y la forma
de Jordan, de la matriz $A\in M_n(\CC)$ con
  \[
  a_{ij} = \begin{cases} 
             0 & \text{si $i\leq j$;} \\
             1 & \text{si $i > j$.}
           \end{cases}
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $J=J(\lambda,3)$ es un bloque de Jordan de tamaño~$3$ con
autovalor~$\lambda$.
\begin{enumerate}
\item Calcule $J^m$ para todo $m\geq0$.
\item Si $f\in\CC[X]$, calcule $f(J)$.
\item Calcule $e^J$ y $\cos J$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determinar la forma normal de Jordan y una base de Jordan para las
siguientes matrices:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\begin{pmatrix}
       1 & 1 & -1 \\
       -3 & -3 & 3 \\
       -2 & -2 & 2
       \end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}
       3 & 0 & 8 \\
       3 & -1 & 6 \\
       -2 & 0 & -5
       \end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}
       -4 & 2 & 10 \\
       -4 & 3 & 7 \\
       -3 & 1 & 7 
       \end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}
        2 & -1 & 1 \\
        0 & 1 & 1 \\
        1 & -2 & 3
       \end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}
        1 & 2 & 3 & 4 \\
        0 & 1 & 2 & 3 \\
        0 & 0 & 1 & 2 \\
        0 & 0 & 0 & 1
       \end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}
        0 & 1 & 0 & 0 \\
        0 & 0 & 1 & 0 \\
        0 & 0 & 0 & 1 \\
        1 & 0 & 0 & 0
       \end{pmatrix}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{ejercicios}

\vspace*{\stretch{1}}

 
\foto{Jordan}{Camille Jordan\\1838--1922, Francia}{%
} 


\vspace*{\stretch{1}}


\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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