\documentclass[a4paper,fleqn,11pt,oneside]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{practicas}
\usepackage{multicol}

\overfullrule5pt

\Materia[Complementos]{Complementos / Matemática 2\\Matemática 3}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2008}
\Practica{5}
\Titulo{Autovalores y diagonalización}

\def\KK{\mathbb{K}}
\def\NN{\mathbb{N}}
\def\CC{\mathbb{C}}
\def\RR{\mathbb{R}}
\def\ZZ{\mathbb{Z}}
\def\QQ{\mathbb{Q}}
\let\l\lambda
\let\a\alpha
\def\E{\mathcal E}
\def\B{\mathcal B}
\def\U{\mathcal U}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\rank}{rk}
\def\lin#1{{\langle #1 \rangle}}

\begin{document}
\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
\begin{enumerate}
\item Calcular el polinomio característico, los autovalores y autovectores de
  las siguientes matrices, considerando por separado el caso en que los
  coeficientes están en $\RR$ y en $\CC$:
  \begingroup
  \columnsep=0.5\columnsep
  \begin{multicols}{3}
  \begin{enumerate}
  \item $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$;
  \item $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$;
  \item $\begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}$;
  \item $\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\-2 & 0 & 3 \\ -1 & -3 & 0 \end{pmatrix}$;
  \item $\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -4 & -1 & 0 \\ 4 & -8 & -2 \end{pmatrix}$;
  \item $\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$;
  \item $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \end{pmatrix}$;
  \item $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
                         0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$;
  \item $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\
                         0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.
                          
  \end{enumerate}
  \end{multicols}
  \endgroup
En todos los casos, $a\in\mathbb K$.
\item Interprete cada una de las matrices del ítem anterior como la matriz de
una transformación lineal $f:\mathbb K^n\to\mathbb K^n$ (con $\mathbb K=\RR$ y
$\CC$, respectivamente) con respecto a la base canónica $\mathcal E$ de $\mathbb K^n$, y
encuentre, cuando es posible, una base $\B$ de manera tal que $[f]_\B$ es
diagonal; en ese caso, encuentre la matriz de cambio de base $C(\mathcal E,\B)$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item \begin{enumerate}
\item Sean $A, D\in M_n(k)$ y $C\in\GL_n(k)$ tales que $A=CDC^{-1}$. Mostrar que
$A^k=CD^kC^{-1}$ cualquiera sea $k\in\NN$.
\item Calcular
  \[
  \begin{pmatrix}
  -1 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -3 & -4
  \end{pmatrix}^n
  \]
para cada $n\in\NN$.
\item El objetivo de esta parte es encontrar una formula cerrada para la
sucesión $(a_n)_{n\geq0}$ tal que $a_0=a_1=1$ y, si $n\geq0$, 
  \[
  a_{n+2} = a_{n+1} + a_n.
  \]

Considere el endomorfismo $f:\CC^2\to\CC^2$ tal que, en la base canónica,
está representado por la matriz
  \[
  [f] = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
  \]
Muestre que, para cada $n\geq0$ es 
  \[
  f\begin{pmatrix}a_{n+1}\\a_n\end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}a_{n+2}\\a_{n+1}\end{pmatrix}.
  \]
Encuentre ahora una base que diagonalice a $f$ 
y use la primera parte de este ejercicio y el hecho de que
  \[
  f^n\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix} =
     \begin{pmatrix} a_{n+1}\\a_n\end{pmatrix} 
  \]
para obtener una fórmula cerrada para $a_n$ en esos casos.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{enumerate}
\item Determinar que matrices de la forma $\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}$
con $a,b,c\in k$, $k\in\{\RR,\CC\}$, son diagonalizables.
\item* Mostrar que toda matrix $A\in M_2(\CC)$ es o bien diagonalizable o bien
similar a una matrix de la forma $\begin{pmatrix}a&0\\1&a\end{pmatrix}$ para
algún $a\in\CC$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{enumerate}
\item Sea $A\in M_2(\CC)$ tal que todos sus coeficientes son reales y tal que
$\left(\begin{smallmatrix} 1+i\\2-i\end{smallmatrix}\right)$ es un autovector correspondiente
al autovalor $1+3i$. Mostrar que $A$ es diagonalizable, encontrar una base de
autovectores, y determinar $A$.
\item Sea $A\in M_2(\RR)$ tal que
$\left(\begin{smallmatrix}1\\-1\end{smallmatrix}\right)$ es
un autovector de autovalor $\sqrt2$, y tal que $\chi_A\in\QQ[t]$. Determinar si
$A$ es diagonalizable. ¿Cuántas matrices satisfacen estas condiciones?.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item \begin{enumerate}
\item Sea $A\in M_3(\RR)$ tal que $\tr A=-4$. Calcular los autovalores de $A$
sabiendo que los de $A^2+2A$ son $-1$, $3$ y $8$.
\item Sea $A\in M_4(\RR)$ tal que $\det A=6$, tiene a $1$ y a $-2$ como
autovalores, y tal que $A-3$ tiene a $-4$ como autovalor. Determinar los
restantes autovalores de $A$
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A\in M_n(k)$. Mostrar que $A$ y $A^t$ tienen los mismos autovalores.
Mostrar con un ejemplo que no sucede lo mismo con los autovectores.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determinar los autovalores y autovectores de 
  \[
  D:f\in C^\infty(\RR)\mapsto f'\in C^\infty(\RR).
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{enumerate}
\item Sea $f\in\End(V)$ un proyector de un espacio vectorial de dimensión finita
$V$ tal que $\dim\im f=s$. Determinar su polinomio característico, y mostrar que
es diagonalizable.
\item Sea $f\in\End(V)$ un endomorfismo nilpotente de índice de nilpotencia $l$.
Determinar su polinomio característico. ¿Cuándo es diagonalizable?
\item Sea $f\in\End(V)$ un endomorfismo de un espacio vectorial real tal que
$f^2+I=0$. Mostrar que $f$ es un automorfismo y que $\dim V$ es par.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Un endomorfismo $f\in\End(V)$ de rango $1$ es diagonalizable sii $\ker
f\cap \im f=0$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item* Sean $A\in M_{m,n}(k)$ y $B\in M_{n,m}(k)$. Mostrar que las matrices de
bloques
  \[
  \begin{pmatrix}
    AB & 0 \\
    B  & 0 
  \end{pmatrix}
  \qquad\text{y}\qquad
  \begin{pmatrix}
    0  & 0 \\
    B  & BA
  \end{pmatrix}
  \]
de $M_{n+n}(k)$ son semejantes. Concluir que
  \[
  \chi_{AB}(t)=\chi_{BA}(t)
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A\in M_n(k)$ diagonalizable y sean $\l_1,\dots,\l_n$ las raices de su
polinomio característico contadas con multiplicidad. Mostrar que $\tr A=\sum
\l_i$ y que $\det A=\prod \l_i$.

\end{ejercicios}

\vspace*{\stretch{1}}

 
\foto{Hamilton}{Sir William Rowan Hamilton\\1805--1865, Irlanda}{%
Hamilton es especialmente recordado por haber descubierto los cuaterniones, la
primer álgebra no conmutativa considerada. Probó, por otro lado, casos
particulares del teorema que ahora llamamos de Cayley-Hamilton.
} 


\vspace*{\stretch{1}}

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% vim: set tw=80 expandtab comments=n\:% formatoptions=tcqr fileencoding=latin1:

