\documentclass[a4paper,fleqn,11pt,oneside]{article}
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\usepackage{multicol}

\Materia[Complementos]{Complementos / Matemática 2\\Matemática 3}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2008}
\Practica{4}
\Titulo{Determinantes}

\def\KK{\mathbb{K}}
\def\NN{\mathbb{N}}
\def\CC{\mathbb{C}}
\def\RR{\mathbb{R}}
\let\a\alpha
\DeclareMathOperator{\rank}{rk}

\begin{document}
\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{enumerate}
\item Sea $A=(a_{ij})\in M_6(k)$. ¿Con qué signos aparecen los siguientes
monomios en el desarrollo de $\det A$?
  \begin{enumerate}
  \item $a_{23}\cdot a_{31}\cdot a_{42}\cdot a_{56}\cdot a_{14}\cdot a_{65}$;
  \item $a_{32}\cdot a_{43}\cdot a_{14}\cdot a_{51}\cdot a_{66}\cdot a_{25}$.
  \end{enumerate}
\item Sea $A=(a_{ij})\in M_4(k)$. Escribir todos los términos de $\det A$ que
poseen el factor $a_{23}$ y que tienen signo $+$.
\item Sin calcular el determinante, calcular los coeficientes de $X^4$ y $X^5$
en 
  \[
  \det\begin{pmatrix}
        2X & X & 1 & 2 \\
        1 & X & 1 & -1 \\
        3 & 2 & X & 1 \\
        1 & 1 & 1 & X
      \end{pmatrix}.
  \]
\item Sin calcular el determinante, calcular los coeficientes de $a^6$ y $b^6$ 
en 
  \[
  \det\begin{pmatrix}
        1 & b & a & 1 & 1 & a  \\
        1 & 1 & b & 1 & a & 1  \\
        1 & 1 & 1 & a & b & 1  \\
        a & 1 & 1 & 1 & 1 & b  \\
        1 & 1 & a & b & 1 & a  \\
        b & a & 1 & 1 & 1 & 1  
  \end{pmatrix}.
  \]
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Calcular los siguientes determinantes:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
  \item $\begin{pmatrix}
                -3 & 2 \\
                4  & 5 
         \end{pmatrix}$
  \item $\begin{pmatrix}
                3 & -2 & 0 \\
                2 & 0 & -2 \\
                0 & 1 & 8
         \end{pmatrix}$
  \item $\begin{pmatrix}
                2 & -1 & 3 \\
                -1 & 1 & -2 \\
                4 & -1 & 5
         \end{pmatrix}$
  \item $\begin{pmatrix}
                2 & 3 & -2 & 5 \\
                4 & 5 & 0 & 6 \\
                2 & 0 & -1 & 7 \\
                6 & 2 & -4 & 8 
         \end{pmatrix}$
  \item $\begin{pmatrix}
                0 & 3 & -2 & -2 & -4 \\ 
                1 & 4 & -5 & 4 & -4 \\ 
                2 & 0 & 1 & 5 & 1 \\ 
                1 & 1 & -4 & 5 & -2 \\ 
                4 & -2 & 1 & 5 & -1
         \end{pmatrix}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A=(a_{ij})\in M_n(k)$ una matriz triangular superior. Mostrar que
$\det A=\prod_{i=1}^na_{ii}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{enumerate}
\item Sean $A\in M_n(k)$, $B\in M_m(k)$ y $C\in M_{n,m}(k)$, y sea
$M=\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$ la matriz de bloques. Mostrar
que $\det M=\det A\cdot\det B$.
\item Sea $l\geq1$, $n_1,\dots,n_l\geq1$, y $A_i\in M_{n_i}(k)$ si $1\leq i\leq
l$. Mostrar que
  \[
  \det\begin{pmatrix}
         A_1 & 0   & 0   &  \dots & 0   \\
         0   & A_2 & 0   &  \dots & 0   \\
         0   & 0   & A_3 &  \dots & 0   \\
         \hdotsfor{5}                   \\   
         0   & 0   & 0   & \dots & A_l
       \end{pmatrix}
     = \prod_{i=1}^l\det A_i.
  \]
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Calcular los determinantes de las siguientes matrices:
\begingroup
\columnsep=-3em
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\begin{pmatrix}
            1 &  2 &  3 & \dots &  n    \\
           -1 &  0 &  3 & \dots &  n    \\
           -1 & -2 &  0 & \dots &  n    \\
           \hdotsfor{5}                 \\
           -1 & -2 & -3 & \dots &  0
       \end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}
            0 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1   \\
            1 & 0 & x & \dots & x & x   \\
            1 & x & 0 & \dots & x & x   \\
            \hdotsfor{6}                \\
            1 & x & x & \dots & x & 0
       \end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}
            x & a & a & \dots & a \\
            a & x & a & \dots & a \\
            a & a & x & \dots & a \\
            \hdotsfor{5}          \\
            a & a & a & \dots & x
       \end{pmatrix}$
\item $\begin{pmatrix}
            2 & 1 & 0 & \hdotsfor{6} \\
            1 & 2 & 1 & 0 & \hdotsfor{5} \\
            0 & 1 & 2 & 1 & 0 & \hdotsfor{4} \\
            \dots & 0 & 1 & 2 & 1 & \hdotsfor{4} \\
            \hdotsfor{2} & 0 & 1 & 2 & 1 & \hdotsfor{3} \\
            \hdotsfor{9}                  \\
            \hdotsfor{4} & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\
            \hdotsfor{5} & 0 & 1 & 2 & 1 \\
            \hdotsfor{6} & 0 & 1 & 2 
       \end{pmatrix}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\endgroup

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Calcular el determinante de la matrix
  \[
  \begin{pmatrix}
     t  &  0 &  0 & \dots &  0 &  0 & a_0 \\
     -1 &  t &  0 & \dots &  0 &  0 & a_1 \\
     0  & -1 &  t & \dots &  0 &  0 & a_2 \\
     0  &  0 & -1 & \dots &  0 &  0 & a_3 \\
     \hdotsfor{7} \\
     0  &  0 &  0 & \dots & -1 &  t & a_{n-2} \\
     0  &  0 &  0 & \dots &  0 & -1 & t+a_{n-1} \\
  \end{pmatrix}
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A=(a_{ij})\in M_n(\RR)$ tal que $a_{ij}\leq0$ si $i\neq j$ y
$\sum_{j=1}^na_{ij}>0$. Mostrar que $\det A > 0$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{enumerate}
\item Sean $\a_1,\dots,\a_n\in k$, y 
  \[
  A=\begin{pmatrix}
      1 & 1 & \dots && 1 \\
      \a_1 & \a_2 & \dots && \a_n \\
      \a_1^2 & \a_2^2 & \dots && \a_n^2 \\
      \hdotsfor{5} \\
      \a_1^{n-1} & \a_2^{n-1} & \dots && \a_n^{n-1} 
    \end{pmatrix}.
  \]
Muestre que
  \(
  \det A=\prod_{i<j}(\a_i-\a_j).
  \)
\item Calcular
\begingroup
\columnsep=-6.5em
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\det\begin{pmatrix}
                   1 & 1 & 1 & 1 \\
                   a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\
                   a^3 & b^3 & c^3 & d^3 \\
                   a^4 & b^4 & c^4 & d^4 
                 \end{pmatrix}$
\item $\det\begin{pmatrix}
                   1+a & 1+b & 1+c & 1+d \\
                   1+a^2 & 1+b^2 & 1+c^2 & 1+d^2 \\
                   1+a^3 & 1+b^3 & 1+c^3 & 1+d^3 \\
                   1+a^4 & 1+b^4 & 1+c^4 & 1+d^4 
           \end{pmatrix}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\endgroup
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A\in M_n(k)$.
\begin{enumerate}
\item Mostrar que $\rank A\geq s$ sii $A$ posee un menor $s\times s$ con
determinante no nulo.
\item Mostra que $\rank A$ es el mayor entero $s$ tal que $A$ posee un menor
$s\times s$ con determinante no nulo.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A\in M_n(k)$ inversible. Calcular $\det(\mathrm{adj\ }A)$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item \begin{enumerate}
\item Si $A\in M_n(k)$ es antisimetrica y $n$ es impar, mostrar que $\det A=0$.
\item Si $A\in M_n(k)$ es ortogonal, es decir, si $A\cdot A^t=I\!d$, mostrar que
es $\det A=\pm 1$.
\end{enumerate}

\end{ejercicios}

\vspace*{\stretch{1}}

\foto{Hamilton}{Sir William Rowan Hamilton\\1805--1865, Irlanda}{%
Hamilton es especialmente recordado por haber descubierto los cuaterniones, la
primer álgebra no conmutativa considerada. Probó, por otro lado, casos
particulares del teorema que ahora llamamos de Cayley-Hamilton.
} 

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% vim: set tw=80 expandtab comments=n\:% formatoptions=tcqr fileencoding=latin1:

