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\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\overfullrule5pt

\Materia[Complementos]{Complementos / Matemática 2\\Matemática 3}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2008}
\Practica{3}
\Titulo{Bases, cambios de base y matrices}


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\newcommand\KK{\mathbb{K}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\let\l\lambda
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\newcommand\lin[1]{\langle#1\rangle}
\def\smallpmatrix#1{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)}

\begin{document}
\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%
\item En contrar las coordenadas de $v\in V$ respecto de la base~$B$ en los
siguientes casos:
\begin{enumerate}

\item $V=k^n$, $v=(x_1,\dots,x_n)$, $B$~la base canónica.

\item $V=\RR^3$, $v=(1,2,-1)$, $B=\{(1,2,-1),(0,1,1),(0,0,2)\}$.

\item $V=\RR^3$, $v=(1,-1,2)$, $B=\{(1,2,-1),(2,1,3),(1,3,2)\}$.

\item $V=\RR^3$, $v=(x_1,x_2,x_3)$, $B=\{(1,2,-1),(2,1,3),(1,3,2)\}$.

\item $V=\RR[X]_3$, $v=2X^2-X^3$, $B=\{3, 1+X,X^2+5,X^3+X^2\}$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%
\item Calcular la matriz de cambio de base $C(B,B')$ en los siguientes casos:
\begin{enumerate}

\item $V=\RR^2$, $B=\{(1,1),(1,2)\}$, $B'=\{(-1,3),(2,5)\}$.

\item $V=\RR^3$, $B=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}$,
$B'=\{(1,1,1),(2,0,1),(1,1,3)\}$.

\item $V=\RR[X]_2$, $B=\{(3,1+X,X^2\}$, $B'=\{1,X+3,X^2+2\}$.

\item $V=\RR[X]_3$, $B=\{1,X,X^2,X^3\}$, $B'=\{1,1+X,(1+X)^2,(1+X)^3\}$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un $k$-espacio vectorial y sean $B_1$, $B_2$ y $B_3$ tres bases
de~$V$.
\begin{enumerate}

\item Se tiene que $C(B_1,B_3) = C(B',B'')C(B,B')$. 

\item La matrix $C(B_1,B_2)$ es inversible.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $M=\smallpmatrix{1&0&1\\1&1&1\\0&1&1}$ y $B=\{v_1,v_2,v_3\}$ una base
de~$\RR^3$.
\begin{enumerate}

\item Encontrar una base~$B'$ tal que $C(B,B')=M$.

\item Encontrar una base~$B'$ tal que $C(B',B)=M$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{enumerate}

\item Mostrar que existe una única transformación lineal $f:\RR^2\to\RR^2$ tal
que $f(1,1)=(-5,3)$ y $f(-1,1)=(5,2)$. Determinar $f(5,3)$ y $f(-1,2)$.

\item ¿Existe una transformación lineal $f:\RR^2\to\RR^2$ tal que
$f(1,1)=(2,6)$, $f(-1,1)=(2,1)$ y $f(2,7)=(5,3)$?

\item Encontrar todos los $a\in\RR$ para los que existe una transformación
lineal $f:\RR^3\to\RR^3$ que satisface que $f(1,-1,1)=(2,a,-1)$,
$f(1,-1,2)=(a^2,-1,1)$ y $f(1,-1,-2)=(5,-1,-7)$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $f:\RR^3\to\RR^4$ tal que $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,x_1+x_3,0,0)$ y
$g:\RR^4\to\RR^2$ tal que $g(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1-x_2,2x_1-x_2)$. Determinar la
imagen y el núcleo de los morfismos $f$, $g$ y $g\circ f$. Decidir si se trata
de monomorfismos, epimorfismos o isomorfismos.

%%%%%%%%%%%%%
\item Determinar si existe---y en ese caso, encontrar explícitamente---una
transformación lineal $f:\RR^3\to\RR^4$ tal que $\im f=S$ y $\ker f=T$ en cada
uno de los siguientes casos:
\begin{enumerate}

\item $S=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\RR^4:x_1+x_2-x_3+2x_4=0\}$, $T=\lin{(1,2,1)}$.

\item $S=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\RR^4:x_1+x_2=0, x_3+x_4=0\}$,
$T=\lin{(1,-2,1)}$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%
\item En cada uno de los siguientes casos, determine una transformación lineal
$f:\RR^3\to\RR^3$ que satisfaga las condiciones dadas:
\begin{enumerate}

\item $(1,1,0)\in\ker f$, $\dim\im f=1$.

\item $\ker f\cap\im f=\lin{(1,1,2)}$.

\item $f\neq0$, $\ker f\subset\im f$.

\item $f\neq0$, $f\circ f=0$.

\item $f\neq\id$, $f\circ f=\id$.

\item $\ker f\neq0$, $\im f\neq0$, $\ker f\cap\im f=0$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%
\item Encontrar proyectores $f:\RR^3\to\RR^3$ que satisfagan las siguientes
condiciones:
\begin{enumerate}

\item $\im f=\{(x_1,x_2,x_3)\in\RR^3:x_1+x_2+x_3=0\}$.

\item $\ker f=\{(x_1,x_2,x_3)\in\RR^3:x_1+x_2+x_3=0\}$.

\item $\ker f=\{(x_1,x_2,x_3)\in\RR^2:3x_1-x_3=0\}$, $\im f=\lin{(1,1,1)}$.

\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un $k$-espacio vectorial.
\begin{enumerate}

\item Sea $f:V\to V$ un proyector. Mostrar que $V=\ker f\oplus\im f$. Probar
además que $g=\id-f$ es un también un proyector de~$V$ y determinar su núcleo e
imagen.

\item Sean $S$ y $T$ subespacios de~$V$ tales que $V=S\oplus T$. Entonces existe
un único proyector $f:V\to V$ tal que $S=\ker f$ y $T=\im f$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{enumerate}

\item Sean $U$, $V$ y $W$ tres espacios vectoriales, con bases $B$, $B'$ y
$B''$. Si $f:V\to W$ y $g:W\to U$ son transformaciones lineales, mostrar que
  \[
  |g\circ f|_{B'',B}=|g|_{B'',B'}\,|f|_{B',B}.
  \]

\item Sean $U$ y $W$ espacios vectoriales y sea $f:V\to W$ una transformación
lineal. Si $B$ y $B'$ son bases de~$V$ y $U$ y $U'$ son bases de~$W$, mostrar
que
  \[
  |f|_{U',B'} = C(U,U')\,|f|_{U,B}\,C(B',B).
  \]

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial y sean $B$  y $B'$ dos bases de $V$.
Si $f:V\to V$ es una transformación lineal, mostrar que
  \[
  \tr |f|_{B,B} = \tr |f|_{B',B'}.
  \]

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión~$n$ y sea $f:V\to V$ una
transformación lineal tal que $f^n=0$. Mostrar que existe una base~$B$ de~$V$
tal que 
  \[
  \bigl(|f|_B\bigr)_{i,j} 
    = \begin{cases}
        1, & \text{si $i=j+1$;} \\
        0, & \text{en otro caso.}
      \end{cases}
  \]

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión~$n$ y sea $f:V\to V$ un
proyector. Mostrar que existe un base~$B$ de~$V$ tal que
 \[
 \bigl(|f|_B\bigr)_{i,j} 
    = \begin{cases}
        1, & \text{si $i=j$ y $i\leq\dim\im f$;} \\
        0, & \text{en otro caso.}
      \end{cases}
  \]




\end{ejercicios}

\clearpage

\vspace*{\stretch{1}}

\foto{Hamel}{Georg Karl Wilhelm Hamel\\1877--1954, Alemania}{%
Hamel fue el primero en construir una base de~$\RR$ como espacio vectorial
sobre~$\QQ$.
}

\vspace*{\stretch{1}}

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% vim: set tw=80 expandtab comments=n\:% formatoptions=tcqr fileencoding=latin1:

