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\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\overfullrule5pt

\Materia[Complementos]{Complementos / Matemática 2\\Matemática 3}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2008}
\Practica{2}
\Titulo{Transformaciones lineales}


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\newcommand\KK{\mathbb{K}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\id{\mathsf{id}}
\let\l\lambda
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\newcommand\lin[1]{\langle#1\rangle}
\def\smallpmatrix#1{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)}

\begin{document}
\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%
\item Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales.
\begin{enumerate}
\item $\tr:M_n(k)\to k$.
\item $L_A:B\in M_{n,m}(k)\mapsto AB\in M_{p,m}(k)$, para cada $A\in M_{p,n}(k)$.
\item $\frac d{dx}:f\in C^\infty(\RR)\mapsto f'\in C^\infty(\RR)$ sobre $\RR$.
\item $\mathrm{ev}_a:p\in k[X]\mapsto p(a)\in k$, con $a\in k$.
\item $t:z\in\CC\mapsto \bar z\in\CC$ sobre $\RR$ y sobre $\CC$.
\item $\Im:z\in\CC\mapsto\Im z\in\CC$ sobre $\RR$ y sobre $\CC$.
\item $I:f\in C_\RR([0,1])\mapsto\int_0^1f(x)\,\mathrm dx\in\RR$.
\item $L:C_\RR([0,1])\to C_\RR([0,1])$ con $Lf(x)=\int_0^xf(\xi)\,\mathrm d\xi$.
\item $f:p\in k[X]\mapsto p(X+1) - p(X)\in k[X]$.
\end{enumerate}
Para cada una de ellas describa el núcleo y la imágen.

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\item Sea $f:V\to W$ una tranformación lineal. Mostrar que $f$ es inyectiva sii
siempre que $v_1$,~\dots,~$v_n$ son vectores linealmente independientes, los
vectores $f(v_1)$,~\dots,~$f(v_n)$ también son vectores linealmente
independientes.

%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $f:U\to V$ y $g:V\to W$ transformaciones lineales. Muestre que
\begin{enumerate}
\item $\ker f\subset\ker g\circ f$.
\item $\ker f=\ker g\circ f$ si $\im f\cap\ker g=0$.
\item $\im g\supset\im g\circ f$.
\item $\im g=\im g\circ f$ si $\im f=V$.
\end{enumerate}
Muestre, dando ejemplos, que en general no vale la igualdad ni en~\emph{a)}  ni
en~\emph{c)}.

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\item Si $f:U\to V$ y $g:V\to W$ son transformaciones lineales, mostrar que
  \[
  \dim\ker g\circ f\leq \dim\ker f+\dim\ker g.
  \]

%%%%%%%%%%%%%
\item* Mostrar una función $f:\RR^2\to\RR$ tal que $f(ax)=a f(x)$ para cada
$a\in\RR$ y cada $x\in\RR^2$, pero que no sea lineal.

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\item Si $f$,~$g:V\to V$ son endomorfismos de~$V$, entonces 
  \[
  f(\ker f\circ g)=\ker g\cap\im f.
  \]

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:V\to W$ una tranformación lineal.
\begin{enumerate}

\item Si $H\subset V$ es un subespacio, $\dim f(H) = \dim H-\dim H\cap\ker f$.

\item Si $L\subset W$ es un subespacio, $\dim f^{-1}(L) = \dim L\cap\im
f+\dim\ker f$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $f$,~$g:V\to W$ transformaciones lineales.
\begin{enumerate}

\item Mostrar que $\dim\im(f+g)\leq\dim\im f+\dim\im g$.

\item Mostrar que vale la igualdad sii $\im f\cap\im g=0$ y $\ker f+\ker g=V$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:V\to V$ un endomorfismo de un espacio vectorial $V$. Muestre que
\begin{enumerate}
\item $\im f\subset\ker f$ sii $f^2=0$.
\item $\im f=\ker f$ sii $f^2=0$ y $\dim\im f=\dim\ker f$.
\item $\dim \ker f\cap\im f = \dim \im f - \dim \im f^2$.\\
\emph{Sugerencia:} Considere la aplicación $f:\im f\to\im f^2$.
\item $\ker f\subset \im f$ sii $\dim \ker f = \dim \im f - \dim \im f^2$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $f$,~$g:V\to V$. Si $f\circ g=0$, ¿es cierto que $g\circ f=0$?

%%%%%%%%%%%%%
\item De ejemplos de pares de endomorfismos $f$,~$g:V\to V$ de un espacio
vectorial~$V$ tales que sea
\begin{enumerate}
\item $fg=gf$;
\item $fg\neq gf$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{enumerate}

\item Sean $f$, $g:V\to W$ y $h:W\to V$ transformaciones lineales tales que $f\circ
h=\id_W$ y $h\circ f=\id_V$. Entonces $h$ es inversible y $h^{-1}=f=g$.

\item Si $f:U\to V$ y $g:V\to W$ son transformaciones lineales inversibles,
entonces $g\circ f$ también es inversible y $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ
g^{-1}$.

\item Sean $f$,~$g:V\to V$ dos endomorfismos de~$V$. Entonces $f$ y $g$ son
inversibles sii $f\circ g$ y $g\circ f$ son inversibles.

\item Sean $f$,~$g:V\to V$ dos endomorfismos de~$V$. Si $V$ tiene dimensión
finita y $f\circ g=\id_V$, entonces $f$ y $g$ son inversibles y $f^{-1}=g$.

De un ejemplo para mostrar que esta afirmación no es válida si eliminamos la
hipótesis de que $V$~tenga dimensión finita.

\item Sea $f:V\to V$ una tranformación lineal. Entonces $f$ es inversible sii
siempre que $v_1$,~\dots,~$v_n$ son $n$ vectores linealmente independientes
resulta que $f(v_1)$,~\dots,~$f(v_n)$ también son linealmente independientes.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%
\item Si $n$,~$m\geq1$, hay un isomorfismo $k^{nm}\cong M_{m,n}(k)$.

%%%%%%%%%%%%%
\item Si $V$ y $W$ son espacios vectoriales de dimensión finita de la misma
dimensión, entonces $V\cong W$.

%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales y sea $U\subset V$ un subespacio. Sea
además $f:U\to W$ una transformación lineal. Mostrar que $f$ puede extenderse a
todo~$V$ de forma que la extensión sea lineal. Esto es, mostrar que existe una
tranformación lineal $\bar f:V\to W$ tal que $\bar f|_U=f$.


\end{ejercicios}

\clearpage

\vspace*{\stretch{1}}

\foto{Cayley}{Arthur Cayley\\1821--1895, Inglaterra}{%
Cayley fue el primero en considerar lás álgebras de matrices. 
}

\vspace*{\stretch{1}}

\end{document}
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% vim: set tw=80 expandtab comments=n\:% formatoptions=tcqr fileencoding=latin1:

