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\documentclass[a4paper,oneside,fleqn,10pt]{article}
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\overfullrule5pt

\Materia[Complementos]{Complementos / Matemática 2\\Matemática 3}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2008}
\Practica{1}
\Titulo{Espacios vectoriales, generación, independencia lineal}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand\KK{\mathbb{K}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\let\l\lambda
\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
\newcommand\lin[1]{\langle#1\rangle}
\def\smallpmatrix#1{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)}

\begin{document}
\maketitle

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Espacios vectoriales}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial sobre $k$. Mostrar las siguientes afirmaciones:
\begin{multicols}{2}
  \begin{ejitems}
  \item $0\cdot v = 0, \quad \forall v\in V$;
  \item $\l\cdot0 = 0, \quad \forall \l\in k$;
  \item $(-1)\cdot v=-v, \quad \forall v\in V$;
  \item $-(-v)=v, \quad \forall v\in V$;
  \item $\l\cdot v = 0 \Rightarrow \l=0\vee v=0$;
  \item $-0 = 0$.
  \end{ejitems}
\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\label{ej:funciones:k}\begin{ejitems}
\item Sea $X$ un conjunto no vacío. Sea $k^X=\{f:X\to k\}$ el conjunto de todas
las funciones de $X$ a $k$. Mostrar que las operaciones
  \begin{gather*}
  (f+g)(x)=f(x)+g(x) \\
  (\l \cdot f)(x) = \l f(x)
  \end{gather*}
hacen de $k^X$ un espacio vectorial sobre $k$. 

\item ¿Bajo que condiciones es $k^X$ de dimensión finita? Cuando se
cumplen, encuentre una base.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X\subset\RR$ un abierto no vacío. Muestre que los siguientes
conjuntos son subespacios vectoriales de~$\RR^X$ sobre $\RR$.
  \begin{ejitems}
  \item $C^\infty(X)=\{f:X\to\RR:\text{$f$ es infinitamente diferenciable}\}$;
  \item $\RR^X$;
  \item $C^0(X)=\{f:X\to\RR:\text{$f$ es continua}\}$;
  \item $L=\{f\in C^1(X): \forall x\in X, f'(x)=f(x)\}$;
  \item $C^0(X)=\{f:X\to\RR:\text{$f$ es derivable}\}$;
  \item $V(x_0)=\{f\in C^1(X): \forall x\in X, f(x_0)=3f'(x_0)\}$ para $x_0\in
  X$.
  \end{ejitems}
Determine todas las inclusiones entre estos espacios.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto no vacío, $V$ un espacio vectorial sobre $k$ y
consideremos el conjunto $V^X=\{f:X\to V\}$ de todas las funciones de $X$ en $V$.
\begin{ejitems}

\item Mostrar que es posible definir sobre $V^X$, imitando lo hecho en el
ejercicio~\ref{ej:funciones:k}, operaciones de suma y de producto
por elementos de $k$ de forma natural, de manera de que $V^X$ resulte, con
respecto a esas operaciones, un espacio vectorial sobre $k$.

\item Si $Y\subset X$ es un subconjunto no vacío, ¿puede verse a $V^Y$ como
subespacio de $V^X$?

\item Si $W\subset V$ es un subespacio vectorial, ¿puede verse a $W^X$ como
subespacio de $V^X$?

\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A\in M_{n,m}(k)$ una matrix $n\times m$ con coeficientes en $k$ y
sea 
  \[
  S=\{x\in k^m:Ax=0\}
  \]
el conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo asociado a~$A$. 
Muestre que $S$ es un subespacio vectorial de $k^m$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $S$ y $T$ subespacios de un $k$-espacio vectorial $V$.
\begin{ejitems}
\item $S\cap T$ es un subespacio de $V$.
\item* Si $S\cup T$ es un subespacio de $V$ entonces $S\subset T$ ó $T\subset S$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Decidir cuales de los siguientes subconjuntos $S$ son sub-$k$-espacios de $V$
\begin{ejitems}
\item $S=\{v\in\RR^3: v=a\cdot(1,0,0)+b\cdot(1,1,1), \text{ con $a$,
$b\in\RR$}\}$, $V=\RR^3$, $k=\RR$;
\item $S=\{ai:a\in\RR\}$, $V=\CC$, $k=\RR$;
\item $S=\{ai:a\in\RR\}$, $V=\CC$, $k=\CC$;
\item $S=\{f\in k[X]:f=0 \vee \deg f\geq 2\}$, $V=k[X]$;
\item $S=\{f\in k[X]:f=0 \vee \deg f\leq 5\}$, $V=k[X]$;
\item $S=\{M\in M_{4,4}(k):M^t=M\}$, $V=M_{4,4}(k)$;
\item $S=\{M\in M_{4,4}(k):\tr M=0\}$, $V=M_{4,4}(k)$;
\item $S=\{f\in C^\infty(\RR):f''(1)=f(2)\}$, $V=\RR^\RR$, $k=\RR$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Mostrar que los siguientes conjuntos no son sub-$\RR$-espacios vectoriales 
de~$\RR^3$:
\begin{ejitems}
\item $\{(x,y,z)\in\RR^3:x+y+z=1\}$.
\item $\{(x,y,z)\in\RR^3:x^2+y^2+z^2=1\}$.
\item $\{(x,y,z)\in\RR^3:x^2+y^2-z^2<0\}$.
\item $\{(x,y,z)\in\RR^3:xyz=0\}$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V=\RR^+$, y consideremos la operación $+$ definida sobre $V$ por 
  \[
  +:(u,v)\in V\times V\mapsto uv\in V,
  \]
donde $uv$ es el \emph{producto} usual calculado en $\RR^+$, y la acción de $\RR$
sobre $V$ dada por
  \[
  \cdot:(\l,v)\in\RR\times V\mapsto v^\l\in V.
  \]
Muestre que $(V,+,\cdot)$ es un $\RR$-espacio vectorial.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Conjuntos generadores}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Encontrar al menos tres sistemas de generadores del subespacio
  \[
  S=\lin{(1,-1,2,1),(3,1,0,-1),(1,1,-1,-1)}\subset\RR^4.
  \]
\item ¿$(2,1,3,5)$ está en $S$?
\item ¿Es $S\subset\{x\in\RR^4:x_1-x_2-x_3=0\}$?
\item ¿Es $\{x\in\RR^4:x_1-x_2-x_3=0\}\subset S$?
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determine dos sistemas de generadores para cada uno de los siguientes
espacios vectoriales:
\begin{ejitems}
\item $k^n$ sobre $k$;
\item $k[X]_n=\{f\in k[X]: f=0\vee\deg f\leq n\}$ sobre $k$;
\item $k[X]$ sobre $k$;
\item $\CC^n$, con $k=\RR$;
\item $\{(x,y,z)\in\RR^3:x+y-z=0, x-y=0\}$, con $k=\RR$;
\item $\{(x,y,z)\in\RR^3:x+y-z=0, x-y=0\}$, con $k$ arbitrario;
\item $\{f\in k[X]_4:f(1)=0, f(2)=f(3)\}$, con $k=\QQ$;
\item $\{f\in C^\infty(\RR):f'''=0\}$, con $k=\RR$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $X$ un conjunto no vacío.
\begin{ejitems}
\item Si $X$ es finito, determine un sistema de generadores para $k^X$.
\item Sea 
  \[
  k^X_0=\{f\in k^X:\text{existe $Y\subset X$ finito tal que $f|_{X\setminus Y}$ es
  constante}\},
  \]
el conjunto de las funciones sobre $X$ que son constantes fuera de un conjunto
finito.

Encuentre un sistema de generadores para $k^X_0$.
\item* Si $X$ es finito, y $V$ es un $k$-espacio vectorial, determine un sistema
de generadores para $V^X$.
\item* ¿Puede encontrar un sistema de generadores para $k^\NN$?
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Dependencia lineal y bases}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item En este ejercicio todos los espacios vectoriales son reales.
Decidir si los siguientes conjuntos son linealmente independientes o no.
En caso no serlo, determine que elementos pueden eliminarse de manera que
el conjunto residual sea linealmente independientes y genere el mismo subespacio
que el conjunto original. Finalmente, complete cada conjunto a una base
del espacio ambiente.
\begin{ejitems}
\item $\{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5)\}$ en $\RR^3$.
\item $\{(1,0,-1),(1,1,2),(0,1,1)\}$ en $\CC^3$.
\item $\{(1,1,2),(1,4,3),(3,3,3),(e,\pi,\sqrt2)\}$ en $\RR^3$.
\item $\{(1,1,1),(1,\alpha,\alpha^2),(1,\beta,\beta^2)\}$ en $\RR^3$ con
$\alpha,\beta\in\RR$.
\item $\{(1,1,1,1),(1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3),(1,\beta,\beta^2,\beta^3)\}$ 
en $\RR^4$ con $\alpha,\beta,\gamma\in\RR$.
\item $\{(\frac12(X-1)(X-2),(X-1)(X-3),(X-2)(X-3)\}$ en $\RR[X]_2$.
\item $\{
          \smallpmatrix{1 & 1\\ 1& 1},
          \smallpmatrix{0 & i\\ 1& i },
          \smallpmatrix{0 & i\\ 0& 0},
          \smallpmatrix{1 & 1\\ 0& 1}
        \}$ en $M_4(\CC)$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determinar todos los $\lambda\in k$ de manera que los siguientes conjuntos
resulten linealmente independientes:
\begin{ejitems}
\item $\{(1,2,\lambda),(1,1,1),(0,1,1-\lambda)\}$ en $\RR^3$.
\item $\{\lambda X^2+X,-X^2+\lambda , \lambda ^2X\}$ en $\RR[X]_4$.
\item $\{\smallpmatrix{1&\lambda \\-1&2},
        \smallpmatrix{\lambda &1\\0&2\lambda },
        \smallpmatrix{0&0\\1&0}
        \}$ en $M_{4}(\CC)$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Encuentre bases para los siguientes espacios vectoriales
\begin{ejitems}
\item $V=\{A\in M_{n\times n}(\RR):A=A^t\}$ sobre $\RR$.
\item $V=\{A\in M_{n\times n}(\CC):A=\bar A^t\}$ sobre $\RR$.
\item $V=\{A\in M_{n\times n}(\CC):\tr A=0\}$ sobre $\RR$.
\item $V=\{(a_n)_{n\in\NN_0}\in \RR^{\NN_0}:\forall
n\in\NN_0,a_{n+1}=2a_n\}$ sobre $\RR$.
\item $V=\{(a_n)_{n\in\NN_0}\in \RR^{\NN_0}:\forall
n\in\NN_0,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\}$ sobre $\RR$.
\item $V=\{p\in\RR[X]_n:p(0)=p(1)=0\}$ sobre $\RR$.
\item $V=\{p\in\RR[X]_n:p(0)=p'(1)=0\}$ sobre $\RR$.
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item* Sea $v_i=(a_{i1},\dots,a_{in})\in\RR^n$ si $1\le i\leq n$, y supongamos
que $a_{ij}\le0$ si $i\neq j$, y que $\sum_{j=1}^na_{ij}>0$. Mostrar que
$\{v_i\}_{1\leq i\leq n}$ es una base de $\RR^n$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $F=\{f_i\}_{i\in\NN_0}\subset\RR[X]$ tal que $\deg f_i=i$ si
$i\in\NN_0$. Mostrar que $F$ es una base de $\RR[X]$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\alpha_i\in k$ para $1\leq i\leq n$, y sea 
  \[
  v_i=(1,\alpha_i,\alpha_i^2,\dots,\alpha_i^{n-1})\in k^n.
  \]
Determinar cuando $\{v_1,\dots,v_n\}$ es linealmente independiente en $k^n$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio vectorial sobre $k$.
\begin{ejitems}
\item $\{v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_n\}\subset V$ es linealmente independiente sii
el conjunto $\{v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_n\}$ es linealmente independiente.
\item Si $\lambda\in k\setminus\{0\}$, $\{v_1,\dots,v_i,\dots,v_n\}\subset V$ es
linealmente sii el conjunto $\{v_1,\dots,\lambda v_i,\dots,v_n\}$ es linealmente
independiente.
\item Si $\lambda\in k$, $\{v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_n\}\subset V$ es linealmente
independiente sii el conjunto $\{v_1,\dots,v_i+\lambda v_j,\dots,v_j,\dots,v_n\}$
\end{ejitems}

\end{ejercicios}

\clearpage

\vspace*{\stretch{1}}

\foto{Peano}{Giuseppe Peano\\1858 - 1932, Italia}{%
Giuseppe Peano fue el primero, en 1888, en dar una definición de espacio
vectorial como la que usamos hoy, apoyándose en ideas introducidas en 1844 por
Hermann Günter Grassmann que habían permanecido prácticamente ignoradas hasta
entonces debido a la obscuridad de la exposición hecha por Grassmann.

Es muy conocido, además, por la axiomatización de la aritmética elemental que
presentó en su artículo \emph{Arithmetices principia, nova methodo exposita} de
1889, por su descubrimiento de 1890 de curvas que cubren el plano.} 

\vspace*{\stretch{1}}

\end{document}
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