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\Materia[Complementos]{Complementos / Matemática 2\\Matemática 3}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2008}
\Titulo{Segundo parcial}

\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\Id{\mathsf{Id}}
\DeclareMathOperator\im{im}
\DeclareMathOperator\coker{coker}
\DeclareMathOperator\Mat{M}
\DeclareMathOperator\tr{tr}
\DeclarePairedDelimiter{\lin}{\langle}{\rangle}
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}

\newcommand\smatrix[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)}

\begin{document}

\maketitle*

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V=\RR^4$ dotado de su producto interno usual y 
  \[
  S = \{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\RR^4:2x_1+x_2-x_4=x_1+x_2+3x_3=0\}.
  \]
\begin{enumerate}

\item Encuentre $S^\perp$.

\item Determine la proyección ortogonal $p:V\to V$ con imagen~$S$, dando la
matriz de~$p$ con respecto a la base canónica.

\item Encuentre una base ortonormal de~$V$ que diagonalice a~$p$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Encuentre la forma normal de Jordan de la matriz
  \[
  A = \begin{pmatrix}
        3  &  0 &  1 &  0  &  1  &  0 \\
        1  &  3 &  1 &  -1 &  0  &  1 \\
        -1 &  0 &  1 &  0  &  -1 &  0 \\
        1  &  1 &  1 &  1  &  0  &  1 \\
        0  &  0 &  0 &  0  &  2  &  0 \\
        1  &  0 &  1 &  0  &  0  &  2 
      \end{pmatrix}.
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V$ un espacio euclídeo
Sea $f:V\to V$ una aplicación lineal
autoadjunta. Mostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
  \begin{enumerate}[label=\emph{(\roman*)}]
  \item $\lin{f(v),v}\geq0$ para todo $v\in V$;
  \item existe $g:V\to V$ tal que $f=g^*g$;
  \item existe $h:V\to V$ tal que $h^*=h$ y $f=h^2$.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $V=\RR[x]_{\leq2}$ dotado del producto interno dado por
  \[
  \lin{f,g}=\int_0^1fg\,\mathrm{d}x.
  \]
\begin{enumerate}

\item Usando el procedimiento de Gram-Schmidt obtener a partir de la base
$\mathcal{B}=\{1,x,x^2\}$ una base ortonormal para~$V$.

\item Sea $f:p\in V\mapsto p-\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm d x}p\in V$. Determine
la matriz de~$f^*$ en la base~$\mathcal{B}$.

\end{enumerate}

\end{ejercicios}

\end{document}
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