\documentclass[a4paper,oneside,11pt,fleqn]{article}
\usepackage[scale=0.7,top=2cm,bottom=1in]{geometry}
\usepackage[emptyfoot]{practicas}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[absolute]{textpos}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\overfullrule5pt

\Materia[Complementos]{Complementos / Matemática 2\\Matemática 3}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2008}
\Titulo{Primer parcial}

\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\Id{\mathsf{Id}}
\DeclareMathOperator\im{im}
\DeclareMathOperator\coker{coker}
\DeclareMathOperator\Mat{M}
\DeclareMathOperator\tr{tr}

\newcommand\smatrix[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)}

\begin{document}

%\begin{textblock*}{2.5cm}(\paperwidth-3.5cm,1in+\topmargin+\headheight)
%\def\ej#1{\parbox[c][2.448em][c]{2cm}{#1}}
%\noindent
%\begin{tabular}[t]{|l|}
%        \hline
%\ej1 \\ \hline
%\ej2 \\ \hline
%\ej3 \\ \hline
%\ej4 \\ \hline
%\ej5 \\ \hline\hline
%\ej{} \\ \hline
%\end{tabular}
%\end{textblock*}
%
\maketitle*

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A=\smatrix{2&2\\1&3}\in\Mat_2(\CC)$.
\begin{enumerate}

\item Mostrar que $A$ es diagonalizable y encontrar una matriz inversible
$C\in\Mat_2(\CC)$ tal que $CAC^{-1}$ sea diagonal.

\item Considere la transformación lineal
  \[
  f:X\in\Mat_2(\CC)\mapsto AX\in\Mat_2(\CC).
  \]
¿Es diagonalizable? En caso de serlo, encuentre explícitamente una base
de~$\Mat_2(\CC)$ de autovectores de~$f$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $n\in\NN$ y sea $h:\Mat_n(\CC)\to\Mat_n(\CC)$ la aplicación lineal tal
que
  \[
  h(A) = 4A-2\tr(A)\Id_n
  \]
para cada $A\in\Mat_n(\CC)$. Muestre que:
\begin{enumerate}

\item Si $n=2$, entonces $\Mat_2(\CC)=\ker h\oplus\im h$.

\item Si $n\geq3$, entonces $h$ es un isomorfismo. Determinar, en ese caso, la
aplicación inversa~$h^{-1}$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:V\to V$ un endomorfismo de un $k$-espacio vectorial~$V$. Supongamos
que $f$ es una \emph{involución}, esto es, que $f\circ f=\Id_V$. Muestre que:
\begin{enumerate}

\item $f$ es un isomorfismo.

\item $V=\im(\Id_V+f)\oplus\im(\Id_V-f)$ y $f$ es diagonalizable.

\item Si $g=(f+\Id_V)/2$, entonces $g$ es un proyector de~$V$. Determinar el
núcleo y la imágen de~$g$. 

\item Recíprocamente, mostrar que si $g:V\to V$ es un proyector, entonces existe
una involución $f:V\to V$ tal que $g=(f+\Id_V)/2$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Calcule el determinante
  \[
  \begin{vmatrix}
   0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
   1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
   2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
   3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
   4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
   5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0
  \end{vmatrix}.
  \]



\end{ejercicios}

\end{document}
% vim: tw=80 fileencoding=latin1:
