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\Materia[Complementos]{Complementos / Matemática 2\\Matemática 3}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2008}
\Titulo{Primer parcial -- Recuperatorio}

\newcommand\CC{\mathbb{C}}
\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\Id{\mathsf{Id}}
\DeclareMathOperator\im{im}
\DeclareMathOperator\coker{coker}
\DeclareMathOperator\Mat{M}
\DeclareMathOperator\tr{tr}

\newcommand\smatrix[1]{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)}

\begin{document}

\maketitle*

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A=\begin{pmatrix*}[r]
               1 & -2 & -4 \\
               3 & 1 & -2 \\
               -2 & 0 & 2
             \end{pmatrix*}\in\Mat_3(\CC)$.
Mostrar que $A$ es diagonalizable y encontrar una matriz inversible
$C\in\Mat_3(\CC)$ tal que $C^{-1}AC$ sea diagonal.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $A=\begin{pmatrix*}[r] 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix*}$ y sea $q\in\CC$
tal que $q\neq0$.
\begin{enumerate}

\item Considere la aplicación lineal
  \[
  L:B\in\Mat_2(\CC)\mapsto AB-(1+q)BA\in\Mat_2(\CC).
  \]
Muestre que $L$ es un isomorfismo. ¿Es diagonalizable?

\item Determine un proyector $p:\Mat_2(\CC)\to\Mat_2(\CC)$ tal que
$\im p=\im (L+q\Id)$ y $\ker p$ es el espacio de autovectores de~$L$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que
  \[
  \begin{vmatrix*}[r]
  1 & 2 & -1 & 3 & 1 \\
  2 & -1 & 1 & -2 & 3 \\
  3 & 1 & 0 & 2 & -1 \\
  5 & 1 & 2 & -3 & 4 \\
  -2 & 3 & -1 & 1 & -2 
  \end{vmatrix*} = - 32.
  \]

\end{ejercicios}

\end{document}
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