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\Materia{Álgebra II}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2007}
\Titulo{Segundo parcial}

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\DeclareMathOperator\Br{Br}
\DeclareMathOperator\End{End}
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\def\dash---{\thinspace---\hskip.16667em\relax}
\newcommand\nbd{\nobreakdash}

\begin{document}

\maketitle*

\begin{ejercicios}

%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo conmutativo local con ideal maximal~$\m$ y sea $k=A/\m$
el cuerpo residual. Recordemos el lema de Nakayama:
\begin{quotation}
Si $N$ es un $A$-módulo finitamente generado y $N'\subset N$ es un submódulo tal
que $N=\m N+N'$, entonces $N'=N$.
\end{quotation}
Sea $M$ un $A$-módulo finitamente generado y pongamos $\bar
M=M/\m M$. Entonces $\bar M$ es un $k$-espacio vectorial de dimensión finita.
Sea $n=\dim_k\bar M$.
\begin{enumerate}
\item Si $\B=\{u_1,\dots,u_n\}\subset M$ es tal que $\{\bar u_1,\dots,\bar u_n\}$
es una base de~$\bar M$, entonces $\B$ es un conjunto generador minimal de~$M$.
\item Recíprocamente, si $\{u_1,\dots,u_k\}$ es un conjunto generador minimal
de~$M$, entonces $\{\bar u_1,\dots,\bar u_k\}$ es un base de~$\bar M$.
\end{enumerate}

\noindent Notemos que estas dos afirmaciones implican que todos los conjuntos
generadores minimales de~$M$ tienen $n$~elementos.

\begin{enumerate}[resume]
\item Si $\{u_1,\dots,u_n\}$ y $\{v_1,\dots,v_n\}$ son dos conjuntos generadores
minimales de~$M$ y $u_i=\sum_{j=1}^na_{i,j}v_j$ para cada $i\in\{1,\dots,n\}$,
entonces la matriz~$(a_{i,j})\in\M_n(A)$ es inversible.

\item Si $M$ es proyectivo, entonces es libre.

\item Si $M$ es proyectivo y $A$ es además un dominio con cuerpo de fracciones $K$,
entonces $\dim_K K\ot_AM=n$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $A$ es un anillo y $M$ un $A$-módulo, decimos que $M$ es
\emph{finitamente presentado} si existe una sucesión exacta
  \[\xymatrix{
  A^m \ar[r]
    & A^n \ar[r]
    & M \ar[r]
    & 0
  }\]

\begin{enumerate}
\item Sea $\phi:A\to B$ un morfismo de anillos conmutativos y supongamos que $B$
es $A$-playo como $A$-módulo. Sean $M$ y $N$ dos $A$-módulos. Si $M$~es
finitamente presentado, entonces hay un isomorfismo natural
  \[
  \hom_A(M,N)\ot_A B\cong \hom_B(M\ot_AB,N\ot_AB).
  \]

\item Sea $A$ un anillo conmutativo y $\p\in\Spec A$. Si $M$ y $N$ son dos
$A$\nbd-mó\-dulos y $M$ es finitamente presentado, entonces hay un isomorfismo natural
  \[
  \hom_A(M,N)\ot_AA_\p \cong \hom_{A_\p}(M_\p,N_\p).
  \]

\item Sea $A$ un anillo conmutativo y $M$ un $A$\nbd-módulo finitamente
presentado. Entonces $M$ es $A$-proyectivo sii $M_\p$ es un $A_\p$\nbd-módulo
libre para cada ideal primo~$\p\in\Spec A$.

\begin{Indicacion}
Muestre primero que si en el diagrama de $A$-módulos
  \begin{equation}\label{eq:suc}
  \xymatrix{
  0 \ar[r]
    & N' \ar[r]^-f
    & N \ar[r]^-g
    & N'' \ar[r]
    & 0
  }\end{equation}
$g\circ f=0$ y para todo ideal primo~$\p$, 
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r]
    & N'_\p \ar[r]^-{f_\p}
    & N_\p \ar[r]^-{g_\p}
    & N''_\p \ar[r]
    & 0
  }\]
es exacta, entonces \eqref{eq:suc}~es exacta.
\end{Indicacion}

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%
\item\begin{ejitems}
\item Sea $A$ un anillo conmutativo. Entonces $A[X]$ es un dominio de ideales
principales sii $A$ es un cuerpo.
\item Sea $A$ es un anillo conmutativo que es un domino de integridad. Si $a$,
$b\in A$, decimos que un elemento $m\in A$ es un \emph{mínimo común múltiplo} de
$a$ y $b$ si
  \begin{quotation}
  \noindent $m$ es divisible por $a$ y por $b$ y si $x\in A$ es un elemento
  divisible por $a$ y por $b$, entonces $x$ es divisible por $m$.
  \end{quotation}
\begin{enumerate}
\item Sean $a$, $b\in A$. Entonces $a$ y $b$ poseen un mínumo común múltiplo sii
el ideal $(a)\cap (b)$ es principal. En ese caso, todo elemento $m\in A$ tal que
$(a)\cap (b)=(m)$ es un mínimo común múltiplo de $a$ y $b$.
\item Si $a$, $b\in A$ poseen un mínimo común múltiplo, entonces $a$ y $b$ poseen
un máximo común divisor en $A$.
\end{enumerate}
\end{ejitems}

%%%%%%%%%%
\item Sea $A$ un anillo.
\begin{ejitems}
\item Sea $M''$ un $A$-módulo izquierdo playo y consideremos una sucesión exacta
corta de $A$-módulos izquierdos
  \begin{equation}\label{eq:suc:2}
  \xymatrix{
  0 \ar[r]
    & M' \ar[r]
    & M \ar[r]
    & M'' \ar[r]
    & 0 
  }\end{equation}
Si $N$ es un $A$-módulo derecho, entonces
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r]
    & N\ot_AM' \ar[r]
    & N\ot_AM \ar[r]
    & N\ot_AM'' \ar[r]
    & 0 
  }\]
es exacta.

\begin{Indicacion}
Considere una sucesión exacta de $A$-módulos derechos
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r]
    & K \ar[r]
    & L \ar[r]
    & N \ar[r]
    & 0 
  }\]
con $L$ libre, ``tensoricela término a término'' con~\eqref{eq:suc:2} y analice
el diagrama resultante.
\end{Indicacion}

\item Si en la sucesión exacta corta de $A$-módulos izquierdos
  \[\xymatrix{
  0 \ar[r]
    & M' \ar[r]
    & M \ar[r]
    & M'' \ar[r]
    & 0 
  }\]
$M''$ es playo y o bien $M'$ es playo o bien $M$ es playo, entonces los tres
módulos son playos
\end{ejitems}

\item Sea $S_3$ el grupo simétrico de grado~$3$. Encuentre la descomposición de
Wedderburn de las álgebras de grupo $\RR S_3$ y $\CC S_3$.

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Resoluciones}

Fijemos un anillo $A$. En estos ejercicios consideramos $A$-módulos a
izquierda únicamente.

\begin{ejercicios}

\item\begin{ejitems}
\item Para cada $A$-módulo $M$, existe una sucesión exacta infinita
  \[\xymatrix{
  \cdots \ar[r] 
    & P_2 \ar[r]^-{d^P_2}
    & P_1 \ar[r]^-{d^P_1}
    & P_0 \ar[r]^-{d^P_0}
    & M \ar[r]
    & 0
  }\]
en la que los módulos $P_i$ con $i\in\NN_0$ son proyectivos. Llamamos a toda tal
sucesión una \emph{resolución proyectiva} de $M$.
\item Sean $M$ y $N$ dos $A$-módulos y supongamos que tenemos resoluciones
proyectivas
  \[\xymatrix{
  \cdots \ar[r] 
    & P_2 \ar[r]^-{d^P_2}
    & P_1 \ar[r]^-{d^P_1}
    & P_0 \ar[r]^-{d^P_0}
    & M \ar[r]
    & 0
  }\]
y
  \[\xymatrix{
  \cdots \ar[r]
    & Q_2 \ar[r]^-{d^Q_2}
    & Q_1 \ar[r]^-{d^Q_1}
    & Q_0 \ar[r]^-{d^Q_0}
    & N \ar[r]
    & 0
  }\]
de $M$ y $N$, respectivamente. Sea $f:M\to N$ un morfismo de $A$-módulos.
Entonces existen morfismos $f_i:P_i\to Q_i$ para cada $i\in\NN_0$ tales que
conmuta el diagrama
  \[\xymatrix{
  \cdots \ar[r]
    & P_2 \ar[r]^-{d^P_2} \ar[d]^-{f_2}
    & P_1 \ar[r]^-{d^P_1} \ar[d]^-{f_1}
    & P_0 \ar[r]^-{d^P_0} \ar[d]^-{f_0}
    & M \ar[r] \ar[d]^-{f}
    & 0
    \\
  \cdots \ar[r]
    & Q_2 \ar[r]^-{d^Q_2}
    & Q_1 \ar[r]^-{d^Q_1}
    & Q_0 \ar[r]^-{d^Q_0}
    & N \ar[r]
    & 0
  }\]
\item Conservemos las notaciones de la parte anterior y supongamos que tenemos
otra familia de morfismos $f'_i:P_i\to Q_i$ con $i\in\NN_0$ tales que conmuta el
diagrama
  \[\xymatrix{
  \cdots \ar[r]
    & P_2 \ar[r]^-{d^P_2} \ar[d]^-{f'_2}
    & P_1 \ar[r]^-{d^P_1} \ar[d]^-{f'_1}
    & P_0 \ar[r]^-{d^P_0} \ar[d]^-{f'_0}
    & M \ar[r] \ar[d]^-{f}
    & 0
    \\
  \cdots \ar[r]
    & Q_2 \ar[r]^-{d^Q_2}
    & Q_1 \ar[r]^-{d^Q_1}
    & Q_0 \ar[r]^-{d^Q_0}
    & N \ar[r]
    & 0
  }\]
Entonces existe una sucesión de morfismos $s_i:P_i\to Q_{i+1}$ para cada
$i\in\NN_0$ y un morfismo $s_{-1}:M\to Q_0$ tales que
  \[
  d^Q_{i+1}s_i+s_{i-1}d^P_i = f_i-f'_i,
    \qquad\forall i\geq1
  \]
y
  \[
  d^Q_0s_{-1}=f.
  \]
\end{ejitems}

\item\begin{ejitems}
\item Consideremos un diagrama conmutativo
  \begin{equation}\label{eq:dia1}
  \xymatrix{
  M_1 \ar[r]^-{d^M_1} \ar[d]^-{f_1}
    & M_0 \ar[r]^-{d^M_0} \ar[d]^-{f_0}
    & M_{-1} \ar[d]^-{f_{-1}}
    \\
  N_1 \ar[r]^-{d^N_1}
    & N_0 \ar[r]^-{d^N_0}
    & N_{-1} 
  }\end{equation}
en el que $d^M_0d^M_1=0$ y $d^N_0d^N_1=0$. Definamos
  \begin{align*}
  &H(M)=\frac{\ker d^M_0}{\im d^M_1},
  &
  &H(N)=\frac{\ker d^N_0}{\im d^N_1}.
  \end{align*}
Muestre que el morfismo $f_0$ induce un morfismo 
  \[
  H(f):H(M)\to H(N).
  \]
\item Supongamos que tenemos otro diagrama conmutativo
  \begin{equation}\label{eq:dia2}\xymatrix{
  M_1 \ar[r]^-{d^M_1} \ar[d]^-{f'_1}
    & M_0 \ar[r]^-{d^M_0} \ar[d]^-{f'_0}
    & M_{-1} \ar[d]^-{f'_{-1}}
    \\
  N_1 \ar[r]^-{d^N_1}
    & N_0 \ar[r]^-{d^N_0}
    & N_{-1} 
  }\end{equation}
en el que las filas coinciden con las de~\eqref{eq:dia1}. Supongamos además
que existen morfismos 
  \begin{align*}
  &s_0:M_0\to N_1,
  &
  &s_{-1}:M_{-1}\to N_0
  \end{align*}
tales que
  \begin{align*}
  d^N_1s_0+s_{-1}d^M_0=f_0-f'_0.
  \end{align*}
Muestre que el morfismo $H(f'):H(M)\to H(N)$ inducido por~\eqref{eq:dia2}
coincide con el morfismo $H(f):H(M)\to H(N)$ inducido por~\eqref{eq:dia1}

\end{ejitems}

\end{ejercicios}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{El grupo de Brauer de un cuerpo}

Fijemos un cuerpo $k$ y escribamos $\ot$ en lugar de $\ot_k$. Si $A$ es una
$k$-álgebra, decimos que $A$ es \emph{central} si $\Z(A)=k$ y decimos que $A$ es
\emph{simple} si no posee ideales biláteros propios no nulos.

Recordemos, además, que si $A$ y $B$ son $k$-álgebras, entonces existe una única
estructura de $k$-álgebra sobre el $k$-espacio vectorial $A\ot B$ tal que manera
que
  \[
  a\ot b\cdot a'\ot b'=aa'\ot bb', 
  \qquad\forall a,a'\in A,\, b,b'\in B.
  \]

\begin{ejercicios}

\item Si $x\in A\ot B\setminus0$, llamamos \emph{rango de~$x$} al
menor $n\in\NN$ tal que existe una escritura
  \[
  x=a_1\ot b_1+\dots+a_n\ot b_n
  \] con $a_1$, \dots, $a_n\in A$ y $b_1$, \dots, $b_n\in B$.

Muestre que si $x\in A\ot B\setminus0$ tiene rango $n$ y $a_1$, \dots, $a_n\in
A$ y $b_1$, \dots, $b_n\in B$ son tales que $x=a_1\ot b_1+\dots+a_n\ot b_n$,
entonces el conjunto $\{b_1,\dots,b_n\}$ es $k$-linealmente independiente
en~$B$.  

\item Sea $A$ una $k$-álgebra central. Para toda $k$-álgebra $B$, hay un
isomorfismo $\Z(A\ot B)\cong\Z(B)$. En particular, si $B$ también es central, la
$k$-álgebra $A\ot B$ es central.

\item Si $A$ y $B$ son $k$-álgebras centrales simples, entonces $A\ot B$ es
simple.

\begin{Indicacion}
Suponga que $I\lhd A\ot B$ es un ideal bilátero no nulo en $A\ot B$ y considere
un elemento $x\in I\setminus0$ no nulo de rango mínimo en $I\setminus0$. Digamos
que $x$ tiene rango~$n$ y que $a_1$, \dots, $a_n\in A$ y $b_1$, \dots, $b_n\in
B$ son tales que $x=a_1\ot b_1+\dots+a_n\ot b_n$.

\begin{enumerate}[noitemsep]
\item Como $A$ es simple, $Aa_1A=A$, así que existe un conjunto finito $J$ y elementos
$l_j$, $r_j\in A$ para $j\in J$ tales que $\sum_{j\in J}l_ja_1r_j=1_A$. 
\item Sea $x'=\sum_{j\in J}(l_j\ot1_B)\cdot x\cdot(r_j\ot1_B)$. Es $x'\in I$ y,
por otro lado, para todo $a\in A$, $x'\cdot a\ot1_B=a\ot1_B\cdot x'$. Usando que
$A$ es central, muestre que esto implica que existe $b\in B$ tal que $x'=1_A\ot
b$. 
\item Usando la simplicidad de $B$, ahora, concluya que $1\ot1\in I$, de manera
que $I=A\ot B$.
\end{enumerate}
\end{Indicacion}

\item Si $A$ es una $k$-álgebra central simple, entonces su álgebra opuesta
$A^\op$ también es central simple.

\item Sea $A$ una $k$-álgebra. Si $a$, $b\in A$, consideremos la aplicación
$k$-lineal $\mu_{a,b}:x\in A\mapsto axb\in A$. Muestre que hay un homomorfismo
de $k$-álgebras $\phi:A\ot A^\op\to\End_k(A)$ tal que
  \[
  \phi(a\ot b)=\mu_{a,b}.
  \]
Si $A$ es central simple y tiene dimensión finita, entonces $\phi$ es un
isomorfismo.

\item Para cada $n\in\NN$, la $k$-álgebra $\M_n(k)$ es central simple.

\item Si $A$ y $B$ son $k$-álgebras centrales simples de dimensión finita,
decimos que $A$ y $B$ son \emph{similares} y escribimos $A\sim B$ si existen
$m$, $n\in\NN$ y un isomorfismo de $k$-álgebras
  \[
  A\ot\M_m(k)\cong B\ot\M_n(k).
  \]
Muestre que la relación de similaridad es una relación de equivalencia sobre la
clase de las $k$-álgebras centrales simples de dimensión finita.

Observe que $k\sim\M_n(k)$ para todo $n\in\NN$.

\item Si $A$, $A'$, $B$, $B'$ son $k$-álgebras centrales simples de dimensión
finita y $A\sim A'$ y $B\sim B'$, entonces $A\ot B\sim A'\ot B'$.

\item Sea $\Br(k)$ el conjunto de las clases de equivalencia de $k$-álgebras
centrales simples de dimensión finita con respecto a la relación de similaridad.
Si $A$ es una tal álgebra, notemos $[A]\in\Br(k)$ a su clase de equivalencia.

Entonces $\Br(k)$ es un grupo conmutativo con respecto a la operación 
  \[
  [A]\cdot [B] = [A\ot B].
  \]
El elemento neutro es~$[k]$.
Llamamos a $\Br(k)$ el \emph{grupo de Brauer} de~$k$.

\item Recuerde que una $k$-álgebra simple de dimensión finita es
semisimple\dash---esto fue visto en teoría. Muestre que si $\alpha\in\Br(k)$,
existe una $k$-álgebra central de división de dimensión finita sobre $k$ tal que
$\alpha=[D]$. Además, si $D'$ es otra tal álgebra, entonces $[D]=[D']$ sii
$D\cong D'$.

\item Muestre que:
  \begin{ejitems}
  \item Si $k$ es algebraicamente cerrado, entonces $\Br(k)=0$.
  \item Es $\Br(\RR)\cong\ZZ/2\ZZ$.
  \item Si $k$ es un cuerpo finito, entonces $\Br(k)=0$.
  \end{ejitems}

\end{ejercicios}

\end{document}
% vim: tw=80 fileencoding=latin1:
