\documentclass[a4paper,oneside,fleqn]{article}
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\usepackage[latin1]{inputenc}

\Materia{An\'alisis 1}
\Cuatrimestre{Primer Cuatrimestre --- 2006}
\Practica{3}

\newcommand\RR{\mathbb{R}}
\newcommand\QQ{\mathbb{Q}}
\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}
\newcommand\NN{\mathbb{N}}
\newcommand\abs[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\renewcommand\epsilon\varepsilon
\newcommand\dlim{\lim\limits}

\begin{document}
\maketitle 

\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
  \begin{enumerate}
  \item Si $f(x)=2-2x+x^{3}$, hallar $f'(0)$ y $f'(2)$ usando directamente la definición.
  \item Si $f(x)=\frac x{1+x^{2}}$, hallar $f'(0)$ y $f'(1)$ usando la definición.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Mostrar que $g(x)=x|x|$ es derivable para todo $x\in\RR$, y calcular su
derivada.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Hallar las derivadas de las funciones:
  \begin{enumerate}
  \item $f_1(x) = \begin{cases}
                    x, & \text{si $x<0$;}\\
                    \ln(1+x), & \text{si $x\geq0$;}
                  \end{cases}$
  \item $f_2(x) = \begin{cases}
                    \sin(x^{2}-1) & \text{si $x<-1$;}\\
                    \sqrt{x+1}, & \text{si $x\geq-1$.}
                  \end{cases}$
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
  \begin{enumerate}
  \item Si $f(x)=|x|^3$, calcular $f'$, $f''$ y mostrar que $f'''(0)$ no existe.
  \item Definir una función que sea tres veces derivable pero que no sea derivable
  cuatro veces en $0$.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determinar la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
cada uno de las siguientes funciones en los puntos indicados:
  \begin{enumerate}
  \item $f(x)=x^{3}$ en $x_0=1$ y en $x_1=-1$.
  \item $f(x)=1/x$ en $x_0=1/2$ y en $x_1=1$.
  \end{enumerate}
En cada caso, esbozar el gráfico de la función considerada.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
\begin{enumerate}
  \item Hallar las coordenadas de los puntos de la curva de ecuación
  $y=x^{3}-3x$ en los que la recta tangente tiene pendiente $9$.
  \item Hallar las coordenadas de los puntos de esa misma curva en los que la
  recta tangente tiene la propiedad de pasar por el origen.
  \item Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes que puedan trazarse desde
  el origen a la curva de ecuación $y=-4x^{2}+3x-1$.
  \item Hallar las ecuaciones de la recta tangente y de la normal a la curva
  $y=2+x-x^{3}$ en el punto $(2,-4)$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea
  \[
  f(x) = \begin{cases}
           \frac x{1+e^{1/x}} & \text{si $x\neq0$;} \\
           0, & \text{si $x=0$.}
         \end{cases}
  \]
\begin{enumerate}
  \item ¿Es $f$ continua en todo $\RR$?
  \item Calcular $f'(x)$ para $x\neq0$.
  \item Analizar la existencia de las derivadas laterales y de la derivada en $x=0$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:\RR\to\RR$ una función par y derivable. Mostrar que 
\begin{enumerate}
  \item $f'(0)=0$.
  \item $f'$ es impar.
\end{enumerate}
¿Qué sucede si $f$ es impar?

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $f$ está definida y es derivable en un entorno de un punto $x_{0}$,
existen funciones $l$ y $r$ definidas en ese entorno tales que $l$ es lineal, se
tiene que $\lim_{x\to  x_{0}}\frac{r(x)}{x-x_{0}}=0$ y, finalmente, $f=l+r$.

Hallar esta descomposición para cada una de las siguientes $f$ en el punto
indicado:
  \begin{enumerate}
  \item $f(x)=x^{3}-2x-1$ en $x_{0}=2$;
  \item $f(x)=-2$ en $x_{0}=10$;
  \item $f(x)=1/x$ en $x_{0}=1$;
  \item $f(x)=ax+b$ en $x_{0}\in\RR$.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Calcular los incrementos y diferenciales de las funciones:
  \begin{enumerate}
  \item $f(x)=2x^{2}-x$ cuando $x=1$ y $\Delta x=0,01$;
  \item $f(x)=\sin x$ cuando $x=\pi/3$ y $\Delta x=\pi/18$.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
\begin{enumerate}
  \item Sabiendo que $\sin 60^\circ=\sqrt{3/2}\simeq0,866025$ y $\cos
  60^\circ=1/2$, hallar los valores aproximados de $\sin 60^\circ3'$ y
  $\sin 60^\circ18'$ sin usar una calculadora.
  \item Hallar un valor aproximado de $\tan 45^\circ4'30".$
  \item Sabiendo que $\log_{10}200\simeq2,30103$, hallar un valor aproximado de
  $\log_{10}200,2$.
  \item Usando la aproximación diferencial, encontrar un valor aproximado de
  $\sqrt[3]{65}$.
  \item Usando aproximación lineal de la función $f(x)=\sqrt{1-x}$,
  estimar los números $\sqrt{0,9}$ y $\sqrt{0,99}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\alpha\in\RR$. Encontrar la aproximación lineal de $(1+x)^{\alpha}$,
y usar este resultado para estimar $1,0002^{50}$, $\sqrt[3]{1,009}$ y
$1,0003^{-15}$. \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Empleando el concepto de diferencial, interpretar el origen de las
siguientes fórmulas aproximadas, válidas para $|b|\ll|a|$:
  \begin{enumerate}
  \item $\displaystyle\sqrt{a^{2}+b}\simeq |a|+\frac b{2|a|}$;
  \item $\displaystyle\sqrt[3]{a^{3}+b}\simeq a+\frac b{3a^{2}}$.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Verificar que se cumple el teorema de Rolle para las siguientes funciones
en los intervalos indicados:
  \begin{enumerate}
  \item $f(x)=x^{2}-3x+2$ en el intervalo $[1,2]$.
  \item $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ en el intervalo $[1,3]$.
  \item $f(x)=\sin^{2}x$ en el intervalo $[0,\pi]$.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Comprobar que entre los ceros de la función $f(x)=\sqrt[3]{x^{2}-5x+6}$ se
encuentra un cero de su derivada.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item La función $f(x)=1-\sqrt[5]{x^{4}}$ se anula en los extremos del segmento
$[-1,1]$. Mostrar que su derivada no se anula en ningún punto de este segmento.
Explicar por qué esto no contradice el teorema de Rolle.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
  \begin{enumerate}
  \item Sea $f(x)=x(x-1)(x-2)(x+5)$. Probar que $f'$ tiene exactamente tres raíces
  reales.
  \item Probar que la ecuación $3x^{5}+15x-8=0$ tiene sólo una raíz real.
  \item Sea $a\in\RR$ y $f:\RR\to\RR$  tal que $f(x)=e^{a^2 x}+x^3+x$ si
  $x\in\RR$. Probar que la ecuación $f(x)=0$ tiene exactamente una solución en el
  intervalo $[-1,0]$.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Comprobar que el teorema de Lagrange es válido para la función
$y=2x-x^{2}$ en el segmento $[0,1]$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Encontrar explícitamente el punto intermedio cuya existencia está
garantizada por el teorema de Cauchy en el caso de las funciones $f(x)=x^{2}$ y $g(x)=x^{3}$
en el segmento $[1,2]$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $f$ y $g$ funciones continuas en $[a,b]$ y derivables en $(a,b)$.
Demostrar las siguientes afirmaciones:
  \begin{enumerate}
  \item Si $f'=0$ en $(a,b)$, entonces $f$ es constante.
  \item Si $f'=g'$ en $(a,b)$, entonces $f(x)=g(x)+c$ donde $c$ es
  una constante.
  \item Si $f'(x)>0$ para todo $x\in(a,b)$, entonces $f$ es estrictamente
  creciente.
  \item Si $f'(x)<0$ para todo $x\in(a,b)$, entonces $f$ es estrictamente decreciente.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Probar las siguientes desigualdades:
  \begin{enumerate}
  \item $e^{x}\geq1+x$, $\forall x\in\RR$;
  \item $\sin x\leq x$, $\forall x\geq0$;
  \item $\sqrt{x}\geq\ln x$, $\forall x>0$;
  \item $1-\cos x\leq\frac{x^{2}}2$, $\forall x\in\RR$;
  \item $\frac x{1+x}<\ln(1+x)\leq x$, $\forall x>0$;
  \item $|\sin x-\sin y|\leq|x-y|$, $\forall x,y\in\RR$.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f:(0,+\infty)\to\RR$ tal que $f'(x)\geq x^{2}-\ln x$ cualquiera sea
$x\in(0,+\infty)$. Mostrar que $f$ es creciente.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Desarrollar:
  \begin{enumerate}
  \item la función $p(x)=x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+x+2$ en potencias de $x-2$;
  \item la función $g(x)=\sqrt{x}$ en potencias de $x-1$ hasta orden $3$.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
  \begin{enumerate}
  \item Hallar el polinomio de Maclaurin de grado tres para las funciones:
    \begin{enumerate}
    \item $f(x)=\ln(x+1)^{2}$;
    \item $g(x)=e^{x+2}$.
    \end{enumerate}
  \item Hallar el polinomio de Taylor de grado $3$ de $f(x)=\tan x$ en $a=\pi/4$.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
  \begin{enumerate}
  \item Hallar el polinomio de Maclaurin de orden 2 y la expresión del resto
  para la función $f(x)=\sqrt{1+x}$.
  \item Evaluar el error de la igualdad aproximada $\sqrt{1+x}\approx
  1+\frac12x-\frac18x^{2}$ cuando $x=0,2$.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
  \begin{enumerate}
  \item Sea $\alpha\in\RR$. Hallar el polinomio de Maclaurin de grado $n$ de la función
  $y=(1+x)^\alpha$.
  \item Calcular el valor de $(1,3)^{2/3}$ con error menor que $1/100$.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Calcular:
  \begin{enumerate}
  \item el número $e$ con error menor que $10^{-4}$;
  \item $\cos 3^\circ$ con error menor que $10^{-2}$;
  \item $\ln\frac23$ con error menor que $10^{-3}$.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Aplicando la fórmula de Taylor, calcular:
\begin{enumerate}
  \item $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}2}$;
  \item $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln^{2}(1+x)-\sin^{2}x}{1-e^{-x^{2}}}$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $f(x)=2x^2-x\sin x- \cos^2 x$.
  \begin{enumerate}
  \item Comprobar que $f$ tiene por lo menos 2 ceros.
  \item Encontrar un mínimo local.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item\textit{Regla de L'Hopital}. Calcular los siguientes límites:
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^{n}-1}$;
\item $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\sqrt{1-\cos x}}$;
\item $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}x^{n}e^{-x}$;
\item $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{1/x}}{\ln x}$;
\item $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{-1/x^{2}}}{x^{n}}$;
\item $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac2{x^{2}-1}-\frac1{x-1}$;
\item $\displaystyle\lim_{x\to 1}x^{\frac1{1-x}}$;
\item $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac1{x^{\sin x}}$;
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\foto{Lagrange}{Joseph-Louis Lagrange\\1736--1813, Italia-Francia}

\end{document}
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