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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA - FCEyN - UBA |
Duración: 15 de julio al 15 de agosto de 2007
Horario: Martes y Jueves de 10 a 13hs.
Además del horario de clase, habrá clases tutoriales (optativas) en horario a determinar.
Lugar: Aula 6, Pabellón 1. Ciudad Universitaria.
Puntaje: 1 punto (ambas licenciaturas en matemática y doctorado en matemática)
Consultas sobre el curso: La consultas pueden ser dirigidas a Roberto Fernández o bien a Pablo Groisman (pgroisma@dm.uba.ar).
El curso:
Las medidas de Gibbs, inicialmente definidas en el marco de la mecánica estadística de equilibrio, son hoy en día empleadas como modelos estocásticos en numerosas aplicaciones (reconstrucción de imágenes, esquemas de muestreo, algoritmos de simulación, . . . ). Su popularidad se explica, en parte, por la existencia de una teoría matemática completa que conduce a un catálogo extenso de propiedades y atributos de relevancia práctica. Esta misma teoría constituye, a la vez, la base matemática de la mecánica estadística de equilibrio clásica (en el sentido de no cuántica).
El curso tiene como objetivo la exposición de esta teoría, en sus aspectos fundamentales, para sistemas en redes, los que están formados por una cantidad enumerable de copias de un mismo espacio microscópico (espines, partículas, pixeles). El curso constará de dos partes. En la primera se introducir á la noción de medida de Gibbs y se demostrarán sus propiedades principales. Esta parte servirá, a la vez, para establecer el cuadro matemático de la mecánica estadística y la transcripción matemática de los fenómenos más importantes: transiciones de fase, extremalidad y ergodicidad, fases puras, principio variacional, equivalencia de ensembles, grandes desvíos. La segunda parte será de carácter más aplicado e ilustrativo. En ella se estudiarán, usando como ilustración los modelos más estudiados (Ising, Potts) técnicas, conceptos y resultados adaptados a las diferentes regiones de diagramas de fase: argumento de Peierls, comportamiento crítico, desigualdades de correlación, criterios de unicidad, desarrollos perturbativos.
El curso no supondrá mayores prerequisitos, más allá de una cierta madurez matemática y el interés en razonamientos y conceptos probabilísticos.Una audiencia combinada (probabilistas, estadísticos, físicos, matemáticos especializados en otras áreas) será bienvenida. El nivel y la orientación del curso se adaptará en consecuencia. Se recapitularán las nociones básicas necesarias de la teoría de probabilidad (especialmente la noción de esperanza condicional) incluyendo, de ser preciso, aspectos básicos de la teoría de medida (
s-algebra, medida, funciones medibles, integrabilidad). No sesupondrá un conocimiento previo de mecánica estadística.Programa tentativo
1ra. parte: fundamentos
Bases matemáticas.
Espacio de configuración: estructura de espacio medible, observables continuidad y convergencia, casi-localidad; eventos y observables asintóticos; translaciones e invariancia translacional; esperanzas condicionales: definición y propiedades.Equilibrio.
Especificaciones (=sistema regular de probabilidades condicionales), coherencia y equilibrio; extremalidad, trivialidad al infinito, ergodicidad.Medidas de Gibbs.
Interacciones y hamiltonianos, pesos de Boltzmann; especificaciones y medidas gibbsianas; ejemplos (modelos de Ising y Potts); equivalencia física; cómo reconocer una medida gibbsiana (teorema de Kozlov); transiciones de fase, diagramas de fase.Principio variacional.
Transforrmada de Legendre; energía libre, entropía relativa, existencia y propiedades; caracterización variacional de medidasde Gibbs; grandes desvíos.2da. parte: resultados rigurosos en mecánica estadística
Bajas temperaturas.
El argumento de Peierls y la existencia de transiciones de fase, energía versus entropía; desigualdades de correlación y sus consecuencias, modelos con simetrías continuas, las ondas de espines y la positividad por reflecciones.Altas temperaturas.
Ausencia de transiciones en una dimensión; criterios de unicidad de Dobrushin y Dobrushin y Shlosmann, aplicaciones y ejemplos; analiticidad a alta temperatura, teorema de Lee y Yang, desarrollos en cúmulos.Temperaturas intermedias.
Puntos críticos, universalidad, exponentes críticos; el paradigma de las transformaciones de renormalización y la invariancia multi-escala; resultados y problemas abiertos; no-gibbsianidad.Referencias principales
1ra. parte
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H.-O. Georgii: Gibbs Measures and Phase Transitions; Walter de Gruyter (de Gruyter Studies in Mathematics, Vol. 9)”, Berlin, 1988.•
A. C. D. van Enter, R. Fernández, A. D. Sokal: Regularity Properties and Pathologies of Position-Space Renormalization-Group Transformations: Scope and Limitations of Gibbsian Theory; J. Stat. Phys. 72, pp. 879–1167, 1993.•
R. Fernández: Gibbsianness and non-Gibbsianness in lattice random fields; en Mathematical statistical physics (Les Houches, session LXXXIII 29 july, 2005), A. Bovier et al (eds.), Elsevier, Amsterdam, 2006.2da. parte
•
D. Ruelle: Statistical mechanics: Rigorous results. W. A. Benjamin, Inc., New York, 1969 (Reimpresión: World Scientific, Singapur, 1999).•
B. Simon: The statistical mechanics of lattice gases. Vol. I ; Princeton Series in Physics, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993.