Noticias: El lunes a las 17:30 hay "clase de repaso en el IC"
La percolación se convirtió en un tema sumamente atractivo, entre otras cosas, porque plantea preguntas de sencilla formulacion pero que sin embargo ofrecen dificultades matemáticas considerables. Los resultados de esta teoría tienen implicancias muy importantes tanto en la teoría de las probabilidades como en el el campo de la física, biología y ecología, entre otras.
Para hacer una breve presentación del problema, consideremos, por ejemplo, el grafo con vértices dados por , el producto cartesiano de enteros, y aristas uniendo cada punto con sus cuatro vecinos. Suponga que las aristas del grafo representa un conjunto de caños, con codos en los vértices uniéndolos entre si. Además, imagine que cada caño se encuentra abierto con probabilidad p, independientemente de lo que ocurre con los demás, para p en [0,1]. Por último, dada una realización de caños abiertos y cerrados, definimos el conglomerado del origen como el conjunto formado por los vértices que "se mojan" si se abre una canilla en el origen. Es decir, consiste en aquellos puntos alcanzables mediante un camino de aristas abiertas partiendo del origen. Una de las primeras preguntas relevantes concierne al tamaño del conglomerado del origen. Cuando p=0 no se moja nadie, mientras que a medida que la probabilidad p aumenta, el modelo puede ser construido (usando técnicas de acoplamiento) de forma tal que el conglomerado del origen incrementa su tamaño. Cuando el conglomerado del origen es infinito decimos que hay percolación. La probabilidad de percolar, vista como función de p, es creciente. Se ha demostrado la existencia de tal que para p< la probabilidad de percolar es nula mientras que para p> la probabilidad de percolar es positiva. Este es un ejemplo típico de transición de fase: modelos indexados por un parámetro continuo en los cuales el comportamiento cambia cualitativamente dependiendo del valor del parámetro. Problemas análogos se estudian en diferentes grafos. Además de la probabilidad de percolar, el análisis de diferentes medidas de conectividad representa otro aspecto de interés. Tales medidas pueden estudiarse ya sea comparando probabilidades de conexión entre diferentes vértices dentro de un mismo modelo, como explorando la probabilidad de una conexión fija a medida que los parámetros del modelo varían.
Definiciones y descripción de problemas relacionados con la percolación.
Existencia de valores críticos del parámetro p.
Algunas herramientas básicas.
Igualdad de dos valores críticos.
Unicidad del aglomerado infinito.
Desigualdades estrictas entre valores críticos de modelos diferentes.
Refuerzos.
Percolación en dimensión 2.
Horario y Lugar: Martes y Viernes - 11:00 a 13:00 hs - Aula 10 - Pabellón 1
Puntaje: 1 punto (Lic. y Prof.)
Correlatividades: Probabilidades y Estadística
Carga horaria: 4 horas por semana (durante 1 mes)
Inicio: 22 de julio
Carreras: Licenciatura en Matemática (Or. Pura y Aplicada), Profesorado en Matemática. Doctorado en Matemática (a confirmar).
Bollobás, Béla ; Riordan, Oliver. PERCOLATION. Cambridge University Press 2006.
Grimmett, Geoffrey. PERCOLATION, Second Edition. Springer-Verlag 1999.
Fontes, Luiz Renato. NOTAS DE AULA (en portuges)
Fontes, Luiz Renato ; Sidoravicius, Vladas PERCOLATION, Lectures given at the School and Conference on Probability Theory, Trieste, 2002