Horarios
y aulas: La
materia se dictará en dos reuniones semana por medio los
jueves por la tarde y los viernes por la mañana en horario a
definir entre los interesados.
Correlatividades: Se requiere conocimientos de la
integral de Lebesgue y
de fundamentos del análisis.
Programa
de la materia:
Espacios
de Sobolev. Desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. Teoremas de
inmersión. Compacidad.
Ecuaciones
Lineales Elípticas. Resultados de existencia y unicidad.
Autovalores. Regularidad.
Cálculo de
variaciones. Existencia de minimizantes y puntos críticos de
funcionales. El Teorema de paso de la montaña.
Métodos de
monotonía. Métodos de punto fijo. Super y
sub-soluciones.
Teoremas de no existencia.
Blow-up y la identidad de Pohozaev.
Propiedades
geométricas de las soluciones. Simetría radial y
el método de los planos móviles.
Introducción a
la teoría de homogeneización.
Bibliografía:
G.
Allaire, "Shape Optimization by the Homogenization Method". Appl. Math.
Sci. Springer, 2002.
L.C.
Evans, "Partial Differential Equations". Graduate Studies in
Mathematics, 19. American
Mathematical Society, Providence, RI,
1998.
D. Gilbarg - N. Trudinger,
"Elliptic Partial Differential Equations of Second Order", (2nd edn.).
Springer-Verlag, New York, 1983.
N.V. Krylov, "Lectures on elliptic and
parabolic
equations in Hölder spaces.
Graduate Studies in Mathematics, 12. American
Mathematical Society, Providence, RI,
1996.
O.A. Ladyzenskaja - V.A.
Solonnikov - N.N. Uralceva, "Linear and quasilinear
equations of
parabolic type". Translations
of Mathematical Monographs, Vol. 23 American
Mathematical Society, Providence, R.I.
1967
M. Renardy - R.C. Rogers,
"An Introduction to Partial Differential Equations", Texts in Applied
Mathematics 13, Springer-Verlag, 1992.
Prácticas:Se debe entregar el 60% (aprox.) de
cada práctica para aprobar la materia.
Examen
Final: El examen final consistirá
en la exposición de un trabajo que complemente alguno de los
temas vistos en clase. Algunos temas posibles son:
Desigualdades
de Sobolev.
Regularidad Schauder para
Ecuaciones Elípticas.
Multiplicidad de
soluciones en problemas variacionales.
Teoremas de linking para
funcionales indefinidos.
Problemas de autovalores
no lineales.
Teoría de grado
y métodos de punto fijo.
Teoremas de Liouville y
aplicaciones.
Ecuaciones
parabólicas semilineales. Existencia, unicidad, regularidad
y Blow-up.
Teorema de
Rellich-Pohozaev para sistemas.
Problemas con exponente
crítico.
Una vez elegido el tema, buscaremos la referencia precisa a estudiar.