Tesis de Licenciatura en Matemática

Formas diferenciales no conmutativas y conexiones

Director: Guillermo Cortiñas. Alumna:Florencia Sember

Diciembre 2003

1. Introducción

En esta tesis se estudia el álgebra de formas diferenciales no conmutativas relativa a un morfismo de álgebras K ⟶ A. El trabajo generaliza alunos resultados de [2] , [4] y [6] y está organizado como sigue.

En la sección 2 se dan las definiciones básicas y se fijan las notaciones. En la sección 3 se introduce el álgebra de formas diferenciales Ω_{K}A re-

lativas a un morfismo K ⟶ A (Proposición 1) y se establecen algunas propiedades básicas. Luego se prueba la sucesión cotangente (Proposición 6) relativa a morfismos de k− álgebras L ⟶ K ⟶ A, que relaciona los diferenciales relativos Ω_{L}^{1} y Ω_{K}^{1}. Esto generaliza al caso relativo lo probado en [CQ] para el caso particular L = ℂ. Luego se define en Ω_{K}A un producto ∘ tipo Fedosov (12) y se introduce la extensión universal R_{K}A, y se prueba que es isomorfa al álgebra Ω_{K}^{ev}A de formas pares con el producto ∘ (Proposición 11). A continuación se introduce la superálgebra universal S_{K}A generada por K ⟶ A, y se prueba que es isomorfa al álgebra Ω_{K}A con el producto ∘ (Proposición 13). Luego se introduce el álgebra Q_{K}A, definida como el coproducto A ∗_{K} A y se define un nuevo producto ⋆ tipo Fedosov en Ω_{K}A. Se prueba que con este producto ⋆ el álgebra Ω_{K}A es isomorfa a Q_{K}A (Proposición 15). En el caso en que 2 es inversible en K se tiene Q_{K}A ≃ S_{K}A. Esto generaliza lo hecho en [4] donde sólo se considera el caso K = ℂ.

En la sección 4 se introducen los grupos de cohomología de Hochschild relativa a K ⟶ A. Se describen en detalle los grupos H_{K}^{0} (A, M) , H_{K}^{1} (A, M) y H_{K}^{2} (A, M); en particular se prueba que este último se identifica al de clases de extensiones de cuadrado cero de A que se parten como sucesiones de Kbimódulos (K-extensiones de cuadrado cero). A continuación se definen las álgebras casi libres relativas a K ⟶ A y se prueban algunas equivalencias (Proposición 22) y propiedades básicas (Proposición 26) análogas a las que se encuentran en [4].

En la sección 5 se da una demostración (inspirada en [3], y distinta de la dada en [4]) del teorema del entorno tubular formal para el caso relativo (teorema 28). El teorema establece que si R ⟶ R/I = A es un K− extensión de A, y R/I^{n+1} → R/I^{n} una K− extensión de cuadrado cero para todo n, entonces P = I/I^{2} es proyectivo y existe una sistema inverso de isomorfismos de K− álgebras φ_{n} : T_{A}^{≤n} (P) ⟶ R/I^{n+1}. En particular los completados T̂ = ∏_{n} T_{A}^{n}(P) y R̂_{I} resultan isomorfos.

En la sección 6 se definen el concepto de conexión (no conmutativa) Klineal para un módulo a derecha E sobre una K-álgebra A. Se prueba que E tiene una conexión si y sólo si es proyectivo relativo a K ⟶ A (Corolario 31) y se definen las conexiones grassmanianas. Luego se extiende la definición a conexiones en bimódulos y se estudia el caso particular del bimódulo Ω_{K}^{1}A.

En la sección 7 se define la noción de dato de descenso para un A− módulo E y se prueba que hay una correspondencia biyectiva entre datos de descenso de E y conexiones playas en E (Proposición 47). Por último se prueba que si K ⟶ A es fielmente playa, se tiene un dato de descenso en E si y sólo si E = F ⊗_{K} A (Teorema 49), y toda conexión playa es de la forma 1 ⊗ d. Agradecimientos

Quiero agradecer profundamente a Gullermo Cortiñas por haberme guiado en la realización de este trabajo, tanto en la parte matemática como en la redacción y la diagramación. También fue esencial la ayuda que me prestó Pablo Solernó, estando presente en todo momento. Por útlimo quiero agradecerle a mi familia por el apoyo durante toda la realización de este trabajo y a Mariano, Laura, Mariana y el resto de mis amigos.

2. Definiciones básicas y notación

Fijamos un anillo conmutativo con unidad k; de ahora en adelante todos los anillos considerados serán álgebras sobre k. Para cada k−álgebra A, el morfismo estructural k ⟶ A manda k al centro de A. Así mismo k es central en todos los A−bimódulos considerados, es decir que si M es un A−bimódulo, tenemos que λm = mλ, ∀m ∈ M, ∀λ ∈ k. Esto es lo mismo que decir que A−bimódulo significa A ⊗_{k} A^{op}−módulo. Todos los morfismos considerados son k lineales, y salvo que se indique expresamente lo contrario, todos los tensores y Homs son sobre k.

Si K es un álgebra, no necesariamente conmutativa, una K−álgebra graduada A es una familia {A_{n}, n ∈ ℤ} de K−bimódulos equipada con un producto A_{p}⊗_{S} A_{q} ⟶ A_{p+q} que es morfismo de bimódulos y un elemento 1 ∈ A_{0} tal que A_{0} y ⊕_{n∈ℤ}A_{n} son álgebras asociativas con unidad. Decimos que A es conmutativa si para todo a ∈ A_{p}, b ∈ A_{q}, ab = (−1)^{p+q} ba. Una K−álgebra diferencial graduada es una K−álgebra graduada A equipada con una aplicación d : A_{∗} ⟶ A_{∗+1} que satisface:

1. d es K−lineal a izquierda y a derecha;

2. d^{2} = 0;

3. la regla de Leibniz:

d (ab) = d (a) b + (−1)^{p} ad (b) para a ∈ A_{p}

En particular d (K) = 0.

3. Formas diferenciales no conmutativas

Sea K un álgebra. Una K− álgebra es un álgebra A con un morfismo de anillos φ : K ⟶ A. Para simplificar la notación, pensamos a φ (K) como K adentro de A. No pedimos que φ (K) ⊆ C (A) , por lo tanto los elementos de K no necesariamente conmutan con los de A. Dada una K− álgebra A, construimos la K−álgebra diferencial graduada (K−ADG) Ω_{K}A de formas diferenciales no conmutativas sobre A como sigue.

Definimos el A−bimódulo de formas diferenciales relativas de grado n con respecto a K como

Ω_{K}^{n}A = A ⊗_{K} (A/K)^{⊗_{K}n} = A ⊗_{K} \underbrace{(A/K) ⊗_{K} ⋯ ⊗_{K} (A/K)}_{n}

para n ≥ 0 y Ω_{K}^{n}A = 0 para n < 0. El símbolo (a_{0}, a_{1}, …, a_{n}) denota la imagen de a_{0}⊗a_{1}⊗…⊗a_{n} ∈ A^{⊗n+1} en Ω_{K}^{n}A vía el morfismo id⊗π_{K}⊗…⊗π_{K}, donde π_{K} : A ⟶ A/K es la proyección canónica. Tenemos que Ω_{K}^{0}A = A y (a) = a.

En Ω_{K}A = ⨁_{n∈ℤ} Ω_{K}^{n}A definimos el operador d de grado uno y el producto por

d (a_{0}, a_{1}, …, a_{n}) = (1, a_{0}, a_{1}, …, a_{n})  (1)

(a_{0}, a_{1}, …, a_{n}) (a_{n+1}, …, a_{k}) =

= ∑_{i=0}^{n} (−1)^{n−i} (a_{0}, …, a_{i}a_{i+1}, …, a_{k}) (2)

Notemos que d (K) = 0.

Proposición 1 i)Las fórmulas (1) y (2) determinan una estructura de K− álgebra diferencial graduada en Ω_{K}A, que es la única que satisface

a_{0}da_{1} … da_{n} = (a_{0}, a_{1}, …, a_{n})  (3)

ii) Dada una K−álgebra diferencial graduada Γ = (⨁_{n} Γ^{n}, d̃) y un K−

morfismo u : A ⟶ Γ^{0} tal que d̃(uK) = 0, hay un único morfismo de K− ADG u_{∗} : Ω_{K}A ⟶ Γ que extiende a u.

Demostración: Empezamos con la unicidad de la parte i). En cualquier ADG que contenga a A como subálgebra de grado par valen las siguientes identidades

d (a_{0}da_{1} … da_{n}) = da_{0}da_{1} … da_{n}  (4)

(a_{0}da_{1} … da_{n}) (a_{n+1}da_{n+2} … da_{k}) =  (5)

= (−1)^{n} a_{0}a_{1}da_{2} … da_{k} + ∑_{i=1}^{n} (−1)^{n−i} a_{0}da_{1} … d (a_{i}a_{i+1}) … da_{k}

Verifiquemos la fórmula (4). El operador d verifica d^{2} = 0 y la regla de Leibniz, es decir que para un elemento a homogéneo de grado n y un elemento b cualquiera, d (ab) = d (a) b + (−1)^{n} ad (b) . Luego

d (a_{0}da_{1} … da_{n}) = da_{0}da_{1} ⋯ da_{n} + (−1)^{|a_{0}|} a_{0}\underbrace{d (da_{1} ⋯ da_{n})}_{=0}
= da_{0}da_{1} ⋯ da_{n}

El hecho de que d (da_{1} ⋯ da_{n}) = 0 se puede demostrar fácilmente por inducción.

Para probar (5) también usamos las propiedades de d como sigue:

∑_{i=1}^{n} (−1)^{n−i} a_{0}da_{1} … d (a_{i}a_{i+1}) … da_{k} =

= ∑_{i=1}^{n} (−1)^{n−i} [a_{0}da_{1} … da_{i}a_{i+1} … da_{k} + a_{0}da_{1} … a_{i}da_{i+1} … da_{k}]

= a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}a_{n+1}da_{n+2} ⋯ da_{k}+

∑_{i=1}^{n−1} (−1)^{n−i} a_{0}da_{1} … da_{i}a_{i+1} … da_{k}+

+ ∑_{i=1}^{n−1} (−1)^{n−i−1} a_{0}da_{1} … a_{i+1}da_{i+2} … da_{k}

+ (−1)^{n−1} a_{0}a_{1}da_{2} ⋯ da_{k} =
= a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}a_{n+1}da_{n+2} ⋯ da_{k} + (−1)^{n−1} a_{0}a_{1}da_{2} ⋯ da_{k}

Si aplicamos esto en el caso de la estructura de ADG de Ω_{K}A que satisface (3), vemos que el diferencial y el producto tienen que ser los dados por (1) y (2), probando así la unicidad.

Si suponemos que Ω_{K}A satisface (3), tenemos que

d (a_{0}, a_{1}, ⋯, a_{n}) =_{(3)} d (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}) =_{(4)}

da_{0}da_{1} ⋯ da_{n} =_{(3)} (1, a_{0}, a_{1}, ⋯, a_{n})

Por lo tanto el diferencial tiene que ser (1). Veamos la fórmula del producto

(a_{0}, …, a_{n}) (a_{n+1}, …, a_{k}) =_{(3)} (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}) (a_{n+1}da_{n+2} ⋯ da_{k}) =_{(5)}

= (−1)^{n} a_{0}a_{1}da_{2} … da_{k} + ∑_{i=1}^{n} (−1)^{n−i} a_{0}da_{1} … d (a_{i}a_{i+1}) … da_{k} =_{(3)}

= (−1)^{n} (a_{0}a_{1}, a_{2}, …, a_{k}) + ∑_{i=1}^{n} (−1)^{n−i} (a_{0}, a_{1}, …, a_{i}a_{i+1}, …, a_{k})

= ∑_{i=0}^{n} (−1)^{n−i} (a_{0}, …, a_{i}a_{i+1}, …, a_{k})

Para probar la existencia, veamos que el producto definido en (2) es asociativo y que el diferencial definido en (1) verifica la regla de Leibniz para ese producto.

Veamos la asociatividad del producto.

[(a_{0}, ⋯, a_{n}) (a_{n+1}, ⋯, a_{k})] (a_{k+1}, ⋯, a_{l}) =

= ∑_{i=0}^{n} (−1)^{n−i} (a_{0}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{k}) (a_{k+1}, ⋯, a_{l}) =

= ∑_{i=0}^{n} (−1)^{n−i} [∑_{j=0}^{i−2} (−1)^{k−j} (a_{0}, ⋯, a_{j}a_{j+1}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{l}) +

+ (−1)^{k−i+1} (a_{0}, ⋯, a_{i−1}a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{l})
+ (−1)^{k−i} (a_{0}, ⋯, a_{i}a_{i+1}a_{i+2}, ⋯, a_{l}) +

+ ∑_{j=i+1}^{k} (−1)^{k−j} (a_{0}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{j}a_{j+1}, ⋯, a_{l})] =

= (−1)^{k−n} ∑_{j=0}^{i−2} (−1)^{k−j} (a_{0}, ⋯, a_{n}a_{n+1}a_{n+2}, ⋯, a_{l}) +

+ ∑_{i=0}^{n} (−1)^{n−i} [∑_{j=0}^{i−2} (−1)^{k−j} (a_{0}, ⋯, a_{j}a_{j+1}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{l}) +

+ ∑_{j=i+1}^{k} (−1)^{k−j} (a_{0}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{j}a_{j+1}, ⋯, a_{l})]

Por otro lado:

(a_{0}, ⋯, a_{n}) [(a_{n+1}, ⋯, a_{k}) (a_{k+1}, ⋯, a_{l})] =

= ∑_{j=0}^{k−n} (−1)^{k−n−j} (a_{0}, ⋯, a_{n}) (a_{n+1}, ⋯, a_{n+1+j}a_{n+1+j+1}, ⋯, a_{l}) =

= (−1)^{k−n} (a_{0}, ⋯, a_{n}) (a_{n+1}a_{n+2}, ⋯, a_{l}) +

+ ∑_{j=1}^{k−n} (−1)^{k−n−j} (a_{0}, ⋯, a_{n}) (a_{n+1}, ⋯, a_{n+1+j}a_{n+1+j+1}, ⋯, a_{l}) =

= (−1)^{k−n} ∑_{i=0}^{n−1} (a_{0}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{n+1}a_{n+2}, ⋯, a_{l})

+ (−1)^{k−n} (a_{0}, ⋯, a_{n}a_{n+1}a_{n+2}, ⋯, a_{l}) +

+ ∑_{j=1}^{k−n} (−1)^{k−n−j} ∑_{i=0}^{n} (a_{0}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{n+1+j}a_{n+1+j+1}, ⋯, a_{l}) =

= (−1)^{k−n} (a_{0}, ⋯, a_{n}a_{n+1}a_{n+2}, ⋯, a_{l}) +

+ ∑_{j=0}^{k−n} ∑_{i=0}^{n} (−1)^{k−i−j} (a_{0}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{n+1+j}a_{n+1+j+1}, ⋯, a_{l})

Ambas cosas coinciden, quedando así demostrado que el producto es asociativo.

Veamos ahora que d verifica la regla de Leibniz. Sean a = (a_{0}, ⋯, a_{n}) , b = (a_{n+1}, ⋯, a_{k}) .

d (ab) = d (∑_{i=0}^{n} (−1)^{n−i} (a_{0}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{k})) =

= ∑_{i=0}^{n} (−1)^{n−i} (1, a_{0}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{k})

d (a) b + (−1)^{n} ad (b) = (1, a_{0}, ⋯, a_{n}) (a_{n+1}, ⋯, a_{k}) +
+ (−1)^{n} (a_{0}, ⋯, a_{n}) (1, a_{n+1}, ⋯, a_{k}) =

= ∑_{i=1}^{n} (−1)^{n+1−i} (1, a_{0}, ⋯, a_{i−1}a_{i}, ⋯, a_{k}) + (−1)^{n+1} (a_{0}, ⋯, a_{n}) +

+ (−1)^{n} ∑_{i=0}^{n−1} (−1)^{n−i} \underbrace{(a_{0}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, 1, ⋯, a_{k})}_{=0}

+ (−1)^{n} (a_{0}, ⋯, a_{n}) =

= ∑_{i=0}^{n} (−1)^{n−i} (1, a_{0}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{k})

Esto nos muestra que d es un operador de coborde para ese producto, con lo cual tenemos que Ω_{K}A es una K− álgebra diferencial graduada.

Definimos u_{n} : Ω_{K}^{n}A ⟶ Γ^{n} como sigue. Ponemos u_{0} = u, y si n ≥ 1, consideramos la aplicación

u_{n} : \underbrace{A × ⋯ × A}_{n+1} ⟶ Γ
u_{n} (a_{0}, a_{1}, ⋯, a_{n}) = u (a_{0}) d̃u (a_{1}) ⋯ d̃u (a_{n})

Como u es un K−morfismo y d̃ una K−derivación, u_{n} es K-multilineal e induce un morfismo de K−bimódulos u_{n} : Ω_{K}^{n}A = A ⊗ (A/K)^{⊗n} ⟶ Γ^{n}. Veamos ahora que u_{∗} es morfismo de ADG. En efecto tenemos:

u_{∗} ((a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}) (a_{n+1}da_{n+2} ⋯ da_{k})) = = u_{∗}((−1)^{n}a_{0}a_{1}da_{2} … da_{k}+

∑_{i=1}^{n} (−1)^{n−i} a_{0}da_{1} … d (a_{i}a_{i+1}) … da_{k}) =

= (−1)^{n} u (a_{0}a_{1}) d̃(ua_{2}) … d̃(ua_{k})

+ ∑_{i=1}^{n} (−1)^{n−i} ua_{0}d̃(ua_{1}) … d̃u (a_{i}a_{i+1}) … d̃(ua_{k}) =

= (ua_{0}d̃(ua_{1}) … d̃(ua_{n})) (ua_{n+1}d̃(ua_{n+2}) … d̃(ua_{k})) =

= u_{∗} (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}) u_{∗} (a_{n+1}da_{n+2} ⋯ da_{k})

u_{∗} (d (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n})) = u_{∗} (da_{0}da_{1} ⋯ da_{n})
= d̃(ua_{0}) d̃(ua_{1}) ⋯ d̃(ua_{n})
= d̃(ua_{0}d̃(ua_{1}) ⋯ d̃(ua_{n}))
= d̃(u_{∗} (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}))

Claramente es el único morfismo que extiende a u, probando así ii). Esto es porque si queremos que u_{∗} sea morfismo de álgebras diferenciales graduadas, tiene que conmutar con el diferencial, entonces tenemos que tener

u_{∗} (da_{1}) = d̃(ua_{1})

Supongo que vale para n − 1 :

u_{∗} (da_{1}da_{2} ⋯ da_{n}) = u_{∗} (d (a_{1}da_{2} ⋯ da_{n}))
=d̃(u_{∗}(a_{1}da_{2} ⋯ da_{n}))
=d̃((u_{∗}a_{1})(u_{∗}\underbrace{(da_{2} ⋯ da_{n})}_{n−1}))
=d̃(ua_{1}(d̃(ua_{2}) ⋯ d̃(ua_{n})))
=d̃(ua_{1})d̃(ua_{2}) ⋯ d̃(ua_{n})

Entonces tiene que ser

u_{∗} (a_{0}, ⋯, a_{n}) = u_{∗} (a_{0}da_{1}da_{2} ⋯ da_{n})
= u_{∗} (a_{0}) u_{∗} (da_{1}da_{2} ⋯ da_{n})
= u (a_{0}) d̃(ua_{1}) d̃(ua_{2}) ⋯ d̃(ua_{n})

□.

Ahora establecemos algunas propiedades de las formas diferenciales relativas.

Recordemos que si M es un A− bimódulo, podemos formar el n−ésimo producto tensorial

T_{A}^{n} (M) = M^{⊗_{A}n} = \underbrace{M ⊗_{A} ⋯ ⊗_{A} M}_{n factores}

y el álgebra tensorial T_{A} (M) = ⨁_{n≥0} T_{A}^{n} (M) , donde T_{A}^{0} (M) = A. El álgebra tensorial tiene la siguiente propiedad universal: dadas una K− álgebra R y un par de aplicaciones u : A ⟶ R, v : M ⟶ R, tal que u es morfismo de K− álgebras y v morfismo de A− bimódulos relativo a u, entonces existe un único morfismo de K− álgebras T_{A} (M) ⟶ R que restringido a A da u y restringido a M da v.

Proposición 2 Ω_{K}A es canónicamente isomorfo al álgebra tensorial sobre A del bimódulo Ω_{K}^{1}A.

Demostración: El morfismo inclusión de K− álgebras A ⟶ Ω_{K}A y el morfismo de A− bimódulos Ω_{K}^{1}A ⟶ Ω_{K}A inducen un morfismo de álgebras graduadas ω : T_{A} (Ω_{K}^{1}A) ⟶ Ω_{K}A. Tenemos

Ω_{K}^{n−1}A ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A =Ω_{K}^{n−1}A ⊗_{A} (A ⊗_{K} A/K)  (6)
=Ω_{K}^{n−1}A ⊗_{K} A/K = Ω_{K}^{n}A

y podemos iterar esta fórmula para obtener un isomorfismo entre Ω_{K}^{n}A y el n− producto tensorial del bimódulo Ω_{K}^{1}A. En grado n este isomorfismo coincide con ω. Lo veremos aquí para grado 2 y sale por inducción que coinciden para todo n. El morfismo ω inducido por los dos morfismos descriptos más arriba es

(a_{0}da_{1}) ⊗ (a_{2}da_{3}) = a_{0}da_{1}a_{2}da_{3} = −a_{0}a_{1}da_{2}da_{3} + a_{0}d (a_{1}a_{2}) da_{3}

□.

Los próximos dos resultados tienen que ver con los diferenciales relativos Ω_{K}^{1}A.

Proposición 3 d : A ⟶ Ω_{K}^{1}A es una K− derivación universal.

Demostración: Tenemos que mostrar que, para cada A− bimó- dulo M y K− derivación D : A ⟶ M, hay un único morfismo de A−bimódulos \overline{D} : Ω_{K}^{1}A ⟶ M tal que \overline{D}d = D.

M
D ↗ ↑ \overline{D}
A ⟶_{d} Ω_{K}^{1}A

Consideremos la K−ADG dada por el álgebra producto semidirecto A ⋉ M, graduada con A en grado cero y M en grado uno, y con diferencial dado por D. Es una K− ADG, entonces la propiedad universal de Ω_{K}A mostrada en la Proposición 1-ii) da un único morfismo de K−ADG Ω_{K}A ⟶ A ⋉ M que extiende la identidad en A. Este morfismo de ADG es claramente equivalente a un morfismo de bimódulos \overline{D} : Ω_{K}^{1}A ⟶ M tal que \overline{D}d = D, que es lo que queríamos probar.□

Proposición 4 Se tiene la siguiente sucesión exacta de A− bimódulos

0 ⟶ Ω_{K}^{1}A ⟶^{j} A ⊗_{K} A ⟶^{m} A ⟶ 0  (7)

donde j (a_{0}da_{1}) = a_{0}a_{1} ⊗ 1 − a_{0} ⊗ a_{1} y m (a_{0} ⊗ a_{1}) = a_{0}a_{1}.

Demostración: El morfismo multiplicación tiene la sección i (a) = a ⊗ 1 de A− módulos a izquierda. Entonces la proyección 1 − im en A ⊗_{K} A identifica a coker (i) con ker (m) . La imagen de i es A ⊗_{K} K y por lo tanto coker (i) es (A ⊗_{K} A) / (A ⊗_{K} K) = A ⊗_{K} (A/K) = Ω_{K}^{1}A. Entonces tenemos un isomorfismo Ω_{K}^{1}A ⟶^{∼} ker (m) de A− módulos a izquierda dado por

a_{0}da_{1} ⟷ (1 − im) (a_{0} ⊗ a_{1}) = a_{0} ⊗ a_{1} − a_{0}a_{1} ⊗ 1 = −j (a_{0}da_{1})

que nos da la sucesión exacta deseada. Finalmente, j es un morfismo de A− bimódulos porque es el morfismo de bimódulos inducido por la derivación interior a ⟼ [a, 1 ⊗ 1] = a ⊗ 1 − 1 ⊗ a.□

Si tomamos un K− bimódulo M y su álgebra tensorial T = T_{K} (M) , tenemos la siguiente

Proposición 5 Hay un isomorfismo canónico de T − bimódulos T ⊗_{K} M ⊗_{K} T ≃ Ω_{K}^{1}T.

Demostración: Usamos la propiedad universal de la Proposición 3 de Ω_{K}^{1}T con respecto a las K− derivaciones. Si N es un T −bimódulo, una K-derivación D : T ⟶ N es equivalente a un morfismo de K-álgebras 1 + D : T ⟶ T ⋉ N en el producto semidirecto que es sección de la proyección canónica π. Tenemos entonces las siguientes equivalencias

{morfismos de T − bimódulos de Ω_{K}^{1}T ⟶ N} =

= {K − derivaciones T ⟶ N} = {morfismos de K − álgebras T ⟶ T ⋉ N que son secciones de π} = {morfismos de K − bimódulos de M ⟶ N} = {morfismos de T − bimódulos de T ⊗_{K} M ⊗_{K} T ⟶ N} □

3.1. Sucesión cotangente

Sean L ⟶ K ⟶ A morfismos de k−álgebras. La proposición siguiente establece la “sucesión cotangente” que relaciona los diferenciales Ω_{L}^{1}A y Ω_{K}^{1}A. Para las definiciones y propiedades básicas de los funtores derivados relativos ver el Apéndice.

Proposición 6 Se tiene la sucesión exacta canónica

0 → T or_{1}^{K/L} (A, A) → A ⊗_{K} Ω_{L}^{1}K ⊗_{K} A → Ω_{L}^{1}A → Ω_{K}^{1}A → 0

de bimódulos sobre A.

Demostración: La sucesión exacta de K−bimódulos

0 ⟶ Ω_{L}^{1}K ⟶^{j} K ⊗_{L} K ⟶^{m} K ⟶ 0  (8)

se escinde como sucesión de módulos a derecha por la sección s ⟼ 1 ⊗ s de m, entonces tensorizando sobre K con A a la derecha obtenemos una sucesión exacta

0 ⟶ Ω_{L}^{1}K ⊗_{K} A ⟶ K ⊗_{L} A ⟶ A ⟶ 0  (9)

Esta sucesión se escinde como de L−módulos a izquierda, con el morfismo i : A ⟶ K ⊗_{L} A, i (a) = 1 ⊗ a. Luego tensorizamos a la izquierda con A sobre K. Como K ⊗_{L} A es un K−módulo inducido por un L−módulo, T or_{1}^{K/L} (A, K ⊗_{L} A) = 0. La sucesión larga de Tor relativos da:

0 → T or_{1}^{K/L} (A, A) → A ⊗_{K} Ω_{L}^{1}K ⊗_{K} A → A ⊗_{L} A → A ⊗_{K} A → 0 (10)

Dado que Ω_{L}^{1}A, Ω_{K}^{1}A son los núcleos de los morfismos de multiplicación desde A ⊗_{L} A y A ⊗_{K} A a A respectivamente, vamos a obtener la sucesión exacta deseada aplicando el lema de la serpiente al siguiente diagrama:

0  0
↑  ↑
A ⟶ A ⟶ 0
↑ m  ↑ m
0 ⟶ \overline{A ⊗_{K} Ω_{L}^{1}K ⊗_{K} A} ⟶ A ⊗_{L} A ⟶ A ⊗_{K} A ⟶ 0
↑  ↑
Ω_{L}^{1}A ⟶ Ω_{K}^{1}A
↑  ↑
0  0

donde \overline{A ⊗_{K} Ω_{L}^{1}K ⊗_{K} A} es la imagen de A ⊗_{K} Ω_{L}^{1}K ⊗_{K} A en A ⊗_{L} A. Del diagrama obtenemos la sucesión exacta:

0 ⟶ \overline{A ⊗_{K} Ω_{L}^{1}K ⊗_{K} A} ⟶ Ω_{L}^{1}A ⟶ Ω_{K}^{1}A ⟶ 0

y combinando este resultado con la sucesión (10) obtenemos la sucesión deseada

0 → T or_{1}^{K/L} (A, A) ⟶ A ⊗_{K} Ω_{L}^{1}K ⊗_{K} A ⟶ Ω_{L}^{1}A ⟶ Ω_{K}^{1}A → 0

□ Lema 7 Si M es un K−bimódulo proyectivo relativo a L ⟶ K, y

0 ⟶ N′ ⟶ N ⟶ N′′ ⟶ 0

es una sucesión exacta relativa a L ⟶ K, entonces

0 ⟶ M ⊗_{K} N′ ⟶ M ⊗_{K} N ⟶ M ⊗_{K} N′′ ⟶ 0

es una sucesión exacta relativa a L ⟶ K.

Demostración: Supongamos primero que M = M′ ⊗_{L} K. Entonces obtenemos la sucesión

0 ⟶ M′ ⊗_{L} K ⊗_{K} N′ ⟶ M′ ⊗_{L} K ⊗_{K} N ⟶ M′ ⊗_{L} K ⊗_{K} N′′ ⟶ 0

que es igual a la sucesión

0 ⟶ M′ ⊗_{L} N′ ⟶ M′ ⊗_{L} N ⟶ M′ ⊗_{L} N′′ ⟶ 0

Pero esta sucesión es exacta porque la sucesión original se escinde como sucesión de L−módulos. Pongamos ahora M ⊕ M′ = M′′ ⊗_{L} K. Cuando tensorizamos nos queda que la sucesión exacta

0 → M ⊗_{K} N′ ⊕ M′ ⊗_{K} N′ → M ⊗_{K} N ⊕ M′ ⊗_{K} N → M ⊗_{K} N′′ ⊕ M′ ⊗_{K} N′′ → 0 (11)

se descompone como suma directa de dos sucesiones exactas, una correspondiente a cada sumando directo, y por lo tanto la sucesión que deseábamos es exacta.

Corolario 8 Sea T = T_{K} (M) , donde M es un K− bimódulo que es proyectivo relativo a L ⟶ K como K− módulo a derecha o a izquierda. Entonces tenemos la sucesión exacta de T − bimódulos

0 ⟶ T ⊗_{K} Ω_{L}^{1}K ⊗_{K} T ⟶ Ω_{L}^{1}T ⟶ T ⊗_{K} M ⊗_{K} T ⟶ 0

Demostración: Por la Proposición 5 para Ω_{K}^{1}T y la sucesión cotangente, es suficiente mostrar que T or_{1}^{K/L} (T, T) = 0. Suponiendo que M es K−módulo a derecha proyectivo relativo a L ⟶ K, el funtor X ⟼ M ⊗_{K} X en la categoría de K−módulos es exacto relativo. Entonces su iteración n− ésima

[M⊗_{K}]^{(n)} X = T_{K}^{n} (M) ⊗_{K} X

es exacto relativo. Esto quiere decir que la potencia tensorial n− ésima del bimódulo M es proyectivo relativo a L ⟶ K. Entonces T es proyectivo relativo a L ⟶ K, y T or_{1}^{K/L} (T, T) = 0. El caso de M K-proyectivo a izquierda es análogo.□

Corolario 9 Sea A = R/I, donde I es un ideal de R, tal que la sucesión 0 ⟶ I ⟶ R ⟶ A ⟶ 0 es una sucesión exacta relativa a L ⟶ K. Tenemos entonces una sucesión exacta corta de A− bimódulos

0 ⟶ I/I^{2} ⟶ A ⊗_{R} Ω_{L}^{1}R ⊗_{R} A ⟶ Ω_{L}^{1}A ⟶ 0

donde la inyección es la inducida por la restricción de la derivación canónica d : R ⟶ Ω^{1}R a I, y la suryección es la inducida por la suryección canónica R ⟶ A.

Demostración: Este resultado se deduce de la sucesión cotangente en el caso de la suryección R ⟶ A y el isomorfismo canónico T or_{1}^{R/L} (A, A) = I/I^{2} como sigue. Consideremos el morfismo de resoluciones de A relativas a L ⟶ K de R− módulos a izquierda

0 ⟶  I  ⟶  R  ⟶ A ⟶ 0
↓ θ  ↓  ↓=
0 ⟶ Ω_{L}^{1}R ⊗_{R} A ⟶^{j} R ⊗_{L} A ⟶ A ⟶ 0

donde la fila de abajo es (9) y las flechas verticales son las inducidas por la aplicación x ⟼ x⊗1 de R en R⊗_{L}A. Tenemos j (xdy ⊗ a) = xy⊗a−x⊗ya y θz = dz ⊗1 para z ∈ I. Tensorizando sobre R con A a la izquierda obtenemos una aplicación de sucesiones exactas

\xymatrix{0 → T or_{1}^{R/L}(A, A) \ar[r]^{∼} \ar[d]_{=} & I/I^{2} \ar[d] \ar[r] & A \ar[r]^{=} \ar[d] & A → 0 \\ 0 → T or_{1}^{R/L}(A, A) \ar[r] & A ⊗_{R} Ω_{L}^{1}R ⊗_{R} A \ar[r] & A ⊗_{L} A \ar[r] & A → 0}

donde la fila de abajo nos da la sucesión exacta cotangente y la de arriba nos da el isomorfismo canónico recién mencionado. Las afirmaciones sobre los morfismos en la sucesión exacta son ahora fácilmente verificables.□

3.2. La extensión universal

Si Ω es una K− ADG, entonces se define el producto de Fedosov como

∘ : Ω × Ω ⟶ Ω  (12)
ω ∘ ξ = ωξ − (−1)^{|ω|} dωdξ

donde |ω| = n es el grado de ω (ω homogéneo de grado n), y el producto en general queda determinado por linealidad. Probaremos a continuación que el producto de Fedosov es asociativo.

ω ∘ (ξ ∘ η) = ω ∘ (ξη − (−1)^{|ξ|}dξdη) =

= ω ∘ ξη − (−1)^{|ξ|}ω ∘ dξdη =

= ωξη − (−1)^{|ω|}dωd(ξη) − (−1)^{|ξ|}(ωdξdη

− (−1)^{|ω|}dω\underbrace{d(dξdη)}_{=0})) =

= ωξη − (−1)^{|ω|}dω(dξη + (−1)^{|ξ|}ξdη)

−(−1)^{|ξ|}ωdξdη = = ωξη − (−1)^{|ω|}dωdξη − (−1)^{|ξ|+|ω|}dωξdη −(−1)^{|ξ|}ωdξdη

Ambas cosas coinciden. Además el producto es compatible con la graduación ℤ_{2} en Ω. Esto es porque el orden del producto de un ω de orden n y un ξ de grado m me da de grado n + m o n + m + 2, es decir que el producto de dos cosas de la misma paridad da de grado par, y de cosas de distinta paridad da de grado impar. Si 1/2 ∈ K, aunque la K− ADG Ω sea conmutativa como superálgebra, o sea [ω, ξ] = 0 ∀ω, ξ ∈ Ω, el producto de Fedosov no es conmutativo porque ω y dω tienen paridad opuesta. Para ver esto, tomamos ω y ξ de grado par, y supongamos que Ω es conmutativa, o

sea que [ω, ξ] = ωξ − \underbrace{(−1)^{|ω||ξ|}}_{=1}ξω = 0∀ω, ξ ∈ Ω. Entonces tenemos ωξ = ξω.

Lo mismo vale para dω y dξ

0 = [dω, dξ] = dωdξ − \underbrace{(−1)^{|dω||dξ|}}_{=−1}dξdω =
= dωdξ + dξdω ⟹ dωdξ = −dξdω

Ahora veamos que el producto de Fedosov no es conmutativo

[ω, ξ] = ω ∘ ξ − ξ ∘ ω =

= ωξ − dωdξ − ξω + dξdω =

= \underbrace{ωξ − ξω}_{=0}\underbrace{−dωdξ}_{=dξdω} + dξdω = 2dξdω

Supongamos que ρ : A → R es un morfismo de K-bimódulos tal que ρ(1_{A}) = 1_{R}. Definimos la curvatura de ρ como la aplicación K−bilineal

ω (a_{1}, a_{2}) = ρ (a_{1}a_{2}) − ρ (a_{1}) ρ (a_{2})  (13)

En efecto, para todo s ∈ K,vale

ω (sa_{1}, a_{2}) = sω (a_{1}, a_{2})
ω (a_{1}, a_{2}s) = ω (a_{1}, a_{2}) s
ω (a_{1}s, a_{2}) = ω (a_{1}, sa_{2})

Por lo tanto la curvatura ω puede verse como una aplicación ω : (A/K)^{⊗2} → R.

Además, si a_{1} ó a_{2} son la identidad la curvatura da 0

ω (1_{A}, a_{2}) = ρ (1_{A}a_{2}) − ρ (1_{A}) ρ (a_{2}) = ρ (a_{2}) − 1_{R}ρ (a_{2}) = ρ (a_{2}) − ρ (a_{2}) = 0

ω (a_{1}, 1_{A}) = ρ (a_{1}1_{A}) − ρ (a_{1}) ρ (1_{A}) = ρ (a_{1}) − ρ (a_{1}) 1_{R} = ρ (a_{1}) − ρ (a_{1}) = 0

Definición 10 Decimos que ρ : A ⟶ R es una aplicación lineal basada si ρ es morfismo de K−bimódulos y ρ (1_{A}) = 1_{R}.

Consideramos ahora el álgebra universal R_{K}A generada por una aplicación lineal basada desde A. Este álgebra se construye como sigue. Sea T_{K} (A) = ⨁_{n≥0} A^{⊗_{K}n} el álgebra tensorial del K−bimódulo subyacente A. Definimos R_{K}A como el álgebra cociente

R_{K}A = T_{K} (A) /T_{K} (A) (1_{T_{K}} − 1_{A}) T_{K} (A)  (14)

donde 1_{T_{K}} = 1_{K} es la identidad de T_{K} (A) y 1_{A} es la identidad de A visto como tensor de grado 1. Sea ρ̂: A ⟶ R_{K}A la aplicación lineal basada dada por la inclusión de A en T_{K} (A) como tensores de grado uno seguida de la suryección canónica π : T_{K} (A) ⟶ R_{K}A.

A  ⟶^{i} T_{K} (A)
ρ̂ = π ∘ i ↘ ↓ π
R_{K}A

Por la propiedad universal de T_{K} (A) , si se tiene el siguiente diagrama, donde ρ es K− lineal y R una K−álgebra

A ↪^{i} T_{K} (A)
↓ ρ ↙ ∃!\overline{μ}
R

existe un único \overline{μ} : T_{K} (A) ⟶ A que hace conmutar el diagrama. La

propiedad universal de R_{K}A dice que si se tiene ρ : A ⟶ R, K− lineal y que preserva la unidad, entonces existe un único μ : R_{K}A ⟶ R tal que μ ∘ ρ̂ = ρ.

A \underrightarrow{ρ̂} R_{K} (A)
↓ ρ ↙  μ
R

Esto se deduce de la propiedad universal de T_{K}A y del cociente. En efecto tenemos \overline{μ} (1_{A}) = \overline{μ} ((i1_{A})) = ρ (1_{A}) = 1_{R}, porque ρ es lineal basada. Además como \overline{μ} es morfismo de álgebras, \overline{μ} (1_{T_{K}}) = 1_{R}. Entonces \overline{μ} (1_{T_{K}} − 1_{A}) = 1_{R} − 1_{R} = 0. Luego (1_{T_{K}} − 1_{A}) ⊆ ker \overline{μ}, y por la propiedad universal del cociente, existe un único morfismo μ : R_{K}A ⟶ R tal que μ ∘ ρ̂ = ρ.

Para obtener la estructura de R_{K}A que refleje el producto en A, consideramos el morfismo canónico μ : R_{K}A ⟶ A que manda ρ̂ al morfismo id_{A} identidad de A.

Sea I_{K}A el núcleo de μ. Tenemos entonces una extensión de álgebras A = R_{K}A/I_{K}A para la cual ρ̂ es una sección K−lineal basada de la suryección canónica μ : R_{K}A ⟶ A.

A \underrightarrow{ρ̂} R_{K}A
↓ id_{A} ↙ μ
A

Esta es la extensión universal de A equipada con una sección K−lineal basada. Nos referiremos a R_{K}A como la extensión universal de A.

Sea ω̂ la curvatura de ρ̂.

Proposición 11 Hay un isomorfismo canónico dado por

ρ̂(a_{0}) ω̂ (a_{1}, a_{2}) ⋯ ω̂ (a_{2n−1}, a_{2n}) ⟷ a_{0}da_{1} ⋯ da_{2n}  (15)

entre R_{K}A y la K− álgebra Ω_{K}^{ev}A de formas pares equipadas con el producto de Fedosov. Bajo este isomorfismo el ideal I_{K}A^{n} corresponde a ⨁_{k≥n} Ω_{K}^{2k}A. El álgebra graduada asociada

gr_{I_{K}A}R_{K}A = ⨁ I_{K}A^{n}/I_{K}A^{n+1} es isomorfa al álgebra Ω_{K}^{ev}A de formas pares con el producto ordinario.

Demostración: Consideramos la aplicación lineal basada A ⟶ Ω_{K}^{ev}A dada por la inclusión. Notemos que su curvatura es a_{1}a_{2} −a_{1} ∘a_{2} = da_{1}da_{2}. Sea Ψ : R_{K}A ⟶ Ω_{K}^{ev}A el morfismo correspondiente dado por la propiedad universal de R_{K}A.

A \underrightarrow{ρ̂} R_{K} (A)
↓ i ↙  Ψ
Ω_{K}^{ev}A

Tenemos Ψρ̂(a) = a, Ψω̂ (a_{1}, a_{2}) = da_{1}da_{2}. Como el producto de Fedosov coincide con el producto ordinario cuando una de las formas es cerrada, tenemos

Ψ (ρ̂(a_{0}) ω̂ (a_{1}, a_{2}) ⋯ ω̂ (a_{2n−1}, a_{2n})) = a_{0}da_{1} ⋯ da_{2n}

Por otro lado, como Ω_{K}^{2n}A = A ⊗ (A/K)^{⊗2n} tenemos un morfismo bien definido Φ : Ω_{K}^{ev}A ⟶ R_{K}A dado por

Φ (a_{0}da_{1} ⋯ da_{2n}) = ρ̂(a_{0}) ω̂ (a_{1}, a_{2}) ⋯ ω̂ (a_{2n−1}, a_{2n})

Claramente Φ es una sección de Ψ, entonces si vemos que Φ es suryectiva son morfismos inversos. Como

ρ̂(a) ρ̂(a_{0}) ω̂ (a_{1}, a_{2}) ⋯ ω̂ (a_{2n−1}, a_{2n})
= ρ̂(aa_{0}) ω̂ (a_{1}, a_{2}) ⋯ ω̂ (a_{2n−1}, a_{2n}) −
− ω̂ (a, a_{0}) ω̂ (a_{1}, a_{2}) ⋯ ω̂ (a_{2n−1}, a_{2n})

la imagen de Φ es cerrada por la multiplicación a izquierda por ρ̂(a) para todo a ∈ A. Como estos elementos generan R_{K}A, la imagen de Φ es un ideal a izquierda que contiene al 1, entonces Φ es suryectiva y tenemos el isomorfismo deseado.

Identifiquemos ahora R_{K}A con Ω_{K}^{ev}A por medio del isomorfismo y comparemos IA^{n} con F^{n} = ⨁_{k≥n} Ω_{K}^{2k}A. Veamos que da_{1}da_{2} ∈ I_{K}A.

da_{1}da_{2} ⟷ ω̂ (a_{1}, a_{2})
μ (ω̂ (a_{1}, a_{2})) = μ (ρ̂(a_{1}a_{2}) − ρ̂(a_{1}) ρ̂(a_{2})) = a_{1}a_{2} − a_{1}a_{2} = 0

Entonces tenemos que Ω_{K}^{2k}A ⊂ I_{K}A^{n} para k ≥ n, entonces F^{n} ⊂ I_{K}A^{n}. Ahora F^{p}F^{q} ⊂ F^{p+q} por la definición de producto de Fedosov, y tenemos I_{K}A = F^{1}, dado que el cociente de R_{K}A por qualquiera de los dos es A. Entonces I_{K}A^{n} = (F^{1})^{n} ⊂ F^{n}, lo que prueba que I_{K}A^{n} = F^{n} como habíamos afirmado. Para la afirmación sobre el álgebra graduada asociada basta observar que I_{K}A^{n}/I_{K}A^{n+1} = F^{n}/F^{n+1} = Ω_{K}^{2n}A.□

En lo que sigue es conveniente identificar R_{K}A con (Ω_{K}^{ev}A, ∘). La propiedad universal dice que cualquier aplicación lineal basada ρ : A ⟶ R se extiende de forma única a un morfismo ρ_{∗} : R_{K}A ⟶ R. Tenemos

ρ_{∗} (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}) = ρ (a_{0}) ω (a_{1}, a_{2}) ⋯ ω (a_{2n−1}, a_{2n})  (16)

donde ω es la curvatura de ρ.

3.3. El álgebra S_{K}A

Fijamos un álgebra K no necesariamente conmutativa, que además es álgebra sobre k. Una superálgebra A sobre K es una k−álgebra A = A_{0} ⊕ A_{1} tal que A_{i}A_{j} ⊂ A\overline{i+j}, donde \overline{i + j} es la clase de i + j módulo 2, con un morfismo de k−álgebras K ⟶ A_{0} ⊂ A.

Definición 12 Sea K ⟶ A un morfismo. Definimos la superálgebra universal S_{K}A generada por K ⟶ A como la superálgebra sobre K, junto con un morfismo μ : A ⟶ S_{K}A, que tiene la siguiente propiedad universal. Si hay una K−superálgebra S, y un morfismo de K−álgebras σ : A ⟶ S, existe un único morfismo de K−superálgebras σ̂ : S_{K}A ⟶ S tal que σ̂ ∘ μ = σ.

Proposición 13 Dada una K−álgebra A, la superálgebra universal S_{K}A existe y es isomorfa a Ω_{K}A con el producto de Fedosov.

Demostración: Veamos que (Ω_{K}A, ∘) tiene la propiedad de la superálgebra universal. Como

(a_{1} + da_{1}) ∘ (a_{2} + da_{2}) =a_{1}a_{2} − da_{1}da_{2} + a_{1}da_{2} + da_{1}a_{2} + da_{1}da_{2}
=a_{1}a_{2} + d (a_{1}a_{2})

tenemos un morfismo μ : A ⟶ Ω_{S}A dado por a ⟼ a + da. Sea σ : A ⟶ S un morfismo de K−álgebras, con S = S_{0} ⊕ S_{1} superálgebra. Entonces el morfismo σ tiene que ser de la forma σ = (σ_{0}, σ_{1}) , con σ_{0} : A ⟶ S_{0} y σ_{1} : A ⟶ S_{1}. Como σ es morfismo de K−álgebras, se tiene que satisfacer la siguiente igualdad

σ_{0} (ab) + σ_{1} (ab) = (σ_{0} (a) + σ_{1} (a)) (σ_{0} (b) + σ_{1} (b)) =

= \underbrace{[σ_{0} (a) σ_{0} (b) + σ_{1} (a) σ_{1} (b)]}_{grado 0} + \underbrace{[σ_{0} (a) σ_{1} (b) + σ_{1} (a) σ_{0} (b)]}_{grado 1}

Es decir que tenemos

σ_{0} (ab) = σ_{0} (a) σ_{0} (b) + σ_{1} (a) σ_{1} (b)  (17)
σ_{1} (ab) = σ_{0} (a) σ_{1} (b) + σ_{1} (a) σ_{0} (b)

Definimos σ̂ (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}) = σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) ⋯ σ_{1} (a_{n}) . Entonces vale

(σ̂μ) (a) = σ̂ (a + da) = σ_{0} (a) + σ_{1} (a) = σ (a) .

Veamos que σ̂ es morfismo. Si ω ∈ Ω_{K}A y a ∈ A, entonces

σ̂ (ω ∘ da) = σ̂ (ωda) = σ̂ (ω) σ̂ (da)

Como todo elemento de Ω_{K}A es suma de elementos de la forma a_{0} ∘ da_{1} ∘ ⋯ ∘ da_{n} = a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}, para probar que σ̂ es morfismo basta probar que para todo n

σ̂ (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n} ∘ a_{n+1}) = σ̂ (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}) σ̂ (a_{n+1})

Por (5) y (12), tenemos

σ̂(a_{0}da_{1} ⋯ da_{n} ∘ a_{n+1})) =
= σ̂(a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}a_{n+1}
−(−1)^{n}da_{0}da_{1} ⋯ da_{n}da_{n+1})
= σ̂((−1)^{n}a_{0}a_{1}da_{2} … da_{n+1}+

∑_{i=1}^{n}(−1)^{n−i}a_{0}da_{1} … d(a_{i}a_{i+1}) … da_{n+1}

+(−1)^{n+1}da_{0}da_{1} ⋯ da_{n}da_{n+1})

= (−1)^{n}σ_{0}(a_{0}a_{1})σ_{1}(a_{2}) … σ_{1}(a_{n+1})+

∑_{i=1}^{n}(−1)^{n−i}σ_{0}(a_{0})σ_{1}(a_{1}) … σ_{1}(a_{i}a_{i+1}) … σ_{1}(a_{n+1})

+(−1)^{n+1}σ_{1}(a_{0})σ_{1}(a_{1}) ⋯ σ_{1}(a_{n+1})

Queremos probar que

σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) ⋯ σ_{1} (a_{n}) σ_{0} (a_{n+1})
= (−1)^{n} σ_{0} (a_{0}a_{1}) σ_{1} (a_{2}) … σ_{1} (a_{n+1}) +

∑_{i=1}^{n} (−1)^{n−i} σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) … σ_{1} (a_{i}a_{i+1}) … σ_{1} (a_{n+1})

+ (−1)^{n+1} σ_{1} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) ⋯ σ_{1} (a_{n+1})

Probemos esto por inducción en n utilizando las fórmulas (17). Para n = 1 se tiene:

−σ_{0} (a_{0}a_{1}) σ_{1} (a_{2}) + σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}a_{2}) + σ_{1} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) σ_{1} (a_{2}) =
= −σ_{0} (a_{0}) σ_{0} (a_{1}) σ_{1} (a_{2}) − σ_{1} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) σ_{1} (a_{2})
+σ_{0} (a_{0}) σ_{0} (a_{1}) σ_{1} (a_{2}) +
+σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) σ_{0} (a_{2}) + σ_{1} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) σ_{1} (a_{2}) =
= σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) σ_{0} (a_{2})

Suponemos ahora que está probado para n − 1 y lo probamos para n.

(−1)^{n} σ_{0} (a_{0}a_{1}) σ_{1} (a_{2}) … σ_{1} (a_{n+1})

+ ∑_{i=1}^{n} (−1)^{n−i} σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) … σ_{1} (a_{i}a_{i+1}) … σ_{1} (a_{n+1}) +

+ (−1)^{n+1} σ_{1} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) ⋯ σ_{1} (a_{n+1}) = = (−1)^{n} σ_{0} (a_{0}a_{1}) σ_{1} (a_{2}) … σ_{1} (a_{n+1})

+ ∑_{i=1}^{n−1} (−1)^{n−i} σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) … σ_{1} (a_{i}a_{i+1}) … σ_{1} (a_{n+1}) +

+σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) … σ_{1} (a_{n}a_{n+1}) + (−1)^{n+1} σ_{1} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) ⋯ σ_{1} (a_{n+1}) = = (−1)^{n} σ_{0} (a_{0}a_{1}) σ_{1} (a_{2}) … σ_{1} (a_{n+1}) +

+ ∑_{i=1}^{n−1} (−1)^{n−i} σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) … σ_{1} (a_{i}a_{i+1}) … σ_{1} (a_{n+1}) +

+σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) … σ_{0} (a_{n}) σ_{1} (a_{n+1}) +σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) … σ_{1} (a_{n}) σ_{0} (a_{n+1}) + + (−1)^{n+1} σ_{1} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) ⋯ σ_{1} (a_{n+1}) = = −[(−1)^{n} σ_{0} (a_{0}a_{1}) σ_{1} (a_{2}) … σ_{1} (a_{n}) +

+ ∑_{i=1}^{n−1} (−1)^{n−1−i} σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) … σ_{1} (a_{i}a_{i+1}) … σ_{1} (a_{n}) +

+ (−1)^{n} σ_{1} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) ⋯ σ_{1} (a_{n})]σ_{1} (a_{n+1}) +

+σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) …

σ_{0} (a_{n}) σ_{1} (a_{n+1}) + σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) … σ_{1} (a_{n}) σ_{0} (a_{n+1}) =

= −σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) … σ_{1} (a_{n−1}) σ_{0} (a_{n}) σ_{1} (a_{n+1}) + +σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) … σ_{0} (a_{n}) σ_{1} (a_{n+1}) +σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) … σ_{1} (a_{n}) σ_{0} (a_{n+1}) = = σ_{0} (a_{0}) σ_{1} (a_{1}) … σ_{1} (a_{n}) σ_{0} (a_{n+1})

Con esto queda probado que σ̂ es morfismo.□

3.4. El álgebra Q_{K}A

Ahora consideramos el álgebra Q_{K}A, que se define como el coproducto A ∗_{K} A, que viene equipado con dos K−morfismos canónicos i, i^{γ} de A en Q_{K}A que son el par universal de morfismos de A a otra álgebra. Esto significa que dados dos K-morfismos f, g : A ⟶ R, donde R es K−álgebra, existe un único morfismo de K−álgebras h : A ∗_{K} A ⟶ R que hace conmutar el siguiente diagrama

A ∗_{K} A ⟶^{h} R
i, i^{γ} ↑ ↗ f, g
A

es decir que h ∘ i = f y h ∘ i^{γ} = g. El álgebra Q_{K}A tiene un automorfismo canónico x ⟼ x^{γ} de orden dos que intercambia i e i^{γ}.

A ∗_{K} A ⟶^{γ} A ∗_{K} A
i, i^{γ} ↑ ↗ i^{γ}, i
A

Definimos en Ω_{K}A el siguiente producto ⋆ : Ω_{K}A × Ω_{K}A ⟶ Ω_{K}A

ω ⋆ η = ωη + c_{|ω|}ωdη, donde c_{|ω|} = \{ \begin{matrix}0 si |ω| par \\ −1 si |ω| impar \end{matrix}  (18)

para elementos homogéneos y el producto en general queda determinado por linealidad.

Lema 14 El producto ⋆ es asociativo.

Demostración:

(ω ⋆ ξ) ⋆ η = (ωξ + c_{|ω|}ωdξ) ⋆ η = ωξ ⋆ η + c_{|ω|}ωdξ ⋆ η =
= ωξη + c_{|ωξ|}ωξdη + c_{|ω|} (ωdξη + c_{|ωdξ|}ωdξdη) =
= ωξη + c_{|ωξ|}ωξdη + c_{|ω|}ωd (ξη) − (−1)^{|ξ|} c_{|ω|}ωξdη
+ c_{|ω|}c_{|ωdξ|}ωdξdη =
= ωξη + c_{|ω|}ωd (ξη) + (c_{|ωξ|} − (−1)^{|ξ|} c_{|ω|}) ωξdη
+ c_{|ω|}c_{|ωdξ|}ωdξdη

ω ⋆ (ξ ⋆ η) = ω ⋆ (ξη + c_{|ξ|}ξdη) = ω ⋆ ξη + ω ⋆ c_{|ξ|}ξdη =
= ωξη + c_{|ω|}ωd (ξη) + c_{|ξ|} (ωξdη + c_{|ω|}ωd (ξdη)) =
= ωξη + c_{|ω|}ωd (ξη) + c_{|ξ|}ωξdη + c_{|ξ|}c_{|ω|}ωdξdη

Ambas cosas coinciden si vemos que c_{|ωξ|}−(−1)^{|ξ|} c_{|ω|} = c_{|ξ|} y que c_{|ω|}c_{|ωdξ|} = c_{|ξ|}c_{|ω|}. Para ver la primera igualdad, si ω tiene orden par queda c_{|ωξ|} = c_{|ξ|} y |ωξ| va a tener la misma paridad que |ξ| . Si el orden de ω es impar, tenemos c_{|ωξ|} + (−1)^{|ξ|} = c_{|ξ|}. Si |ξ| es par, los dos términos dan 0, si |ξ| es impar, los dos términos dan −1. La segunda igualdad es trivial si |ω| es par, si ω tienen orden impar, queda por ver c_{|ωdξ|} = c_{|ξ|}. Pero esto vale porque dξ y ξ tienen paridad distinta.□

Podemos definir los siguientes morfismos de A en (Ω_{K}A, ⋆):

∂_{0} (a) = a  (19)
∂_{1} (a) = a + da

Para ver que ∂_{1} es morfismo, veamos que

(a + da) ⋆ (b + db) = ab + adb + dab − dadb + dadb − dad^{2}b =
= ab + d (ab)

Proposición 15 Ω_{K}A con el producto ⋆ es isomorfo a A ∗_{K} A. Más aún, si llamamos q_{K}A al núcleo del morfismo canónico μ : Q_{K}A ⟶ A, que manda i e i^{γ} a id_{A}.

q_{K}A ↪ A ∗_{K} A ⟶^{μ}  A
i, i^{γ} ↑ ↗ id_{A}, id_{A}
A

este isomorfismo identifica ⟨q_{K}A⟩^{n} con ⨁_{k≥n} Ω_{K}^{k}A, y el álgebra graduada asociada es isomorfa a Ω_{K}A con el producto de formas usual.

Demostración: Veamos que (Ω_{K}A, ⋆) tiene la propiedad universal de A ∗_{K} A. Debemos definir dos morfismos de A en Ω_{K}A. Tomemos los

morfismos ∂_{0} y ∂_{1} definidos en (19).

Supongamos ahora que hay dos morfismos f_{0}, f_{1} : A ⟶ R, donde R es un K−álgebra. Debemos ver que existe φ : Ω_{K}A ⟶ R tal que el siguiente diagrama conmuta

Ω_{K}A ⟶^{φ} R
∂_{0}, ∂_{1} ↑ ↗ f_{0}, f_{1}
A

es decir φ ∘ ∂_{0} = f_{0} y φ ∘ ∂_{1} = f_{1}. Llamamos g = f_{1} − f_{0} y definimos φ (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}) = f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n}) . Tenemos que (φ ∘ ∂_{0}) (a) = φ (a) = f_{0} (a) y (φ ∘ ∂_{1}) (a) = φ (a + da) = f_{0} (a)+g (a) = f_{1} (a) , por lo tanto φ hace conmutar el diagrama. Veamos ahora que φ es morfismo. Tenemos que

g (ab) = (f_{1} − f_{0}) (ab) = f_{1} (a) f_{1} (b) − f_{0} (a) f_{0} (b) =
= (f_{1} − f_{0}) (a) f_{0} (b) + f_{1} (a) (f_{1} − f_{0}) (b) =
= g (a) f_{0} (b) + f_{1} (a) g (b)

Para ver que φ es morfismo, debemos ver que

φ (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n} ⋆ da_{n+1}) = φ (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}) φ (da_{n+1})

y que

φ (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n} ⋆ a_{n+1}) = φ (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}) φ (a_{n+1})

Es decir que

φ (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n} ⋆ da_{n+1}) = f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n}) g (a_{n+1})
φ (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n} ⋆ a_{n+1}) = f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n}) f_{0} (a_{n+1})

La primera de estas identidades se puese ver fácilmente, porque

a_{0}da_{1} ⋯ da_{n} ⋆ da_{n+1} = a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}da_{n+1}

entonces

φ (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n} ⋆ da_{n+1}) =φ (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}da_{n+1})
=f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n}) g (a_{n+1})

Para probar la segunda identidad, observemos que por (5) y (18), tenemos

φ(a_{0}da_{1} ⋯ da_{n} ⋆ a_{n+1}) = φ(a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}a_{n+1}

+c_{|n|}da_{0}da_{1} ⋯ da_{n}da_{n+1}) =
= φ((−1)^{n}a_{0}a_{1}da_{2} … da_{n+1}

+ ∑_{i=1}^{n}(−1)^{n−i}a_{0}da_{1} … d(a_{i}a_{i+1}) … da_{n+1}

+c_{n}da_{0}da_{1} ⋯ da_{n}da_{n+1}) =

= (−1)^{n}f_{0}(a_{0})f_{0}(a_{1})g(a_{2}) … g(a_{n+1})

+ ∑_{i=1}^{n}(−1)^{n−i}f_{0}(a_{0})g(a_{1}) … g(a_{i}a_{i+1}) … g(a_{n+1})

+c_{|n|}g(a_{0})g(a_{1}) ⋯ g(a_{n+1})

Queremos probar que

f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n}) f_{0} (a_{n+1}) =

(−1)^{n} f_{0} (a_{0}) f_{0} (a_{1}) g (a_{2}) … g (a_{n+1}) +

∑_{i=1}^{n} (−1)^{n−i} f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) … g (a_{i}a_{i+1}) … g (a_{n+1})

+c_{|n|}f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n+1})

Probemos esto por inducción en n utilizando las fórmulas (17). Para n = 1 se tiene:

−f_{0} (a_{0}) f_{0} (a_{1}) g (a_{2}) + f_{0} (a_{0}) g (a_{1}a_{2}) + g (a_{0}) g (a_{1}) g (a_{2}) =

= −f_{0} (a_{0}) f_{0} (a_{1}) g (a_{2}) + f_{0} (a_{0}) f_{0} (a_{1}) g (a_{2})
+f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) f_{1} (a_{2}) +
+g (a_{0}) g (a_{1}) g (a_{2}) =
= f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) f_{0} (a_{2})

Suponemos ahora que está probado para n − 1 y lo probamos para n

(−1)^{n} f_{0} (a_{0}) f_{0} (a_{1}) g (a_{2}) … g (a_{n+1})

+ ∑_{i=1}^{n} (−1)^{n−i} f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) … g (a_{i}a_{i+1}) … g (a_{n+1}) +

+c_{n}g (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n+1}) =
= (−1)^{n} f_{0} (a_{0}) f_{0} (a_{1}) g (a_{2}) … g (a_{n+1})

+ ∑_{i=1}^{n−1} (−1)^{n−i} f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) … g (a_{i}a_{i+1}) … g (a_{n+1}) +

+c_{n−1}f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n+1}) − c_{n−1}f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n+1}) +

+f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) … g (a_{n}a_{n+1}) + c_{n}g (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n+1}) =

= (−1)^{n} f_{0} (a_{0}) f_{0} (a_{1}) g (a_{2}) … g (a_{n+1}) +

+ ∑_{i=1}^{n−1} (−1)^{n−i} f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) … g (a_{i}a_{i+1}) … g (a_{n+1}) +

+c_{n−1}f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n+1}) − c_{n−1}f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n+1}) + +f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) … f_{0} (a_{n}) g (a_{n+1}) + f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) … g (a_{n}) f_{1} (a_{n+1}) +

+c_{n}g (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n+1}) =

= −[(−1)^{n−1} f_{0} (a_{0}) f_{0} (a_{1}) g (a_{2}) … g (a_{n}) +

+ ∑_{i=1}^{n−1} (−1)^{n−1−i} f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) … g (a_{i}a_{i+1}) … g (a_{n}) +

+c_{n−1}f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n})]g (a_{n+1}) +
+c_{n−1}f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n+1}) + c_{n}f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n+1}) +

+f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) … f_{0} (a_{n}) g (a_{n+1}) + f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) … g (a_{n}) f_{1} (a_{n+1}) =

= −f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) … g (a_{n−1}) f_{0} (a_{n}) g (a_{n+1}) +

c_{n−1}f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n+1}) + c_{n}f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n+1}) +

+f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) … f_{0} (a_{n}) g (a_{n+1}) + f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) … g (a_{n}) f_{1} (a_{n+1}) =

= c_{n−1}f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n+1}) + c_{n}f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n+1}) +

+f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) … g (a_{n}) f_{1} (a_{n+1}) =

= −f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) ⋯ g (a_{n+1}) + f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) … g (a_{n}) f_{1} (a_{n+1}) = = f_{0} (a_{0}) g (a_{1}) … g (a_{n}) f_{0} (a_{n+1})

Con esto queda probado que φ es morfismo y por lo tanto que (Ω_{K}A, ⋆) tiene la propiedad universal de

A ∗_{K} A. Veamos ahora la afirmación sobre los ideales.

Identifiquemos ahora Q_{K}A con Ω_{K}A por medio del isomorfismo y comparemos q_{K}A^{n} con G^{n} = ⨁_{k≥n} Ω_{K}^{k}A. Con esta identificación da_{1} ⟷ (∂_{0} − ∂_{1}) (a_{1}) ∈ q_{K}A. Entonces tenemos que Ω_{K}^{k}A ⊂ q_{K}A^{n} para k ≥ n, entonces G^{n} ⊂ q_{K}A^{n}. Ahora G^{p}G^{q} ⊂ G^{p+q} por la definición del producto ⋆, y tenemos q_{K}A = G^{1}, dado que el cociente de Q_{K}A por cualquiera de los dos es A. Entonces q_{K}A^{n} = (G^{1})^{n} ⊂ G^{n}, lo que prueba que q_{K}A^{n} = G^{n} como habíamos afirmado. Para la afirmación sobre el álgebra graduada asociada basta observar que q_{K}A^{n}/q_{K}A^{n+1} = G^{n}/G^{n+1} = Ω_{K}^{n}A.

Lema 16 Si 2 es inversible en K, es equivalente tener en una K−álgebra S un automorfismo de orden 2 o una graduación ℤ_{2}.

Demostración: Si tenemos en S un automorfismo γ de orden 2, llamamos S^{0} al espacio de autovectores de autovalor 1 y S^{1} al espacio de autovectores de autovalor −1. Tenemos que S = S^{0} ⊕ S^{1}, y si tenemos el producto de dos elementos homogéneos del mismo orden s y t, γ (st) = st, y si s y t son de orden distinto γ (st) = −st, es decir que esta es una graduación ℤ_{2}.

Si tenemos ua graduación ℤ_{2} en S, S = S^{0}⊕S^{1}, definimos el automorfismo γ (s_{0} + s_{1}) = s_{0}−s_{1}. El hecho de tener una graduación ℤ_{2} hace que γ sea morfismo, en efecto tenemos que γ ((s_{0} + s_{1}) (t_{0} + t_{1})) = γ (s_{0}t_{0} + s_{1}t_{1} + s_{0}t_{1} + s_{1}t_{0}) = s_{0}t_{0}+s_{1}t_{1}−(s_{0}t_{1} + s_{1}t_{0}) y γ (s_{0} + s_{1}) γ (t_{0} + t_{1}) = (s_{0} − s_{1}) (t_{0} − t_{1}) = s_{0}t_{0}+ s_{1}t_{1} − (s_{0}t_{1} + s_{1}t_{0}) .□

Corolario 17 Si 2 es inversible en K, las álgebras S_{K}A y Q_{K}A son isomorfas.

4. Cohomología de Hochschild

En esta sección discutimos la relación entre las formas diferenciales y la cohomología de Hochschild relativas a un morfismo K → A, y definimos las álgebras casi libres.

4.1. La resolución estándar

Si ϕ : K ⟶ A es morfismo, decimos que un A−bimódulo M es inducido por ϕ si es de la forma A⊗_{K}N ⊗_{K}A, con N un K−bimódulo. Esto es lo mismo que decir que M es un A ⊗ A^{op}−módulo inducido por K ⊗ K^{op} ⟶ A ⊗ A^{op}. Notemos que con esta definición, todo bimódulo inducido por ϕ : K ⟶ A es también inducido sobre K respecto a los K−morfismos A ⊗ K^{op} ⟶ A ⊗ A^{op} y K ⊗ A^{op} ⟶ A ⊗ A^{op}. Consideramos la resolución estándar de A por bimódulos inducidos

⟶^{b′} A ⊗_{K} (A/K)^{⊗_{K}2} ⊗_{K} A ⟶^{b′} A ⊗_{K} (A/K) ⊗_{K} A ⟶^{b′}

A ⊗_{K} A ⟶^{b′} A ⟶ 0 (20)

b′ (a_{0,} ⋯, a_{n+1}) = ∑_{i=0}^{n} (−1)^{i} (a_{0}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{n+1})  (21)

Esta es una resolución proyectiva relativa a K ⊗ K^{op} ⟶ A ⊗ A^{op}.

Hagamos la identificación

\begin{matrix}A ⊗_{K} \overline{A}^{⊗_{K}n} ⊗_{K} A = Ω_{K}^{n}A ⊗_{K} A \\ (a_{0,} ⋯, a_{n+1}) ⟷ a_{0}da_{1} ⋯ da_{n} ⊗_{K} da_{n+1} \end{matrix}  (22)

y calculemos el operador que corresponde a b′ en Ω_{K}A ⊗_{K} A. Usando la identidad

a_{0}a_{1}da_{2} ⋯ da_{n} + ∑_{i=1}^{n−1} (−1)^{i} a_{0}da_{1} ⋯ d (a_{i}a_{i+1}) ⋯ da_{n} =  (23)
= (−1)^{n−1} a_{0}da_{1} ⋯ da_{n−1}a_{n}

para n ≥ 1, la suma de los términos para 0 ≤ i < n en (21) se transforma en

(−1)^{n−1} a_{0}da_{1} ⋯ da_{n−1}a_{n} ⊗_{K} a_{n+1}

con nuestra identificación, Entonces b′ queda

b′ (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n+1}) = (−1)^{n−1} a_{0}da_{1} ⋯ da_{n−1}a_{n} ⊗_{K} a_{n+1}+
+ (−1)^{n} a_{0}da_{1} ⋯ da_{n−1} ⊗_{K} a_{n}a_{n+1}

que podemos escirbir simplemente

b′ (ωda ⊗_{K} a′) = (−1)^{|ω|} (ωa ⊗_{K} a′ − ω ⊗_{K} aa′)  (24)

Entonces podemos describir a la resolución estándar como el complejo que consiste en los bimódulos inducidos Ω_{K}^{n}A ⊗_{K} A para n ≥ 0, y 0 para n < 0, equipados con el diferencial b′ dado por (24). Además tenemos el morfismo de multiplicación m : A ⊗_{K} A ⟶ A, que podemos ver como un morfismo de este complejo en A visto como un complejo soportado en grado cero.

⟶^{b′} A ⊗_{K} \overline{A}^{⊗_{K}2} ⊗_{K} A ⟶^{b′} A ⊗_{K} \overline{A} ⊗_{K} A ⟶^{b′} A ⊗_{K} A
m ↕ i
⟶  0  ⟶  0  ⟶  A

Tenemos que m es una equivalencia homotópica. Esto se prueba por medio de dos homotopías estándar en las cuales insertamos un uno con el signo apropiado. En nuestra notación para formas diferenciales la homotopía K ⊗ A^{op}−lineal está dada por la sección K ⊗ A^{op}−lineal de m, i (a) = 1 ⊗_{K} a con el operador de homotopía d ⊗_{K} 1 en Ω_{K}A ⊗_{K} A. Más precisamente tenemos

b′ (d ⊗_{K} 1) + (d ⊗_{K} 1) b′ = 1

en los grados positivos y b′ (d ⊗_{K} 1) + im = 1 en grado cero. Para verificar esto, tomemos ωda ∈ Ω_{K}^{n}A, a′ ∈ A. Por (24)

(b′_{n+1} (d ⊗_{K} 1) + (d ⊗_{K} 1) b′_{n}) (ωda ⊗ a′) =
= b′_{n+1} (dωda ⊗ a′) + (d ⊗_{K} 1) (−1)^{n−1} (ωa ⊗ a′ − ω ⊗ aa′) =
= (−1)^{n} (dωa ⊗ a′ − dω ⊗ aa′)
+ (−1)^{n−1} (d (ωa) ⊗ a′ − dω ⊗ aa′) =
= (−1)^{n−1} (−1)^{n−1} ωda ⊗ a′ = ωda ⊗ a′

En grado cero se tiene:

(b′ (d ⊗_{K} 1) + im) (a ⊗ a′) = b′ (da ⊗ a′) + i (aa′) =
= a ⊗ a′ − 1 ⊗ aa′ + 1 ⊗ aa′ = a ⊗ a′

Observación 18 De manera similar se puede ver que la equivalencia homotópica A ⊗ K−lineal está dada por la sección de m, a ⟼ a ⊗ 1 junto con la homotopía en Ω_{K}A ⊗_{K} A dada por

ω ⊗ a ⟼ (−1)^{|ω|+1} ωda ⊗ 1

Así podemos ver a (20) como una resolución proyectiva relativa tanto a A ⊗ K^{op} ⟶ A ⊗ A^{op} y K ⊗ A^{op} ⟶ A ⊗ A^{op} como a K ⊗ K^{op} ⟶ A ⊗ A^{op}.

4.2. Cocadenas

Recordemos que un A− bimódulo es lo mismo que un módulo sobre el álgebra envolvente A^{e} = A ⊗ A^{op}, y que los grupos de la cohomología de Hochschild de A con coeficientes relativa a K → A en el bimódulo M pueden definirse como los grupos Ext relativos

H_{K}^{i} (A, M) := Ext_{A^{e}/K⊗A^{op}}^{i} (A, M) = Ext_{A^{e}/K^{e}}^{i} (A, M)

Para los grupos Ext relativos ver el Apéndice.

Sea C_{K}^{n} (A, M) = Hom_{K^{e}} ((A/K)^{⊗_{K}n} , M) . Por la observación, el complejo C_{K}^{∗} (A, M) calcula tanto los grupos Ext_{A^{e}/K⊗A^{op}}^{i} (A, M) como los grupos Ext_{A^{e}/A⊗K^{op}}^{i} (A, M) .

Definimos el diferencial del complejo C_{K}^{∗} (A, M) como sigue:

(δf) (a_{1}, ⋯, a_{n+1}) = a_{1}f (a_{2,} ⋯, a_{n+1}) +  (25)

+ ∑_{i=1}^{n} (−1)^{i} f (a_{1}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{n+1})

+ (−1)^{n+1} f (a_{1}, ⋯, a_{n}) a_{n+1}

Observemos que (δf) (a_{1}, ⋯, a_{n+1}) = f ∘ b′ (a_{1}, ⋯, a_{n+1}) .

Dado un A− bimódulo M, como A es K−álgebra, M también es K− bimódulo. Sea

M_{K}^{♮} = {x ∈ M/sx = xs, ∀s ∈ K}  (26)

el centro de M como K− bimódulo. Los elementos de

Hom_{K^{e}}(K, M) quedan determinados por su valor en 1. Si f (1) = m, como f es de K−bimódulos tiene que valer sf (1) = f (s) = f (1) s, por lo tanto tiene que ser sm = ms, es decir m ∈ M_{K}^{♮}. Tenemos

C_{K}^{0} (A, M) = Hom_{K^{e}} (K, M) = M_{K}^{♮}  (27)

Calculemos H_{K}^{0} (A, M) . Esto se define como ker (δ_{0}) , o sea los f ∈ Hom_{K^{e}} (K, M) tal que δ_{0}f (a) = 0 para todo a ∈ A, es decir los f tales que af (1)−f (1) a = 0, que se puede identificar con M_{A}^{♮}.

Calculemos ahora H_{K}^{1} (A, M) = ker (δ_{1}) / Im (δ_{0}) .

δ_{1}f (a_{1}, a_{2}) = a_{1}f (a_{2}) − f (a_{1}a_{2}) + f (a_{1}) a_{2}

Entonces el núcleo de δ_{1} es

{f : A/K ⟶ M/f (a_{1}a_{2}) = f (a_{1}) a_{2} + a_{1}f (a_{2})} = Der_{K} (A/K, M) = Der_{K} (A, M)

La imagen de δ_{0} es

δ_{0}f (a) = af (1) − f (1) a

Las K− derivaciones f : A ⟶ M que son de la forma

f (a) = am − ma.

se llaman derivaciones interiores, y se notan DerInt_{K} (A, M) . Entonces tenemos

Im (∂_{0}) = {f : A/K ⟶ M/f (a) = am − ma
para algún m ∈ M_{K}^{♮}}
= DerInt_{K} (A, M)

Por lo tanto H_{K}^{1} (A/K, M) = Der_{K} (A, M) /DerInt_{K} (A, M) .

En las cocadenas podemos definir el siguiente producto cup. Dados f ∈ C_{K}^{p} (A, M) y g ∈ C_{K}^{q} (A, N) y un morfismo de bimódulos M ⊗_{A} N ⟶ L, m ⊗ n ⟼ m · n, el producto cup f ∪ g ∈ C_{K}^{p+q} (A, L) se define como

(f ∪ g) (a_{1}, ⋯, a_{p+q}) = f (a_{1}, ⋯, a_{p}) · g (a_{p+1}, ⋯, a_{p+q})  (28)

Lema 19 Tenemos

δ (f ∪ g) = δf ∪ g + (−1)^{|f|} f ∪ δg  (29)

En particular el producto cup de cociclos es un cociclo.

Demostración: δ (f ∪ g) (a_{1}, ⋯, a_{p+q+1}) = a_{1} (f ∪ g) (a_{2}, ⋯, a_{p+q+1}) +

+ ∑_{i=1}^{p+q} (−1)^{i} (f ∪ g) (a_{1}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{p+q+1}) +

+ (−1)^{p+q+1} (f ∪ g) (a_{1}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{p+q+1}) = = a_{1}f (a_{2}, ⋯, a_{p+1}) · g (a_{p+2}, ⋯, a_{p+q+1}) +

+ ∑_{i=1}^{p} (−1)^{i} f (a_{1}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{p+1}) · g (a_{p+2}, ⋯, a_{p+q+1}) +

+ ∑_{i=1}^{q+p} (−1)^{i} f (a_{1}, ⋯, a_{p+1}) · g (a_{p+2}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{p+q+1}) +

+ (−1)^{p+q+1} f (a_{1}, ⋯, a_{p+1}) · g (a_{p+2}, ⋯, a_{p+q}) a_{p+q+1} =

= [a_{1}f (a_{2,} ⋯, a_{p+1}) + ∑_{i=1}^{p} (−1)^{i} f (a_{1}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{p+1})

+ (−1)^{p+1} f (a_{1}, ⋯, a_{p}) a_{p+1}]·
·g (a_{p+2}, ⋯, a_{p+q+1}) +
+ (−1)^{p} f (a_{1}, ⋯, a_{p}) ·
·[a_{p+1}g (a_{p+2,} ⋯, a_{p+q+1})

+ ∑_{i=p+1}^{p+q} (−1)^{i−p} g (a_{p+1}, ⋯, a_{i}a_{i+1}, ⋯, a_{p+q+1}) +

+ (−1)^{q+1} g (a_{p+1}, ⋯, a_{p+q}) a_{p+q+1}]

= (δf ∪ g + (−1)^{|f|} f ∪ δg) (a_{1}, ⋯, a_{p+q+1}) □

Ejemplo 20 La cocadena

(a_{1}, ⋯, a_{n}) ⟼ da_{1} ⋯ da_{n} ∈ Ω^{n}A

es el producto d^{∪n} de d. Como d es un 1-cociclo (=K-derivación), se sigue que d^{∪n} es un n− cociclo. De hecho d^{∪n} es el n− cociclo universal con valores en un bimódulo de la misma forma que d es el 1-cociclo uniersal, como veremos ahora.

Proposición 21 Si f es un n− cociclo con valores en M, entonces hay un único morfismo de bimódulos \overline{f} : Ω_{K}^{n}A ⟶ M tal que \overline{f} (da_{1} ⋯ da_{n}) = f (a_{1} ⋯ a_{n}) .

Demostración: Veamos primero la unicidad. Supongamos que tenemos dos morfismos de bimódulos \overline{f} y \overline{g} con esta propiedad.

(A/K)^{⊗_{K}n}  ⟶^{f} M
d^{∪n} ↓  ↗ \overline{f}, \overline{g}
A ⊗_{K} (A/K)^{⊗_{K}n}
\overline{g} (da_{1} ⋯ da_{n}) = f (a_{1}, ⋯, a_{n}) = \overline{f} (da_{1} ⋯ da_{n}) ⟹ \overline{f} = \overline{g}

Además \overline{f} es de A− módulos a izquierda con esta propiedad, así que alcanza mostrar que \overline{f} es compatible con el producto a derecha si f es un cociclo. Usando la identidad (23) reemplazando n por n + 1, tenemos

\overline{f} (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}a_{n+1}) − \overline{f} (a_{0}da_{1} ⋯ da_{n}) a_{n+1} = (−1)^{n} a_{0} (δf) (a_{1}, ⋯, a_{n+1}) (30)

por lo tanto eso está claro.□

4.3. Extensiones de cuadrado cero

Por una extensión de cuadrado cero de A, entendemos una extensión A = R/I tal que I^{2} = 0 con una sección de K− bimódulos σ : A ⟶ R. En esta situación I es naturalmente un bimódulo sobre A. Para ver esto supongamos a = i + r, a′ = i′ + r′, con i, i′ ∈ I, r, r′ ∈ R. Si j ∈ I, debe valer

(aa′) j = a (a′j)

Como I^{2} = 0, tenemos que

aa′ = ir′ + ri′ + rr′

y por lo tanto

(aa′) j = ir′j + ri′j + rr′j = ir′j + rr′j

Por otro lado

a (a′j) = a (i′j + r′j) = ar′j = ir′j + rr′j

Amabas cosas coinciden, por lo tanto I es A− módulo a izquierda. De forma análoga podemos ver que I es A− módulo a derecha.

Consideremos ahora las extensiones de cuadrado cero de A por un bimódulo fijo M. Un resultado básico de la cohomología de Hoschild identifica las clases de isomorfismos de estas extensiones con elementos de H_{K}^{2} (A, M) cuando K es conmutativo y central. Ahora veremos que el mismo resultado vale en general.

Decimos que dos extensiones de cuadrado cero son equivalentes si existe un isomorfismo α : E ⟶ E′ tal que el siguiente diagrama conmuta

0 ⟶ M ⟶ E ⟶ A ⟶ 0
∥ ↓ α ∥
0 ⟶ M ⟶ E′ ⟶ A ⟶ 0

Por definición tenemos que

H_{K}^{2} (A, M) = ker (δ_{2}) / Im (δ_{1})

δ_{2}f(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = a_{1}f(a_{2}, a_{3}) − f(a_{1}a_{2}, a_{3})

+ f(a_{1}, a_{2}a_{3}) − f(a_{1}, a_{2})a_{3}

Ya vimos antes cómo era la imagen de ∂_{1}, por lo tanto tenemos que

H_{K}^{2} (A, M) = \frac{ker δ_{2}}{δ_{1}(C(A, M))}

Las extensiones de cuadrado cero A por M son las sucesiones exactas de A− bimódulos que se escinden como sucesiones de K−bimódulos

0 ⟶ M ⟶ E ⇄^{π}_{σ} A ⟶ 0

Si esta sucesión se escinde como sucesión de K−bimódulos, tenemos σ : A ⟶ E y una descomposición de E como producto semidirecto

E ≃ A ⋉ M
e ⟼ (πe, e − σπe)

y además σ (1_{A}) = 1_{E}. Si llamamos f (a_{1}, a_{2}) = σ (a_{1}a_{2}) − σ (a_{1}) σ (a_{2}) , tenemos el producto

(a_{1}, m_{1}) (a_{2}, m_{2}) = (a_{1}a_{2}, a_{1}m_{2} + m_{1}a_{2} + f (a_{1}, a_{2}))  (31)

Como σ es K− lineal, tenemos para s, t ∈ K,

f (sa_{1}, a_{2}t) = σ (sa_{1}a_{2}t) − σ (sa_{1}) σ (a_{2}t) =
= sσ (a_{1}a_{2}) t − sσ (a_{1}) σ (a_{2}) t =
= sf (a_{1}, a_{2}) t

y

f (a_{1}, sa_{2}) = σ (a_{1}sa_{2}) − σ (a_{1}) σ (sa_{2}) =
= σ (a_{1}sa_{2}) − σ (a_{1}) sσ (a_{2}) =
= σ (a_{1}sa_{2}) − σ (a_{1}s) σ (a_{2}) =
= f (a_{1}s, a_{2})

Para que el producto sea asociativo debe valer la siguiente igualdad para f

a_{1}f (a_{2}, a_{3}) − f (a_{1}a_{2}, a_{3}) + f (a_{1}, a_{2}a_{3}) − f (a_{1}, a_{2}) a_{3} = 0  (32)

Esto se ve haciendo

((a_{1}, m_{1}) (a_{2}, m_{2})) (a_{3}, m_{3}) =
(a_{1}a_{2}, a_{1}m_{2} + m_{1}a_{2} + f (a_{1}, a_{2})) (a_{3}, m_{3})
= (a_{1}a_{2}a_{3}, a_{1}a_{2}m_{3} + a_{1}m_{2}a_{3} + m_{1}a_{2}a_{3} + f (a_{1}, a_{2}) a_{3} + f (a_{1}a_{2}, a_{3}))

Por otro lado

(a_{1}, m_{1}) ((a_{2}, m_{2}) (a_{3}, m_{3}))
= (a_{1}, m_{1}) (a_{2}a_{3}, a_{2}m_{3} + m_{2}a_{3} + f (a_{2}, a_{3}))
= (a_{1}a_{2}a_{3}, a_{1}a_{2}m_{3} + a_{1}m_{2}a_{3} + m_{1}a_{2}a_{3} + a_{1}f (a_{2}, a_{3}) + f (a_{1}, a_{2}a_{3}))

Igualando ambos resultados vemos que f debe satisfacer (32) para que el producto sea asociativo. Por lo tanto dada una extensión de cuadrado cero de A por M que se escinde como sucesión de K−bimódulos tenemos una f ∈ ker (δ_{2}).

Recíprocamente, si f ∈ ker (δ_{2}), podemos obtener una extensión de cuadrado 0 que se escinde como sucesión de K−bimódulos con una sección basada K− lineal

0 ⟶ M ⟶ A ⋉ M ⟶ A ⟶ 0

con el producto definido en (31). Con esto vemos que ker (δ_{2}) se puede identificar con las extensiones de A de cuadrado 0 que se escinden como de K−bimódulos junto con una sección lineal basada.

Veamos ahora que dos extensiones relativas a K ⟶ A de cuadrado 0 de A son equivalentes si y sólo si f ∈ Im (δ_{1}). Si tenemos otra elección σ′ : A ⟶ E′ como en el diagrama que sigue, con su morfismo f′ asociado, vemos que

0 ⟶ M ⟶ E ⇆^{σ} A ⟶ 0
∥ ↓ α ∥
0 ⟶ M ⟶ E′ ⇄_{σ′} A ⟶ 0

f′ (a_{1}, a_{2}) − f (a_{1}, a_{2}) = σ′ (a_{1}) σ′ (a_{2}) − σ′ (a_{1}a_{2}) − σ (a_{1}) σ (a_{2})
+ σ (a_{1}a_{2})
= σ′ (a_{1}) (σ′ − σ) (a_{2}) − (σ′ − σ) (a_{1}a_{2})
+ (σ′ − σ) (a_{1}) σ (a_{2})
= ∂_{1} (σ − σ′) (a_{1}, a_{2})

Es decir que f y f′ difieren en un morfismo de la imagen de δ_{1}.

Si por otro lado tenemos dos morfismos f y f′ que difieren en un mor-

fismo g ∈ Im (δ_{1}) , definimos E y E′ como en (31) y α = ( \begin{matrix}1 & g \\ 0 & 1 \end{matrix} ) da la

equivalencia entre ambas extensiones.

Vimos entonces que dos extensiones son equivalentes cuando existe un morfismo g en Hom_{K^{e}} (A, M) tal que f − f′ = ∂f_{1}. O sea que dos morfismos del núcleo de δ_{2} me dan extensiones equivalentes si y sólo si difieren en un morfismo de la imagen de δ_{1}. Con esto queda probada nuestra afirmación.

Observemos que la clase de la extensión

0 ⟶ M ⟶ E ⟶ A ⟶ 0

con E = A ⊕ M, corresponde a f = 0 ∈ Hom_{K^{e}} (A^{⊗2}, M) .

Proposición 22 Las siguientes condiciones son equivalentes:

i) A tiene dimensión cohomológica ≤ 1 con respecto a la cohomología de Hochschild.

ii) Ω_{K}^{1}A es un A−bimódulo proyectivo relativo a K ⊗ K^{op} ⟶ A ⊗ A^{op} iii) Cualquier extensión E de cuadrado cero de A que admite una sección

basada que es morfismo de K− bimódulos, se escinde como extensión de K−álgebras.

Demostración: Si E es una extensión de cuadrado cero de A por M, entonces un K−morfismo lineal l : A ⟶ E que es sección determina un isomorfismo de E con el producto semidirecto A ⋉ M tal que, relativamente a este isomorfismo, l se transforma en la inclusión de A. Si la sección es morfismo de álgebras, el dos cociclo f que define el producto semidirecto es 0. Entonces iii) significa que cada extensión de cuadrado cero es una suma directa, i.e., H_{K}^{2} (A, M) = 0 para todos los bimódulos M. Observemos que A ⊗_{K} A = A ⊗_{K} K ⊗_{K} A = A^{e} ⊗_{K^{e}} K es inducido. De este hecho junto con la sucesión exacta básica (8) y la sucesión exacta larga de los grupos Ext se sigue

0 ⟶ Hom_{A^{e}} (A, M) ⟶ Hom_{A^{e}} (A ⊗_{K} A, M)
⟶ Hom_{A^{e}} (Ω_{K}^{1}A, M) ⟶ Ext_{A^{e}/K^{e}}^{1} (A, M)

⟶ \underbrace{Ext_{A^{e}/K^{e}}^{1} (A ⊗_{K} A, M)}_{=0} ⟶ Ext_{A^{e}/K^{e}}^{1}(Ω_{K}^{1}A, M) →

⟶ Ext_{A^{e}/K^{e}}^{2} (A, M) ⟶ \underbrace{Ext_{A^{e}/K^{e}}^{2} (A ⊗_{K} A, M)}_{=0} ⟶ ⋯

entonces

H_{K}^{i+1} (A, M) = Ext_{A^{e}/K^{e}}^{i+1} (A, M) ≃ Ext_{A^{e}/K^{e}}^{i} (Ω_{K}^{1}A, M)  (33)

tomando i = 1

H_{K}^{2} (A, M) = Ext_{A^{e}/K^{e}}^{2} (A, M) ≃ Ext_{A^{e}/K^{e}}^{1} (Ω_{K}^{1}A, M)

con esto vemos que H_{K}^{2} (A, M) = 0 para todo M si y sólo si el bimódulo Ω_{K}^{1}A es proyectivo relativo a K ⊗ K^{op} ⟶ A ⊗ A^{op}. Por otro lado, la igualdad (33) nos dice que la dimensión cohomológica de A es menor o igual que 1 si y sólo si Ext_{A^{e}/K^{e}}^{i} (Ω_{K}^{1}A, M) = 0 para todo i ≥ 1, es decir si y sólo si el bimódulo Ω_{K}^{1}A es proyectivo relativo a K ⊗ K^{op} ⟶ A ⊗ A^{op}.□

Definición 23 Decimos que A es casi libre relativa a K ⟶ A si satisface alguna de las condiciones de la proposición anterior.

Definición 24 Un álgebra E se dice libre relativa a K ⟶ A si cualquier extensión E de A que admite una sección basada que es morfismo de K− bimódulos, se escinde como extensión de K−álgebras.

Con esto vemos que un álgebra libre relativa a K ⟶ A es casi libre relativa a K ⟶ A.

Intentemos entender las equivalencias ii) y iii) de la proposición 22 en un nivel más concreto. Empezamos relacionando iii) con la extensión universal R_{K}A.

Sea A = E/M una extensión de cuadrado cero, y sea ρ : A ⟶ E una sección K−lineal basada. Por la propiedad universal de R_{K}A, ρ se extiende a un morfismo σ : R_{K}A ⟶ E de extensiones de A, con σρ̂ = ρ . En este diagrama μ es el morfismo que verifica μρ̂ = id_{A}. Recordemos que I_{K}A es el núcleo de μ.

0 ⟶ M ⟶ E ⇆_{π}^{ρ}  A ⟶ 0
σ ↖ μ ↑↓ ρ̂
R_{K}A
↑
I_{K}A

El núcleo del morfismo σ contiene a I_{K}A^{2}. Esto se ve observando que πσ = μ, por lo tanto si tomamos x ∈ I_{K}A, tenemos que πσ (x) = μ (x) = 0, es decir que σ (x) ∈ M. Cuando tomamos xy ∈ I_{K}A^{2}, σ (xy) = σ (x) σ (y) ∈ M^{2} = 0. Esto nos dice que tenemos un morfismo \overline{σ} : R_{K}A/I_{K}A^{2} ⟶ E de K−extensiones de cuadrado cero.

0 ⟶ M ⟶ E ⇆_{π}^{ρ}  A  ⟶ 0
σ ↑  σ ↑  \overline{σ}π ↑
0 ⟶ I_{K}A^{2} ↪ R_{K}A ⟶ R_{K}A/I_{K}A^{2} ⟶ 0

De esta forma podemos ver a R_{K}A/I_{K}A^{2} como la ”K-extensión de cuadrado cero universal equipada con una sección K−lineal basada”de A. Claramente una sección para R_{K}A/I_{K}A^{2} da lugar a una para E. Entonces iii) es equivalente a la existencia de un levantamiento para R_{K}A/I_{K}A^{2}.

Ahora de la proposición 11 tenemos

R_{K}A/I_{K}A^{2} = A ⊕ Ω_{K}^{2}A

con el producto de Fedosov módulo las formas de grado > 2. Una sección K−lineal basada A ⟶ R_{K}A/I_{K}A^{2} tiene la forma a ⟼ a − ϕ (a) , con ϕ : A/K ⟶ Ω^{2}A lineal. Como

(a_{1} − ϕ (a_{1})) ∘ (a_{2} − ϕ (a_{2})) = a_{1}a_{2} − da_{1}da_{2} − a_{1}ϕa_{2} − ϕa_{1}a_{2}

este levantamiento es un morfismo si y sólo si ϕ satisface

ϕ (a_{1}a_{2}) = a_{1}ϕa_{2} + ϕa_{1}a_{2} + da_{1}da_{2}  (34)

o equivalentemente −δϕ = d ∪ d. Entonces iii) es equivalente a que el cociclo d ∪ d sea un coborde. Esto también puede verse del hecho de que d ∪ d es el 2-cociclo universal. Si es un coborde, entonces por la functorialidad todo 2− cociclo es un coborde, entonces H_{K}^{2} (A, M) = 0 para todo M.

Proposición 25 Los datos siguientes son equivalentes:

i) Una cocadena ϕ : \overline{A} ⟶ Ω_{K}^{2}A tal que −δϕ = d ∪ d.

ii) Un morfismo de levantamiento A ⟶ R_{K}A/I_{K}A^{2}.

iii) Una escisión de A− bimódulos de la sucesión exacta

0 ⟶ Ω_{K}^{2}A ⟶^{j} Ω_{K}^{1}A ⊗_{K} A ⟶^{m} Ω_{K}^{1}A ⟶ 0  (35)

donde j (ωda) = ωa ⊗ 1 − ω ⊗ a, m (ω ⊗ a) = ωa.

iv) Un operador ∇_{r} : Ω_{K}^{1}A ⟶ Ω_{K}^{2}A que satisface

∇_{r} (aω) = a∇_{r} (ω) ∇_{r} (ωa) = ∇_{r} (ω) a + ωda  (36)

Demostración: Ya vimos la equivalencia de i) y ii).

Una escisión de A−bimódulos de (35) está dada por una retracción p de j que sea morfismo de A−bimódulos. Como Ω_{K}^{1}A ⊗_{K} A = A ⊗_{K} A/K ⊗_{K} A, un morfismo de A−bimódulos p de Ω_{K}^{1}A ⊗_{K} A a Ω_{K}^{2}A es equivalente a una 1-cocadena ϕ : A/K ⟶ Ω^{2}A via p (a_{0}da_{1} ⊗ a_{2}) = a_{0}ϕa_{1}a_{2}. Tenemos

pj (da_{1}da_{2}) = p (da_{1}a_{2} ⊗ 1 − da_{1} ⊗ a_{2}) =
= p (d (a_{1}a_{2}) ⊗ 1 − a_{1}da_{2} ⊗ 1 − da_{1} ⊗ a_{2}) =
= ϕ (a_{1}a_{2}) − a_{1}ϕa_{2} − ϕa_{1}a_{2}

Entonces pj = 1 si y sólo si ϕ satisface (34), probando la equivalencia de i) y iii).

Un operador lineal ∇_{r} : Ω^{1}A ⟶ Ω^{2}A que conmuta con la multiplicación a izquierda es equivalente a una 1−cocadena ϕ : A/K ⟶ Ω^{2}A via ∇_{r} (a_{0}da_{1}) = a_{0}ϕa_{1}. Tenemos

∇_{r} (da_{1}a) = ∇_{r} (d (a_{1}a) − a_{1}da) = ϕ (a_{1}a) − a_{1}ϕa
∇_{r} (da_{1}) a + da_{1}da = ϕa_{1}a − da_{1}da

entonces ∇_{r} satisface la regla de Leibniz con respecto al producto a derecha si y sólo si

ϕ (a_{1}a) − a_{1}ϕa = ϕa_{1}a − da_{1}da

que es la condición (34). Esto prueba la equivalencia de i) y iv).□ A continuación mostramos algunas porpiedades de las álgebras casi libres.

Proposición 26 i) El coproducto de una familia de álgebras casi libres es casi libre.

ii)Si Σ es un subconjunto del álgebra casi libre A, entonces el álgebra A [Σ^{−1}] obtenida adjuntando formalmente las inversas de los elementos de Σ es casi libre. En particular el álgebra de grupo de un grupo libre es casi libre.

iii)Sea A casi libre y sea N un bimódulo proyectivo relativo sobre A. Entonces el álgebra tensorial T_{A} (N) es casi libre.

iv)El producto A_{1} × A_{2} de dos álgebras casi libres es casi libre.

Demostración: Todas estas propiedades pueden probarse viendo que cualquier K−extensión de cuadrado cero se escinde como sucesión de K−álgebras.

Veamos i). El coproducto de una familia de álgebras A_{i}, i ∈ I, denotado ∗_{K}_{i∈I}A_{i}, tiene la propiedad de que hay K−morfismos μ_{i} : A_{i} ⟶ ∗_{K}_{i∈I}A_{i}, tal

que para cada álgebra A y morfismos f_{i} : A_{i} ⟶ A hay un único morfismo f : ∗_{K}_{i∈I}A_{i} ⟶ A tal que fμ_{i} = f_{i} para todo i. Si tenemos la siguiente situación

E ↓ π

A_{i} ⟶^{μ_{i}} ∗_{K}_{i∈I}A_{i} ⟶ B

↓ 0

con ker (π)^{2} = 0, como A_{i} es casi libre para cada i, tenemos morfismos γ_{i} : A_{i} ⟶ E de K−álgebras. Por la propiedad universal de ∗_{K}_{i∈I}A_{i}, tenemos

un único morfismo γ : ∗_{K}_{i∈I}A_{i} ⟶ E que hace conmutar el diagrama. Ésta es

la sección de K− álgebras buscada.

Para probar ii) tenemos que ver que si tenemos una K-exten-

sión de cuadrado cero de A [Σ^{−1}] , entonces tenemos una sección de K− álgebras. La propiedad universal de A [Σ^{−1}] dice que para cada f : A ⟶ B, con f (Σ) inversible en B, hay un único morfismo \overline{f} : A [Σ^{−1}] ⟶ B que hace conmutar el diagrama

\begin{matrix}A & ⟶^{f} & B \\ γ ↓ & ↗\overline{f} \\ A [Σ^{−1}] \end{matrix}

Supongamos ahora que tenemos una K− extensión de cuadrado cero

E ↓ π

A ⟶^{γ} A [Σ^{−1}] ⟶^{f} B

↓ 0

con ker (π)^{2} = 0. Como A es casi libre, tenemos definida g : A ⟶ E de K− álgebras. Si vemos que g manda a los elementos de Σ a elementos inversibles en E, podemos definir \overline{γ} : A [Σ^{−1}] ⟶ E como queríamos. Tomemos σ ∈ Σ. Como f es morfismo de K− álgebras, f (σ) es inversible en B. Como π es suryectiva, existe ρ tal que π (ρ) = f (σ) . Por otro lado f (σ)^{−1} proviene de un cierto τ. Tenemos que π (ρτ − 1) = f (σ) f (σ)^{−1} −1 = 0 y π (τρ − 1) = f (σ) −1f (σ) − 1 = 0. Por lo tanto ρτ − 1, τρ − 1 ∈ I . Entonces existen i, j ∈ I tales que ρτ = 1 + i y τρ = 1 + j. Como I^{2} = 0, tenemso ρτ (1 − i) = 1 y (1 − j) τρ = 1. Es decir que ρ tiene inversa a izquierda y a derecha, con lo cual es inversible. Esto nos dice que si σ ∈ Σ, f (σ) es inversible en B y proviene de un elemento inversible en E. Como g hace conmutar el diagrama podemos decir que g manda a los elementos de Σ a elementos inversibles en E, que era lo que queríamos ver.

Para probar iii), sea E una K−extensión de cuadrado cero

N  E
i ↘  ↓ π
A ⟶^{μ_{i}} T_{A} (N) ⟶ B

↓ 0

de T_{A} (N) . Como A es casi libre, hay un morfismo de K− álgebras A ⟶ E. Entonces E se transforma en un bimódulo sobre A. Como N es un bimódulo proyectivo, podemos levantar la inclusión N ⟶ T_{A} (N) a un morfismo de A− bimódulos N ⟶ E. Entonces estos levantamientos de A, N combinados con la propiedad universal del álgebra tensorial inducen el morfismo de K− álgebras deseado T_{A} (N) ⟶ E.

Por último veamos iv). Vamos a ver que A_{1} × A_{2} tiene una resolución proyectiva relativa de longitud 1, con lo cual es casi libre. Como A_{1} y A_{2} son casi libres, tenemos las resoluciones proyectivas relativas de longitud 1

0 ⟶ Ω_{K}^{1}A_{1} ⟶ A_{1} ⊗_{K} A_{1} ⟶ A_{1} ⟶ 0
0 ⟶ Ω_{K}^{1}A_{2} ⟶ A_{2} ⊗_{K} A_{2} ⟶ A_{2} ⟶ 0

Sumando ambas resoluciones obtenemos

0 → Ω_{K}^{1}A_{1} ⊕ Ω_{K}^{1}A_{2} ⟶ (A_{1} ⊕ A_{2}) ⊗_{K} (A_{1} ⊕ A_{2}) ⟶ A_{1} × A_{2} → 0

Queremos ver que esta es una resolución proyectiva relativa de A_{1} × A_{2}. Para esto debemos ver que (A_{1} ⊕ A_{2}) ⊗_{K} (A_{1} ⊕ A_{2}) y Ω_{K}^{1}A_{1} ⊕ Ω_{K}^{1}A_{2} son proyectivos relativos.

Si vemos que la suma directa de módulos proyectivos relativos es sumando directo de un módulo inducido, vamos a tener que la suma de A− bimódulos proyectivos relativos es proyectivo relativo. Supongamos P ⊕ Q = A_{1} ⊗_{K}M ⊗_{K} A_{1} y que P′ ⊕ Q′ = A_{2} ⊗_{K}N ⊗_{K} A_{2}, y veamos que P ⊕ P′ es proyectvio relativo. Tenemos que P ⊕ P′ es sumando directo de

(A_{1} ⊗_{K} M ⊗_{K} A_{1}) ⊕ (A_{2} ⊗_{K} N ⊗_{K} A_{2}) =
= (A_{1} ⊕ A_{2}) ⊗_{K} (M ⊕ N) ⊗_{K} (A_{1} ⊕ A_{2})

que es un módulo inducido si vemos que M ⊕ N es (A_{1} ⊕ A_{2}) − bimódulo. Pero esto está claro pues M es A_{1} bimódulo y N es A_{2} bimódulo.

Con esto queda probada nuestra afirmación. □

5. Teorema del entorno tubular formal

5.1. Propiedades de levantamiento

Vimos que las álgebras casi libres tienen la propiedad de que cualquier extensión de cuadrado 0 tiene un levantamiento.

Como cualquier extensión nilpotente es composición de extensiones de cuadrado 0, este resultado se extiende a las extensiones nilpotentes, y las obtenidas por completación I -ádica.

Sea I un ideal de un álgebra R, y consideremos a R con la filtración I -ádica, o sea

R ⊇ I ⊇ I^{2} ⊇ I^{3} ⊇ ....

Consideramos el conjunto ∏_{i=1}^{∞} \frac{R}{I^{i}} . Definimos R̂ = \underleftarrow{lím}\frac{R}{I^{i}} como el subconjunto

{(g_{1}, g_{2}, ...) tal que ∀i, ∀j > i, g_{i} ≡ g_{j} (mod I^{i})}

El álgebra graduada asociada es ⨁_{n} \frac{I^{n}}{I^{n+1}} . Esto mismo puede hacerse para I^{k}, entonces tenemos ˆ(I^{k}) = \underleftarrow{lím}_{n} \frac{I^{k}}{I^{n+1}} .

Podemos mirar a R en R̂, de la siguiente froma

\begin{matrix}R & → & R̂ \\ x & ↦ & (x, x, x, ...) \end{matrix}

y el ker R = ∩_{n}I^{n}. Se tiene que \frac{R}{I^{n+1}} = \frac{R̂}{{ \atop (I^{n+1})}}, y que R y R̂ tienen la misma álgebra graduada

asociada, o sea que

⨁_{n} \frac{I^{n}}{I^{n+1}} = ⨁_{n} \frac{Î^{n}}{Î^{n+1}}

Sea R_{n} = \frac{R}{I^{n}} .

Consideremos la extensión A = \frac{R}{I}, y sea P el A -bimódulo \frac{I}{I^{2}} . Sea T = T_{A} (P) el álgebra tensorial de P, sea J el ideal generado por P. Entonces \frac{T}{J} = A. Queremos comparar la completación I -ádica de R̂ y la completación J -ádica de T̂. Como T es graduada tenemos

T̂ = ∏_{n≥0} T_{A}^{n} (P) Ĵ^{k} = ∏_{n≥k} T_{A}^{n} (P)

y el álgebra graduada asociada a T̂ puede identificarse con T.

Teorema 27 Sea R ⟶^{π} A una K−extensión de álgebras casi libres, I = ker π. Se asume que para todo n, R/I^{n} ⟶ A es una K− extensión. Entonces

i) P = I/I^{2} es un A− bimódulo proyectivo relativo a K ⟶ A.

ii)Existe una sucesión de isomorfismos de K− álgebras φ_{n} : T_{A}^{≤n} (P) = T_{A} (P) / ⟨P ⟩^{n+1} ⟶^{∼} R/I^{n+1} = R_{n} que es compatible en el sentido de que el diagrama

T_{A}^{≤n+1} (P) ⟶^{φ_{n+1}} R/I^{n+2}
↓  ↓
T_{A}^{≤n} (P) ⟶^{φ_{n}} R/I^{n+1}

conmuta.

Demostración: Sean α : M ⟶ N un morfismo de A− bimódulos que es epimorfismo relativo a K^{e} ⟶ A^{e}, y β : P ⟶ N un morfismo de A− bimódulos. Para probar i) debemos probar que existe un morfismo de A− bimódulos h : P ⟶ M de modo que el diagrama

\begin{aligned}& & M \\ & h ↗ & ↓ α \\ P & ⟶_{β} & N \end{aligned}  (37)

conmuta. Dar h equivale a definir un morfismo de A− álgebras H tal que

\begin{aligned}& & A × M \\ & H ↗ & ↓ 1 × α \\ A × P & ⟶_{1×β} & A × N \end{aligned}  (38)

conmuta. Notemos que aunque H (A × 0) ⊊ A×0, h = H |_{P} manda P en M, es morfimso de A-bimódulos y verifica (37). Por tanto para probar i) basta ver que existe un morfismo H de K− álgebras que hace conmutar (38). Por hipótesis sobre π, R/I^{2} ⟶ A es una K− extensión de cuadrado cero de A por P. Como A es casi libre, R/I^{2} ≃ A × P como extensiones de A. Es decir que hay un isomorfismo φ_{1} que hace el siguiente diagrama conmutativo

\begin{matrix}A × P & ⟶^{∼}^{φ_{1}} & R/I^{2} \\ ↓ & & ↓ \\ A & =_{φ_{0}} & R/I \end{matrix}  (39)

Más aún, φ_{1} |_{P} es la identidad. Esto es porque como R es casi libre, existe H′ que hace conmutar el siguiente diagrama

R  ⟶^{H′} A × M
↓  ↓ 1 × α
R/I^{2} ≃ A × P ⟶_{1×β} A × N
↘  ↙
A

Entonces tenemos que H′ (I) ⊆ M. Luego H′ (I^{2}) ⊆ M^{2} = 0. Por tanto H′ induce un morfismo H como en (38). esto prueba i). Probemos ahora ii). Para φ_{1} como en (39), φ_{1} |_{A}: A ⟶ R/I^{2} levanta a φ_{0}. Como B/I^{n+1} ⟶ B/I^{n} es K− extensión de cuadrado cero para todo n, usando que A es casi libre podemos obtener recursivamente una sucesión compatible de K− morfismos φ_{n} : A ⟶ R_{n}.

Mirando a cada R_{n} como A− bimódulo vía φ_{n}, tenemos que R_{n+1} ⟶ R_{n} es un epimorfismo relativo. Como P es proyectivo relativo, podemos levantar φ_{1} |_{P} a una sucesión compatible de morfismos de a− bimódulos que llamaremos φ_{n} : P ⟶ R_{n}. Por propiedad universal del álgebra tensorial, obtenemos una sucesión compatible de morfismos

T_{A} (P) ⟶^{φ_{n+1}} R_{n+1}
φ_{n} ↘ ↓
R_{n}

Se sigue que

T_{A} (P) ⟶^{φ_{n}} R_{n}
↘ ↓
A

conmuta, y que P va al 0. Luego φ_{n} (P)^{n+1} ⊆ (I/I^{n+1})^{n+1} = 0. Por propiedad universal del cociente obtenemos un sistema compatible de morfismos como en ii) del teorema. Batsa ver que cada φ_{n} es isomorfismo.

Sabemos que φ_{1} lo es. A continuación probamos por inducción que φ_{n} es suryectiva. Como

\begin{aligned}& & R_{n} \\ & φ_{n} ↗ & ↓ \\ A & ⟶_{1} & A \end{aligned}

conmuta, tenemos R_{n} = φ_{n}A ⊕ I/I^{n} como A− bimódulos. Además si x ∈ I/I^{n} y p = \overline{x} es su clase en P = I/I^{2}, como

I/I^{n+1}
φ_{n} ↗  ↓
P ⟶_{φ_{1}} I/I^{2}

conmuta, y_{1} = φ_{n} (p) − x ∈ I^{2}/I^{n+1}. Luego si x_{1}, ⋯, x_{n} ∈ I/I^{n+1} entonces x_{i} = φ_{n} (p_{i}) + y_{i}, con y_{i} ∈ I^{2}/I^{n+1} y

x_{1} ⋯ x_{n} = (φ_{n} (p_{1}) + y_{1}) ⋯ (φ_{n} (p_{n}) + y_{n}) =
= φ_{n} (p_{1}) ⋯ φ_{n} (p_{n})

Así que en el diagrama

0 ⟶ T_{A}^{n} (P) ⟶ T_{A}^{≤n} (P) ⟶ T_{A}^{≤n−1} (P) ⟶ 0
↓ ↓ φ_{n} ↓ φ_{n−1}
0 ⟶ I^{n}/I^{n+1} ⟶ R_{n} ⟶ R_{n−1} ⟶ 0

la flecha de la izquierda es suryectiva. Por hipótesis inductiva, φ_{n−1} tam-

bién lo es, luego φ_{n} lo es.

Resta ver que φ_{n} es inyectiva. Sea ψ_{1} = φ_{1}^{−1} : R/I^{2} ⟶ T_{A}^{≤1} (P). Usando que R es casi libre se obtiene un sistema compatible de morfismos ψ_{n} :⟶ T_{A}^{≤n} (P). Con el mismo argumento dado para los φ_{n}, se prueba que ψ_{n} (I^{n+1}) = 0. Escribimos también ψ_{n} para el morfismo inducido B/I^{n+1} ⟶ T_{A}^{≤n} (P) . Tenemos ψ_{1}φ_{1} = 1, y en general θ_{n} = ψ_{n}φ_{n} manda ⨁_{i=m}^{n} T_{A}^{i} (P) en sí mismo. Por tanto induce un morfismo de álgebras graduadas

\overline{θ}_{n} : T_{A}^{≤n} (P) ⟶ T_{A}^{≤n} (P)

Más aún como los θ_{n} son compatibles, también lo son los \overline{θ}_{n}. De modo que si p = p_{1} ⋯ p_{r}, entonces

\overline{θ}_{n} (p_{1} ⋯ p_{r}) = \overline{θ}_{n} (p_{1}) ⋯ \overline{θ}_{n} (p_{r}) = \overline{θ}_{1} (p_{1}) ⋯ \overline{θ}_{r} (p_{r})

Luego \overline{θ}_{n} es isomorfismo, y por lo tanto θ_{n} lo es. En particular, φ_{n} es monomorfismo, como queríamos probar. □

El teorema del entorno tubular formal es la siguiente variante de este resultado.

Corolario 28 Supangamos que R y A son casi libres. Entonces hay un isomorfismo de álgebras filtradas φ : T̂ ⟶ R̂ tal que gr^{0}φ, gr^{1}φ son la identidad en A, P respectivamente.

Demostración: Por el teorema anterior, la succesión de isomorfismos φ_{n} compatible da el isomorfismo φ : T̂ ⟶ R̂. Además vimos que φ_{0} = id_{A} y que φ_{1} = id_{P} .□

6. Conexiones

6.1. Conexiones en módulos a derecha

Sean A una K− álgebra y E un A− módulo a derecha, y consideremos el módulo E ⊗_{A} Ω_{K}A de formas con valores en E. Este es naturalmente un módulo a derecha graduado sobre Ω_{K}A, y por medio de esta estructura podemos escribir al elemento ξ ⊗ ω de E ⊗_{A} Ω_{K}A simplemente como ξω.

Definimos una conexión K− lineal en E como un morfismo de K-módulos ∇ : E ⟶ E ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A que satisface la regla de Leibniz

∇ (ξa) = ∇ (ξ) a + ξda  (40)

para ξ ∈ E, a ∈ A. El operador ∇ se extiende entonces de forma única a un operador K−lineal de grado uno en E ⊗_{A} Ω_{K}A mediante

∇ (eda_{1} ⋯ da_{n}) = ∇ (e) da_{1} ⋯ da_{n}  (41)

Consideremos por ejemplo un K−módulo a derecha inducido V ⊗_{K} A, donde V es un K− módulo, e identifiquemos las formas que tienen valores en V ⊗_{K} A por medio del isomorfismo canónico

V ⊗_{K} Ω_{K}A = (V ⊗_{K} A) ⊗_{A} Ω_{K}A
v ⊗ aω ⟷ v ⊗ a ⊗_{A} ω

Entonces tenemos la conexión canónica dada por el operador ∇ = 1 ⊗ d en V ⊗_{K} Ω_{K}A.

(1 ⊗ d) (v ⊗ a ⊗_{A} ω) = (1 ⊗ d) (v ⊗ aω) = v ⊗ d (aω)

Veamos que efectivamente 1 ⊗ d satisface (40).

(1 ⊗ d) ((v ⊗ a ⊗_{A} ω) ξ) = (1 ⊗ d) (v ⊗ aωξ) =
= v ⊗ d (aω) ξ + (−1)^{|ω|} v ⊗ aωdξ =
= [(1 ⊗ d) (v ⊗ a ⊗_{A} ω)] ξ
+ (−1)^{|v⊗a⊗_{A}ω|} (v ⊗ aω) dξ

Veamos otro ejemplo. Supongamos que el módulo a derecha E es un sumando directo de V ⊗_{K} A, y sean i : E ⟶ V ⊗_{K} A y p : V ⊗_{K} A ⟶ E las aplicaciones inclusión y proyección. entonces tenemos en E la conexión inducida, llamada la conexión grassmaniana, que está dada por la composición

E ⊗_{A} Ω_{K}A ⟶^{i} V ⊗_{K} Ω_{K}A ⟶^{1⊗d} V ⊗_{K} Ω_{K}A ⟶^{p} E ⊗_{A} Ω_{K}A

donde también usamos i, p para denotar a las extensiones naturales a formas con valores en módulos. Entonces con esta notación la conexión grassmaniana es

∇ = p (1 ⊗ d) i  (42)

Consideramos ahora E como cociente de un módulo a derecha inducido en la forma éstandar por medio de la aplicación multiplicación m : E ⊗_{K} A ⟶ E, m (ξ ⊗ a) = ξa. Un morfismo de módulos a derecha s : E ⟶ E ⊗_{K} A tal que ms = 1 identifica entonces E con un sumando directo de E ⊗_{K} A, y por lo tanto determina una conexión en E.

E ⊗_{A} Ω_{K}A ⟶^{s⊗1} (E ⊗_{K} A) ⊗_{A} Ω_{K}A ⟶^{1⊗d} (E ⊗_{K} A) ⊗_{A} Ω_{K}A

⟶^{m⊗1} E ⊗_{A} Ω_{K}A

Proposición 29 Asociando a s la conexión grassmaniana ∇ = m (1 ⊗ d) s obtenemos una correspondencia uno a uno entre morfismos de A− módulos a derecha s : E ⟶ E ⊗_{K} A que son secciones de m y conexiones K− lineales ∇ en E.

Como secciones s de este tipo existen si y sólo si E es proyectivo relativo a K ⟶ A, obtenemos

Corolario 30 Un módulo a derecha tiene una conexión K−lineal si y sólo si es proyectivo relativo a K ⟶ A.

La proposición implica en particular que cualquier conexión ocurre como una conexión grassmaniana.

Demostración Proposición 29: Consideramos la sucesión exacta de A− módulos a derecha

0 ⟶ E ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A ⟶^{j} E ⊗_{K} A ⟶^{m} E ⟶ 0

donde j (ξda) = ξa ⊗ 1 − ξ ⊗ a. Esta sucesión es exacta relativa a a K ⟶ A pues se escinde por medio de la sección ξ ⟼ ξ ⊗ 1 de m. Ahora las escisiones de una sucesión exacta corta forman un K−espacio afín que se puede identificar con el espacio de aplicaciones desde el espacio cociente al subespacio una vez que se eligió un punto base. En nuestro caso esto significa que hay una correspondencia uno a uno entre secciones lineales s : E ⟶ E ⊗_{K} A de m y morfismos lineales ∇ : E ⟶ E ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A dados por

s (ξ) = ξ ⊗ 1 − j (∇ξ)  (43)

Pero

s (ξa) − s (ξ) a = ξa ⊗ 1 − ξ ⊗ a − j {∇ (ξa)} + j {∇ (ξ) a} =
= j {−∇ (ξa) + ∇ (ξ) a + ξda}

y j es inyectiva, entonces s es de A− módulos a derecha si y sólo si ∇ es una conexión.□

6.2. Conexiones en bimódulos

Sea E un bimódulo sobre A. Por conexión a derecha K− lineal sobre E entendemos a un operador ∇_{r} : E → E ⊗_{A} Ω^{1}A que satisface

∇_{r} (a_{1}ξa_{2}) = a_{1} (∇_{r}ξ) a_{2} + a_{1}ξda_{2}  (44)

O sea una conexión a derecha es una conexión K− lineal en el módulo a derecha E que conmuta con el producto a izquierda por A.

Sea ∇ una conexión en E como módulo a derecha, y sea s la sección correspondiente (43). Como

s (aξ) − as (ξ) = aξ ⊗ 1 − j∇ (aξ) − a (ξ ⊗ 1 − j (∇ξ)) =
=aξ ⊗ 1 − j∇ (aξ) − aξ ⊗ 1 + aj (∇ξ) =
= j (a∇ξ − ∇ (aξ))

y j es inyectiva, s conmuta con el producto a izquierda si y solo si ∇ conmuta con el producto a izquierda. Esto dice que una conexión a derecha ∇_{r} es equivalente a un morfismo de bimódulos s_{r} : E → E ⊗_{K} A que es una sección del producto a derecha m_{r} : E ⊗_{K} A → E.

Análogamente una conexión a izquierda es un morfismo de K− bimódulos ∇_{l} : E → E ⊗_{A} Ω^{1}A que conmuta con el producto a derecha y satisface la regla de Leibniz a izquierda

∇_{l} (a_{1}ξa_{2}) = a_{1} (∇_{r}ξ) a_{2} + da_{1}ξa_{2}  (45)

Esto es equivalente a un morfismo de bimódulos s_{l} : E → A ⊗_{K} E que es una sección del producto a derecha m_{l} : A ⊗_{K} E → E.

Definición 31 Una conexión K-lineal en el bimódulo E es un par (∇_{l}, ∇_{r})que consiste en una conexión a izquierda y una a derecha.

Consideremos el diagrama conmutativo

A ⊗_{K} E ⊗_{K} A ⟶^{m_{l}⊗1} E ⊗_{K} A
1 ⊗ m_{r} ↓  ↓ m_{r}
A ⊗_{K} E  ⟶^{m_{l}}  E

Dada una conexión (∇_{l}, ∇_{r}) en E, sean s_{l}, s_{r} las secciones correspondientes. Entonces (1 ⊗ s_{r}) s_{l} es un levantamiento del bimódulo E en el bimódulo A⊗_{K} E ⊗_{K} A, y esto muestra que E es un bimódulo proyectivo relativo a K ⟶ A sobre A. Recíprocamente, si E es un A-bimódulo proyectivo relativo a K ⟶ A, podemos levantarlo a A⊗_{K} E ⊗_{K} A, y después componer con 1⊗m_{r}, m_{l}⊗1 para obtener los levantamientos s_{l}, s_{r} correspondientes a una conexión en E. Esto da la siguiente proposición

Proposición 32 Existe una conexión en E si y solo si E es un A-bimódulo proyectivo relativo a K ⟶ A.

Un levantamiento de E en A ⊗_{K} E ⊗_{K} A es equivalente a una conexión en E considerado como A^{e}-módulo a derecha.

Observemos que el diagrama anterior es parte del diagrama de 3 × 3 obtenido de tensorisar la sucesión

0 → Ω_{K}^{1}A →^{j} A ⊗_{K} A →^{m} A → 0

a izquierda y a derecha con E.

Del diagrama surge la siguiente sucesión exacta de bimódulos

0 → Ω_{K}^{1}A ⊗_{A} E ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A → A ⊗_{K} E ⊗_{K} A → (A ⊗_{K} E) ×_{E} (E ⊗_{K} A) → 0 (46)

Como una conexión en E como bimódulo es equivalente a un levantamiento de E en le producto fibrado (A ⊗_{K} E) ×_{E} (E ⊗_{K} A) , toda conexión de este tipo proviene de una conexión de A^{e}-módulos en E. Además dos conexiones de A^{e}-módulos que dan la misma conexión en E difieren en un morfismo de bimódulos E → Ω_{K}^{1}A⊗_{A} E ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A. El concepto de conexión de A^{e}-módulos es más fino que el de conexión en E.

6.3. Extendiendo las derivaciones a T_{A} (E)

Consideramos un A-bimódulo E equipado con una conexión (∇_{l}, ∇_{r}) , y sea T = T_{A} (E) . Dada una derivación D : A → M, donde M es un T -bimódulo, queremos extenderla a una derivación T → M. Vamos a ver que alcanza con definir una morfismo de K− bimódulos D : E → M que satisafaga la condición

D (a_{1}ξa_{2}) = Da_{1}ξa_{2} + a_{1}Dξa_{2} + a_{1}ξDa_{2}  (47)

Vimos que una K−derivación D : T → M es equivalente a un morfismo de K−álgebras 1 + D : T → T ⊕ M en el producto semidirecto. Como tenemos la derivación D : A → M, tenemos también 1 + D : A → A ⊕ M, si podemos definir esto sobre E, por la propiedad universal de T_{A} (E) tenemos 1 + D : T_{A} (E) → A ⊕ M.

Basta ver que se cumple

(1 + D) (a_{1}ξa_{2}) = [(1 + D) (a_{1})] [(1 + D) (ξ)] [(1 + D) (a_{2})]

O sea

a_{1}ξa_{2} + D (a_{1}ξa_{2}) = (a_{1} + Da_{1}) (ξ + Dξ) (a_{2} + Da_{2})

Haciendo la cuenta queda

a_{1}ξa_{2} + D (a_{1}ξa_{2}) = (a_{1}ξ + a_{1}Dξ + Da_{1}ξ) (a_{2} + Da_{2})
=Da_{1}ξa_{2} + a_{1}Dξa_{2} + a_{1}ξDa_{2}

Definimos D como la composición

E →^{(∇_{l},∇_{r})} (Ω^{1}A ⊗_{A} E) ⊕ (E ⊗_{A} Ω^{1}A) →^{\overline{D}} M

donde \overline{D} (daξ) = Daξ y \overline{D} (ξda) = ξda. Entonces queda

Dξ = \overline{D}∇_{l}ξ + \overline{D}∇_{r}ξ  (48)

y (47) se sigue inmediatamente de las propiedades (44), (45) de ∇_{r}, ∇_{l}. Probamos entonces la primera parte de la

Proposición 33 Cualquier derivación D : A → M, donde M es un bimódulo sobre T = T_{A} (E) se extiende a una derivación D : T → M dada por (48). La conexión determina una escisión de bimódulos de la sucesión cotangente

0 → T ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A ⊗_{A} T → Ω_{K}^{1}T → T ⊗_{A} E ⊗_{A} T → 0

Demostración: La primera parte fue probada antes. Para probar la segunda parte consideramos la derivación universal K− lineal de A a un T - bimódulo

A → Ω_{K}^{1}A ⊂ T ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A ⊗_{A} T

y la extendemos a T; el morfismo de bimódulos definido en Ω_{K}^{1}T asociado a esta extensión es entonces una retracción que escinde la sucesión.□

6.4. Conexiones en Ω_{K}^{1}A

Tomemos ahora como E al bimódulo Ω_{K}^{1}A. Como Ω_{K}^{1}A ⊗ Ω_{K}^{1}A = Ω_{K}^{2}A, una conexión a izquierda ∇_{l} en Ω_{K}^{1}A, una conexión a derecha ∇_{r} en Ω_{K}^{1}A y d pueden verse como morfismos de K− bimódulos de Ω_{K}^{1}A en Ω_{K}^{2}A, con las siguientes propiedades

∇_{l} (a_{1}ξa_{2}) = a_{1} (∇_{l}ξ) a_{2} + da_{1}ξa_{2}
d (a_{1}ξa_{2}) = a_{1}dξa_{2} + da_{1}ξa_{2} − a_{1}ξda_{2}
∇_{r} (a_{1}ξa_{2}) = a_{1} (∇_{r}ξ) a_{2} + a_{1}ξda_{2}

Es claro que si ∇_{r} es una conexión a derecha, entonces d + ∇_{r} es una conexión a izquierda.

(d + ∇_{r}) (a_{1}ξa_{2}) = a_{1}dξa_{2} + da_{1}ξa_{2} − a_{1}ξda_{2}
+ a_{1} (∇_{r}ξ) a_{2} + a_{1}ξda_{2}
= a_{1} (d + ∇_{r}) (ξ) a_{2} + da_{1}ξa_{2}

Recíprocamente, si ∇_{l} es una conexión a izquierda, ∇_{l} − d es una conexión a derecha.

(∇_{l} − d) (a_{1}ξa_{2}) = a_{1} (∇_{l}ξ) a_{2} + da_{1}ξa_{2}
− a_{1}dξa_{2} − da_{1}ξa_{2} + a_{1}ξda_{2}
= a_{1} (∇_{l} − d) a_{2} + a_{1}ξda_{2}

Por lo tanto tenemos

Proposición 34 Hay una correspondencia biyectiva entre conexiones a izquierda y a derecha en Ω_{K}^{1}A dada por ∇_{l} = ∇_{r} + d.

En consecuencia, si existe una conexión a derecha existe una conexión a izquierda, y viceversa. En ese caso existe una conexión, y por lo tanto Ω_{K}^{1}A es un bimódulo proyectivo realtivo y A es una K− álgebra casi libre.

Recíprocamente, si A es una K− álgebra casi libre, existen conexiones en Ω_{K}^{1}A. Si (∇_{l}, ∇_{r}) es una conexión, entonces

τ = ∇_{l} − d − ∇_{r} : Ω_{K}^{1}A → Ω_{K}^{2}A  (49)

es un morfismo de bimódulos que se llama la torsión de la conexión. Veamos que se anula cuando ∇_{l} corresponde a ∇_{r} como en la proposición:

τ (a_{1}ξa_{2}) = (∇_{l} − d − ∇_{r}) (a_{1}ξa_{2}) =
= a_{1} (∇_{l}ξ) a_{2} + da_{1}ξa_{2} − a_{1}dξa_{2} − da_{1}ξa_{2}+
+a_{1}ξda_{2} − a_{1} (∇_{r}ξ) a_{2} − a_{1}ξda_{2} =
= a_{1} (∇_{l}ξ) a_{2} − a_{1}dξa_{2} − a_{1} (∇_{r}ξ) a_{2} = a_{1} (∇_{l} − d − ∇_{r}) (ξ) a_{2}

Describimos las conexiones en Ω_{K}^{1}A por cocadenas.

Proposición 35 i) Una conexión a derecha ∇_{r} tiene la forma

∇_{r} (a_{0}da_{1}) = a_{0}ϕa_{1}

donde ϕa = ∇_{r} (a) puede ser cualquier 1-cocadena con valores en Ω_{K}^{2}A que satisface −δϕ = d ∪ d.

ii) Una conexión a izquierda ∇_{l} en Ω_{K}^{2}A tiene la forma

∇_{l} (a_{0}da_{1}) = a_{0}ψa_{1} + da_{0}da_{1}

donde ψa = ∇_{l} (a) puede ser cualquier 1-cocadena con valores en Ω_{K}^{2}A que satisface −δψ = d ∪ d.

Demostración: i) se sigue de la proposición 25 y ii) se sigue de i) usando que ∇_{l} = ∇_{r} + d para algún ∇_{r}.□

Por lo tanto una conexión (∇_{l}, ∇_{r}) en Ω^{1}A se puede describir por el par de 1-cocadenas ψa = ∇_{l} (da) , ϕa = ∇_{r} (da) que pueden ser arbitrarias que satisfagan −dϕ = −dψ = d ∪ d. La torsión es el morfismo de bimódulos de Ω_{K}^{1}A en Ω_{K}^{2}A correspondiente a la derivación a ⟼ (ψ − ϕ) (a) . La conexión es libre de torsión cuando ψ = ϕ, y por la proposición 25 las conexiones libres de torsión están en correspondencia biunívoca con los levantamientos A → R_{K}A/I_{K}A^{2}.

7. Descenso fielmente playo de módulos

Sea ϕ : K → A un morfismo de anillos y E es un K -módulo a derecha.Si le damos a A una estructura de K−módulo a izquierda via ϕ

λa = ϕ (λ) a

podemos considerar el A−módulo a derecha E ⊗_{K} A. Si f : E → N es un morfismo de K-módulos a derecha, tenemos el morfismo inducido f ⊗ 1

f ⊗ 1 : E ⊗_{K} A → N ⊗_{K} A

Vamos a tratar de resolver los siguientes problemas:

1. Establecer cuando un elemento y ∈ E ⊗_{K} A proviene de un elemento x ∈ E, o sea cuando y = x ⊗ 1_{A};

2. Ver bajo qué condiciones un A−morfismo g : E ⊗_{K} A → N ⊗_{K} A es inducido por un K -morfismo f : E → N, o sea ver cuando g = f ⊗ 1;

3. Ver para qué hipótesis sobre A y E un A− módulo E es inducido por un K− módulo N, o sea cuando existe un K− módulo N tal que E = N ⊗_{K} A.

K y A no son necesariamente conmutativos.

Sea f : K → A un morfismo de anillos. El complejo de Amitsur para f es la sucesión de K− módulos a derecha

0 → K →^{f} A →^{δ_{0}} A ⊗_{K} A →^{δ_{1}} A ⊗_{K} A ⊗_{K} A →^{δ_{2}} …  (50)

donde δ_{n} (x) = ∑_{i=0}^{n+1} (−1)^{i+1} ε_{i} y los ε_{i} están definidos

ε_{i} (a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) = a_{0} ⊗ … ⊗ 1_{A} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}

con la unidad en el i− ésimo lugar.

Lema 36 Los ε_{i} verifican la siguiente relación

ε_{j}ε_{i} = ε_{i}ε_{j−1} para i < j

Demostración:

ε_{j}ε_{i} (a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) =

ε_{j}(a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ … ⊗ a_{i−1} ⊗ 1^{lugar i} ⊗ a_{i} ⊗ … ⊗ a_{j−1}^{lugar j} ⊗ a_{j} ⊗ … ⊗ a_{n})

= a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ … ⊗ 1^{lugar i} ⊗ … ⊗ 1^{lugar j} ⊗ a_{j−1} ⊗ a_{j} ⊗ … ⊗ a_{n}

ε_{i}ε_{j−1} (a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n})

= ε_{i} (a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ … ⊗ 1^{lugar j−1} ⊗ a_{j−1} ⊗ … ⊗ a_{n})

= a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ … ⊗ 1^{lugar i} ⊗ … ⊗ 1^{lugar j} ⊗ a_{j−1} ⊗ a_{j} ⊗ … ⊗ a_{n}

Lema 37 La sucesión (50) es un complejo, es decir δ^{2} = 0

La composición queda

δ_{n+1}δ_{n} = (∑_{i=0}^{n+2} (−1)^{i+1} ε_{i}) (∑_{j=0}^{n+1} (−1)^{j+1} ε_{j})

= ∑_{j=0}^{n+1} ∑_{i=0}^{n+2} (−1)^{i+j} ε_{i}ε_{j} =

= ∑_{j=0}^{n+1} ε_{i}^{2} − ∑_{i=1}^{n+2} ε_{i}ε_{i−1} + ∑_{j=i+1}^{n+1} ∑_{i=0}^{n} (−1)^{i+j} ε_{i}ε_{j}

+ ∑_{j=0}^{i−2} ∑_{i=2}^{n+2} (−1)^{i+j} ε_{i}ε_{j}

= ∑_{j=0}^{n+1} ε_{i}^{2} − ∑_{i=1}^{n+2} ε_{i−1}^{2} + ∑_{j=i+1}^{n+1} ∑_{i=0}^{n} (−1)^{i+j} ε_{j+1}ε_{i}

+ ∑_{j=0}^{i−2} ∑_{i=2}^{n+2} (−1)^{i+j} ε_{i}ε_{j} =

= ∑_{j=i+2}^{n+2} ∑_{i=0}^{n} (−1)^{i+j−1} ε_{j}ε_{i} + ∑_{j=0}^{i−2} ∑_{i=2}^{n+2} (−1)^{i+j} ε_{i}ε_{j} =

= − ∑_{j=0}^{i−2} ∑_{i=2}^{n+2} (−1)^{i+j} ε_{i}ε_{j} + ∑_{j=0}^{i−2} ∑_{i=2}^{n+2} (−1)^{i+j} ε_{i}ε_{j} = 0

Definición 38 Decimos que un K−módulo a izquierda M es fielmente playo si para toda sucesión exacta de K−módulos a derecha

0 ⟶ E′ ⟶ E ⟶ E′′ ⟶ 0

se verifica que la sucesión es exacta si y sólo si tensorizada a derecha con M sobre K es exacta.

Decimos que una extensión de anillos f : K → A es fielmente playa a derecha si A, considerado como K− módulo a izquierda es fielmente playo.

Proposición 39 Si f : K → A es una extensión fielmente playa a derecha y E es un K− módulo a derecha, la sucesión

0 → E →^{1⊗f} E ⊗_{K} A →^{1⊗δ_{0}} E ⊗_{K} A ⊗_{K} A →^{1⊗δ_{1}} ⋯  (51)

es exacta. En particular la sucesión

0 → K →^{f} A →^{δ_{0}} A ⊗_{K} A →^{δ_{1}} A ⊗_{K} A ⊗_{K} A →^{δ_{2}} ⋯  (52)

es exacta.

Demostración (primera parte): Como A es fielmente playa basta ver que la sucesión dada tensorizada una vez a derecha es exacta:

0 → E ⊗_{K} A →^{1⊗f⊗1} E ⊗_{K} A ⊗_{K} A

→^{1⊗δ_{0}⊗1} E ⊗_{K} A ⊗_{K} A ⊗_{K} A →^{1⊗δ_{1}⊗1} ⋯ (53)

Para probar esto primero vamos a probar que la sucesión (52) tensorizada a derecha con A sobre K es contráctil

A →^{δ_{0}} A ⊗_{K} A →^{δ_{1}} A ⊗_{K} A ⊗_{K} A →^{δ_{2}} ⋯

Basta ver que

0 ⟶ A ⟶^{f⊗1} A ⊗_{K} A →^{δ_{1}⊗1} A ⊗_{K} A ⊗_{K} A →^{δ_{2}⊗1} ⋯  (54)

es contráctil, pues f : K → A es una extensión fielmente playa. Definimos

μ_{i} : A^{⊗_{K}n+1} ⟶ A^{⊗_{K}n}
μ_{i} (a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) = a_{0} ⊗ ⋯ ⊗ a_{i}a_{i+1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}

y

μ : A^{⊗_{K}n+1} ⟶ A^{⊗_{K}n}

μ = ∑_{i=0}^{n−1} (−1)^{i} μ_{i}

Lema 40 δ y μ verifican μδ + δμ = 1.

Demostración: Vamos a probar que los ε_{i} y los μ_{j} verifican las siguientes relaciones

ε_{j}ε_{i} = ε_{i}ε_{j−1} para i < j  (55)
μ_{j}μ_{i} = μ_{i}μ_{j+1} para i ≤ j
μ_{j}ε_{i} = ε_{i}μ_{j−1} si i < j identidad si i = j ó i = j + 1 ε_{i−i}μ_{j} si i > j + 1

La primera identidad es el lema 36. Veamos la segunda identidad, primero para i < j.

μ_{j}μ_{i}(a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) = μ_{j}(a_{0} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{a_{i}a_{i+1}}_{lugar i} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n})

= a_{0} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{a_{i}a_{i+1}}_{lugar i} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{a_{j+1}a_{j+2}}_{lugar j} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}

μ_{i}μ_{j+1}(a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) = μ_{i}(a_{0} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{a_{j+1}a_{j+2}}_{lugar j+1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n})

= a_{0} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{a_{i}a_{i+1}}_{lugar i} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{a_{j+1}a_{j+2}}_{lugar j} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}

En el caso de i = j, es fácil verificar que μ_{i}^{2} = μ_{i}μ_{i+1} = a_{0} ⊗ ⋯ ⊗

\underbrace{a_{i}a_{i+1}a_{i+2}}_{lugar i} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}.

Veamos ahora la tercera relación, suponiendo primero que i < j :

μ_{j}ε_{i} (a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) = μ_{j} (a_{0} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{1}_{lugar i} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) =

= a_{0} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{1}_{lugar i} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{a_{j−1}a_{j}}_{lugar j} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}

ε_{i}μ_{j−1} (a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) = ε_{i} (a_{0} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{a_{j−1}a_{j}}_{lugar j} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) =

= a_{0} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{1}_{lugar i} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{a_{j−1}a_{j}}_{lugar j} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}

Si tomamos i = j ó i = j + 1 :

μ_{j}ε_{i} (a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) = μ_{j} (a_{0} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{1}_{lugar i} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) =

= a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}

Por último, si i > j + 1 :

μ_{j}ε_{i} (a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) = μ_{j} (a_{0} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{1}_{lugar i} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) =

= a_{0} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{a_{j}a_{j+1}}_{lugar j} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{1}_{lugar i−1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}

ε_{i−i}μ_{j} (a_{0} ⊗ a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) = ε_{i−i} (a_{0} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{a_{j}a_{j+1}}_{lugar j} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}) =

= a_{0} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{a_{j}a_{j+1}}_{lugar j} ⊗ ⋯ ⊗ \underbrace{1}_{lugar i−1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}

Usando estas relaciones vamos a probar el lema.

(μδ + δμ) =

= ∑_{j=0}^{n} ∑_{i=0}^{n} (−1)^{i+j} μ_{j}ε_{i} + ∑_{k=0}^{n−1} ∑_{l=0}^{n−1} (−1)^{l+k} ε_{k}μ_{l} =

= ∑_{i=0}^{n} μ_{i}ε_{i} − ∑_{i=1}^{n} μ_{i−1}ε_{i} + ∑_{j=0}^{i−2} ∑_{i=2}^{n} (−1)^{i+j} μ_{j}ε_{i}

+ ∑_{j=i+1}^{n} ∑_{i=0}^{n−1} (−1)^{i+j} μ_{j}ε_{i}+

+ ∑_{k=0}^{n−1} ∑_{l=0}^{n−1} (−1)^{l+k} ε_{k}μ_{l} =

= id_{A^{⊗_{K} n+1}} + ∑_{j=0}^{i−2} ∑_{i=2}^{n} (−1)^{i+j} ε_{i−1}μ_{j} + ∑_{j=i+1}^{n} ∑_{i=0}^{n−1} (−1)^{i+j} ε_{i}μ_{j−1}

+ ∑_{k=0}^{n−1} ∑_{l=0}^{n−1} (−1)^{l+k} ε_{k}μ_{l} =

= id_{A^{⊗_{K} n+1}} + ∑_{j=0}^{i−1} ∑_{i=1}^{n−1} (−1)^{i+j+1} ε_{i}μ_{j} + ∑_{j=i}^{n−1} ∑_{i=0}^{n−1} (−1)^{i+j+1} ε_{i}μ_{j}+

+ ∑_{l=0}^{n−1} (−1)^{l+n} ε_{n}μ_{l} + ∑_{k=0}^{n−1} ∑_{l=0}^{n−1} (−1)^{l+k} ε_{k}μ_{l} =

= id_{A^{⊗_{K} n+1}} − ∑_{j=0}^{i−1} ∑_{i=1}^{n−1} (−1)^{i+j} ε_{i}μ_{j} − ∑_{j=i}^{n−1} ∑_{i=0}^{n−1} (−1)^{i+j} ε_{i}μ_{j}+

+ ∑_{k=1}^{n−1} ∑_{l=0}^{k−1} (−1)^{l+k} ε_{k}μ_{l} + ∑_{k=0}^{n−1} ∑_{l=k}^{n−1} (−1)^{l+k} ε_{k}μ_{l} =

= id_{A^{⊗_{K} n+1}} □

Demostración de la Proposición 39 (segunda parte): Del lema se sigue que (54) es contráctil. Como μ es morfismo de A− bimódulos, al tensorizar a derecha sobre K con E se obtiene que (53) es exacta. Como A es fielemente playo, se sigue que (51) es exacta, como queríamos probar. □

Corolario 41 Con la misma notación e hipótesis de la proposición, tenemos que un elemento x ∈ A proviene de K si y sólo si ε_{0} (x) = ε_{1} (x) , o sea si x ⊗ 1 = 1 ⊗ x.

Demostración: Que x proviene de K es equivalente a decir x ∈ Im (f) = Ker (δ_{0}) , entonces x proviene de K si y sólo si δ_{0} (x) = 0, y antes vimos que δ_{0} (x) = (ε_{0} − ε_{1}) (x) = ε_{0} (x) − ε_{1} (x) o sea que x ∈ Ker (δ_{0}) si y solo si ε_{0} (x) = ε_{1} (x) es decir si 1 ⊗ x = x ⊗ 1. □

Observación 42 El problema de descenso de los morfismos es un problema de descenso de los elementos. Un A− morfismo g : E ⊗_{K} A → N ⊗_{K} A viene de un K−morfismo f : E → N si y sólo para todo e ∈ E se tiene que g (e ⊗ 1) proviene de un elemento de N, o sea si y sólo si ε_{0}g (e ⊗ 1) = ε_{1}g (e ⊗ 1) .

En efecto, si g proviene de un K−morfismo f : E → N, tenemos que g = f ⊗1, entonces g (e ⊗ 1) = f (e)⊗1, y por lo tanto tenemos que g (e ⊗ 1) proviene de un elemento de N para todo e ∈ E.

Recíprocamente, supongamos que para todo e ∈ E, se tiene que g (e ⊗ 1) proviene de un elemento de N. Consideramos el diagrama:

E ⊗_{K} A →^{g} N ⊗_{K} A
i ↑  ↓ μ
E  →_{μgi}  N

Si gi (e) = g (e ⊗ 1) = n ⊗ 1 ⟹ n = μgi (e) =: f (e) . Luego g (e ⊗ a) = g (e ⊗ 1) a = (f (e) ⊗ 1) a, es decir g = f ⊗ 1.

Consideremos ahora las siguientes aplicaciones:

\begin{matrix}ε_{1} : E → E ⊗_{K} A & ε_{1} (e) = e ⊗ 1 \\ ∂_{0} : E ⊗_{K} A → E ⊗_{K} A ⊗_{K} A & ∂_{0} (e ⊗ a) = f (e) ⊗ a \\ ∂_{1} : E ⊗_{K} A → E ⊗_{K} A ⊗_{K} A & ∂_{1} (e ⊗ a) = e ⊗ 1 ⊗ a \\ ∂_{2} : E ⊗_{K} A → E ⊗_{K} A ⊗_{K} A & ∂_{2} (e ⊗ a) = e ⊗ a ⊗ 1 \end{matrix}

Definición 43 Decimos que un A− morfismo f : E → E ⊗_{K} A es un dato de descenso para E si verifica las siguientes condiciones:

i)∂_{1}f = ∂_{0}f;

ii)f compuesta con μ induce la identidad de E, o sea si f (e) = ∑_{i} e_{i} ⊗a_{i}, entonces ∑_{i} e_{i}a_{i} = e.

Recordemos que dada una conexión ∇ de E en E ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A, la podíamos extender a un operador K−lineal de grado uno en E ⊗_{A} Ω_{K}A como en (41).

Lema 44 La aplicación ∇^{2} : E ⟶ E ⊗_{A} Ω_{K}^{2}A es un morfismo de A−módulos. La llamamos la curvatura de la conexión ∇.

Demostración: Notemos primero que, si a_{1}, a_{2} ∈ A, e ∈ E y ω = eda_{1} , se tiene:

∇(ωa_{2}) =∇(ed(a_{1}a_{2})) − ∇(ea_{1}da_{2})
=∇(e)d(a_{1}a_{2}) − ∇(ea_{1})da_{2}
=∇(e)d(a_{1}a_{2}) − ∇(e)a_{1}da_{2} − e ⊗ da_{1}da_{2}
=(∇(e)da_{1})a_{2} − e ⊗ da_{1}da_{2}
=∇(ω)a_{2} − ωda_{2}□

Aplicando esto para ω = ∇(e) se tiene

∇^{2}(ea) =∇(∇(e)a + e ⊗ da)
=∇^{2}(e)a − ∇(e)da + ∇(e)da
=∇^{2}(e)a □

Definición 45 Una conexión es playa si su curvatura es cero.

Veremos ahora que tener un dato de descenso para E es equivalente a tener una conexión playa en E.

Teorema 46 Sea f : E ⟶ E ⊗_{K} A sección de la multiplicación, ∇ : E ⟶ E ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A la conexión que le corresponde por la proposición 29.

i)Si f es la sección asociada a ∇, vale la siguiente igualdad

∂_{0} ∘ f − ∂_{1} ∘ f = ∇^{2}

haciendo las identificaciones correspondientes.

ii)La correspondencia enunciada en 1 induce una aplicaión biyectiva entre los datos de descenso de E y las conexiones playas.

Demostración: i) El morfismo ∂_{0} ∘f −∂_{1} ∘f va de E en E ⊗_{K} A⊗_{K} A. Por otro lado ∇^{2} va de E ⟶ E ⊗_{A} Ω_{K}^{2}A. Para ver la igualdad identificaremos E ⊗_{A} Ω_{K}^{2}A como una parte de E ⊗_{K} A ⊗_{K} A.

En primer lugar, recordemos que A ⊗_{K} A ⊗_{K} A = A ⊗_{K} (A ⊕ Ω_{K}^{1}A) = A ⊗_{K} A ⊕ A ⊗_{K} Ω_{K}^{1}A =

= A ⊕ Ω_{K}^{1}A ⊕ A ⊗_{K} Ω_{K}^{1}A = A ⊕ Ω_{K}^{1}A ⊕ A ⊗_{K} A ⊗_{K} A/K =

=A ⊕ Ω_{K}^{1}A ⊕ (A ⊗_{K} A/K) ⊕ (Ω_{K}^{1}A ⊗_{K} A/K) = A ⊕ Ω_{K}^{1}A ⊕ Ω_{K}^{1}A ⊕ Ω_{K}^{2}A. Para poder continuar con la demostración precisamos el siguiente lema:

Lema 47 Sea kv_{1} ⊕ kv_{2} un k-módulo libre de rango 2. A ⊗_{K} A ⊗_{K} A es isomorfo como A−módulo a derecha a A⊕Ω_{K}^{1}A⊗kv_{1} ⊕Ω_{K}^{1}A⊗kv_{2} ⊕Ω_{K}^{2}A⊗ kv_{1} ∧ v_{2}.El isomorfismo es:

A ⊕ Ω_{K}^{1}A ⊗ kv_{1} ⊕ Ω_{K}^{1}A ⊗ kv_{2} ⊕ Ω_{K}^{2}A ⊗ kv_{1} ∧ v_{2} →^{Φ} A^{⊗_{K}3}

a ⟼ a ⊗ 1 ⊗ 1

ada′ ⊗ v_{1} ⟼ a ⊗ a′ ⊗ 1 − aa′ ⊗ 1 ⊗ 1 ada′ ⊗ v_{2} ⟼ a ⊗ 1 ⊗ a′ − aa′ ⊗ 1 ⊗ 1

ada′da′′ ⊗ v_{1} ∧ v_{2} ↦

a ⊗ a′ ⊗ a′′ − aa′ ⊗ 1 ⊗ a′′ + aa′ ⊗ a′′ ⊗ 1 − a ⊗ a′a′′ ⊗ 1

y su inversa es

A^{⊗_{K}3} →^{Θ} A ⊕ Ω_{K}^{1}A ⊗ kv_{1} ⊕ Ω_{K}^{1}A ⊗ kv_{2} ⊕ Ω_{K}^{2}A ⊗ kv_{1} ∧ v_{2}

a ⊗ a′ ⊗ a′′ ⟼ a (a′ + da′ ⊗ v_{1}) (a′′ + da′′ ⊗ v_{2})

Demostración: Veamos que las dos composiciones dan la identidad.

Φ ∘ Θ(a ⊗ a′ ⊗ a′′) =

= Φ(a(a′ + da′ ⊗ v_{1})(a′′ + da′′ ⊗ v_{2})) = Φ(aa′a′′ + ad(a′a′′) ⊗ v_{1} − aa′da′′ ⊗ v_{1}

+aa′da′′ ⊗ v_{2} + ada′da′′ ⊗ v_{1} ∧ v_{2}) =

= aa′a′′ ⊗ 1 ⊗ 1 + a ⊗ a′a′′ ⊗ 1 −aa′a′′ ⊗ 1 ⊗ 1 − aa′ ⊗ a′′ ⊗ 1 + aa′a′′ ⊗ 1 ⊗ 1+

+aa′ ⊗ 1 ⊗ a′′ − aa′a′′ ⊗ 1 ⊗ 1 + a ⊗ a′ ⊗ a′′ − aa′ ⊗ 1 ⊗ a′′+ +aa′ ⊗ a′′ ⊗ 1 − a ⊗ a′a′′ ⊗ 1 = a ⊗ a′ ⊗ a′′

Por otro lado

Θ ∘ Φ (a) = Θ (a ⊗ 1 ⊗ 1) = a

Θ ∘ Φ (ada′ ⊗ v_{1}) = Θ (a ⊗ a′ ⊗ 1 − aa′ ⊗ 1 ⊗ 1) =

= a (a′ + da′ ⊗ v_{1}) − aa′ = ada′ ⊗ v_{1} Θ ∘ Φ (ada′ ⊗ v_{2}) = Θ (a ⊗ 1 ⊗ a′ − aa′ ⊗ 1 ⊗ 1) =

= a (a′ + da′ ⊗ v_{2}) − aa′ = ada′ ⊗ v_{2}

Θ ∘ Φ (ada′da′′ ⊗ v_{1} ∧ v_{2}) =

= Θ (a ⊗ a′ ⊗ a′′ − aa′ ⊗ 1 ⊗ a′′ + aa′ ⊗ a′′ ⊗ 1 − a ⊗ a′a′′ ⊗ 1) =

= a (a′ + da′ ⊗ v_{1}) (a′′ + da′′ ⊗ v_{2}) − aa′ (a′′ + da′′ ⊗ v_{2}) +

+aa′ (a′′ + da′′ ⊗ v_{1}) − a (a′a′′ + d (a′a′′) ⊗ v_{1}) = = ada′da′′ ⊗ v_{1} ∧ v_{2} □

Demostración teorema 46 (segunda parte): Si tensorizamos con E sobre A,los dos módulos quedan E ⊗_{K} A ⊗_{K} A y E ⊕ E ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A ⊗ kv_{1} ⊕ E ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A ⊗ kv_{2} ⊕ E ⊗_{A} Ω_{K}^{2}A ⊗ kv_{1} ∧ v_{2}. Por comodidad llamaremos L^{1}Ω_{K}A a E ⊕ E ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A ⊗ kv_{1} y L^{2}Ω_{K}A a E ⊕ E ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A ⊗ kv_{1} ⊕ E ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A ⊗ kv_{2} ⊕ E ⊗_{A} Ω_{K}^{2}A ⊗ kv_{1} ∧ v_{2}. En el Los isomorfismos definidos antes se pueden extender a estos nuevos A−módulos de la siguiente manera:

Φ : L^{2}Ω_{K}A → E ⊗_{K} A ⊗_{K} A
e ⟼ e ⊗ 1 ⊗ 1
eda ⊗ v_{1} ⟼ e ⊗ a ⊗ 1 − ea ⊗ 1 ⊗ 1
eda ⊗ v_{2} ⟼ e ⊗ 1 ⊗ a − ea ⊗ 1 ⊗ 1
edada′ ⊗ v_{1} ∧ v_{2} ↦
e ⊗ a ⊗ a′ − ea ⊗ 1 ⊗ a′ + ea ⊗ a′ ⊗ 1 − e ⊗ aa′ ⊗ 1

y

Θ : E ⊗_{K} A ⊗_{K} A → L^{2}Ω_{K}AR
e ⊗ a′ ⊗ a′′ ⟼ e (a′ + da′ ⊗ v_{1}) (a′′ + da′′ ⊗ v_{2})

Con esto identificamos a E ⊗_{A} Ω_{K}^{2}A como una parte de E ⊗_{K} A ⊗_{K} A, ahora veamos que vale la igualdad del teorema. Pongamos ∇ (e) = ∑ e_{i} ⊗db_{i}. En el siguiente diagrama se ve que podemos pensar a ∂_{0}f y a ∂_{1}f como morfismos de E en K^{2}Ω_{K}A.

E ⟶^{∇_{0}} E ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A ⟶^{∇_{1}} E ⊗_{A} Ω_{K}^{2}A
∥  ↓  ↓
E ⟶ L^{1}Ω_{K}A  ⟶  L^{2}Ω_{K}A
∥  ∥  ∥
E ⟶^{f} E ⊗_{K} A ⟶^{∂_{0},∂_{1},∂_{2}} E ⊗_{K} A ⊗_{K} A

Sabemos que por ser la sección correspondiente a ∇, f (e) = e⊗1+j (∇e) . También tenemos que j (∇e) = ∑ e_{i} ⊗b_{i} − e_{i}b_{i} ⊗ 1. Si a esto le aplicamos ∂_{1}, tenemos

∂_{1}f (e) = e ⊗ 1 ⊗ 1 + ∑ e_{i} ⊗ 1 ⊗ b_{i} − e_{i}b_{i} ⊗ 1 ⊗ 1 =
= e ⊗ 1 ⊗ 1 + ∑ e_{i} (1 ⊗ 1 ⊗ b_{i} − b_{i} ⊗ 1 ⊗ 1)
= e + ∑ e_{i}db_{i} ⊗ kv_{2}
= e + ∇e ⊗ kv_{2}.

Veamos como queda ∂_{0} cuando lo miramos como morfismo de L^{1}Ω_{K}A en L^{2}Ω_{K}A. Para ver esto tenemos que ver cómo quedan ∂_{0} (e) y ∂_{0} (eda) .

∂_{0} (e) = f (e) ⊗ 1 = e ⊗ 1 ⊗ 1 + j (∇e) ⊗ 1
= e ⊗ 1 ⊗ 1 + ∑ e_{i} ⊗ b_{i} ⊗ 1 − e_{i}b_{i} ⊗ 1 ⊗ 1 =
= e ⊗ 1 ⊗ 1 + ∑ e_{i} (1 ⊗ b_{i} ⊗ 1 − b_{i} ⊗ 1 ⊗ 1)

=_{via Θ} e + ∑ e_{i}db_{i} ⊗ kv_{1} =

= e + ∇e ⊗ kv_{1}

Veamos ahora ∂_{0} (eda) .

∂_{0}(eda) = ∂_{0}(e ⊗ a − ea ⊗ 1) = f(e) ⊗ a − f(ea) ⊗ 1 =

= e ⊗ 1 ⊗ a + j(∇e) ⊗ a − ea ⊗ 1 ⊗ 1 − j(∇(ea)) ⊗ 1 =

= e ⊗ 1 ⊗ a + ∑[e_{i} ⊗ b_{i} ⊗ a − e_{i}b_{i} ⊗ 1 ⊗ a] − ea ⊗ 1 ⊗ 1

−j(∇(e)a + e ⊗ da) ⊗ 1 =

= e ⊗ 1 ⊗ a + ∑[e_{i} ⊗ b_{i} ⊗ a − e_{i}b_{i} ⊗ 1 ⊗ a] − ea ⊗ 1 ⊗ 1−

− ∑[e_{i} ⊗ b_{i}a ⊗ 1 − e_{i}b_{i} ⊗ a ⊗ 1] − e ⊗ a ⊗ 1 + ea ⊗ 1 ⊗ 1 =_{via Θ}

= e(a + da ⊗ kv_{2}) + ∑ e_{i}(b_{i} + db_{i} ⊗ kv_{1})(a + da ⊗ kv_{2})

− ∑ e_{i}b_{i}(a + da ⊗ kv_{2})−

− ∑ e_{i}(b_{i}a + d(b_{i}a) ⊗ kv_{1}) + ∑ e_{i}b_{i}(a + da ⊗ kv_{1})

−e(a + da ⊗ kv_{1}) =

= e(a + da ⊗ kv_{2}) + ∑[e_{i}b_{i}a + e_{i}b_{i}da ⊗ kv_{2} + e_{i}db_{i}a ⊗ kv_{1}

+e_{i}db_{i}da ⊗ kv_{1} ∧ v_{2}]−
− ∑[e_{i}b_{i}a + e_{i}b_{i}da ⊗ kv_{2} + e_{i}b_{i}a + e_{i}d(b_{i}a) ⊗ kv_{1}
−e_{i}b_{i}a − e_{i}b_{i}da ⊗ kv_{1}]−
−e(a + da ⊗ kv_{1}) =

= eda ⊗ kv_{2} + ∑ e_{i}db_{i}da ⊗ kv_{1} ∧ v_{2} − eda ⊗ kv_{1} =

= eda ⊗ k(v_{2} − v_{1}) + ▽(e)da ⊗ kv_{1} ∧ v_{2}

Con todo esto podemos hacer la cuenta de la proposición.

∂_{0}f (e) = ∂_{0} (e ⊗ 1 + j (∇e)) =_{via Θ} ∂_{0} (e)

+ ∑ ∂_{0} (e_{i} ⊗ b_{i} − e_{i}b_{i} ⊗ 1) =
= e + ∇e ⊗ kv_{1} + ∑ ∂_{0} (e_{i}db_{i}) = e + ∇e ⊗ kv_{1}+
+ ∑ e_{i}db_{i} ⊗ k (v_{2} − v_{1}) + ▽ (e_{i}) db_{i} ⊗ kv_{1} ∧ v_{2} =
= e + ∇e ⊗ kv_{1} + ∇e ⊗ k (v_{2} − v_{1}) + ∑ ▽ (e_{i}db_{i}) ⊗ kv_{1} ∧ v_{2}

= e + ∇e ⊗ kv_{2} + ∇^{2} (e) ⊗ kv_{1} ∧ v_{2}

Entonces tenemos que

∂_{0}f (e) − ∂_{1}f (e) = e + ∇e ⊗ kv_{2} + ∇^{2} (e) ⊗ kv_{1} ∧ v_{2}
−e − ∇e ⊗ kv_{2} =
= ∇^{2} (e) ⊗ kv_{1} ∧ v_{2}

Con esto tenemos finalmente que ∂_{0}f − ∂_{1}f = 0 si y sólo si ∇^{2} = 0, es decir que f es un dato de descenso si y sólo si la conexión ∇ es playa.

ii) Esto es consecuencia directa del punto anterior. Sabemos que hay una correspondencia biyectiva entre conexiones y secciones de μ. Además recién probamos que la sección es un dato de descenso si y sólo si la conexión es playa, por lo tanto tenemos la correspondencia deseada.□

Teorema 48 Sean K → A una extensión fielmente playa a izquierda, E un A− módulo a derecha y ∇ : E → E ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A una conexión playa K-lineal en E. Entonces existen un K− módulo a derecha N y un A− isomorfismo μ : N ⊗_{K} A → E tales que el diagrama siguiente conmuta:

N ⊗_{K} A ⟶^{μ}  E
1 ⊗ d ↓  ↓ ∇
N ⊗_{K} Ω_{K}^{1}A ⟶^{μ⊗1} E ⊗_{A} Ω_{K}^{1}A

Además el par (N, μ) está definido por esta propiedad salvo isomorfismo.

Demostración: Sea f : E → E ⊗_{K} A el dato de descenso que corresponde a ∇ por el teorema 46. Tomamos N = {e ∈ E : f (e) = e ⊗ 1} y definimos μ (n ⊗ a) = na. Veamos que μ es un isomorfismo de A− módulos a derecha. El K− módulo N es el núcleo del par

0 → N →^{i} E ⇉_{f}^{ε_{1}} E ⊗_{K} A

o sea que Im (i) = Ker (ε_{1} − f) .

Como la extensión K → A es playa a izquierda, la sucesión

0 → N ⊗_{K} A → E ⊗_{K} A ⇉_{f⊗1}^{ε_{1}⊗1} E ⊗_{K} A ⊗_{K} A

es exacta. Como ε_{1} ⊗1 = ∂_{1} y f ⊗1 = ∂_{0}, de la primera condición que verifica f por ser dato de descenso surge entonces que [(ε_{1} ⊗ 1) − (f ⊗ 1)] f = 0. Esto significa que Im f ⊆ Ker [(ε_{1} ⊗ 1) − (f ⊗ 1)] = N ⊗_{K} A. Además tenemos

fμ (n ⊗ a) = f (na) = f (n) a = (n ⊗ 1) a = n ⊗ a  (56)

De acá y de la segunda condición de dato de descenso que verifica f, se deduce que f es un isomorfismo con inversa μ. Por otra parte como la inclusión canónica es precisamente el dato de descenso correspondiente a la conexión 1 ⊗ d, (56) da la conmutatividad del diagrama del teorema.

Mostremos la unicidad: si (N, μ) y (N′, μ′) son dos soluciones, se tiene el siguiente diagrama conmutativo:

N′ ⊗_{K} A ⟶^{∂_{1}} N′ ⊗_{K} A ⊗_{K} A
μ′ ↓  ↓ μ′ ⊗ 1
E ⟶ E ⊗_{K} A
f ↓  ↓ f ⊗ 1
N ⊗_{K} A ⟶^{∂_{1}} N ⊗_{K} A ⊗_{K} A

Hay que probar que fμ′ : N′ ⊗_{K} A → N ⊗_{K} A es de la forma α ⊗ 1, con α : N′ → N ismorfismo de K− módulos a derecha. Para esto basta verificar que la imagen de N′ está en N. Sea n′ ∈ N′ y sea fμ′ (n′ ⊗ 1) = ∑ n_{i} ⊗ a_{i}. Se tiene

(f ⊗ 1) (∑ n_{i} ⊗ a_{i}) = ∑ f (n_{i}) ⊗ a_{i} = ∑ n_{i} ⊗ 1 ⊗ a_{i} =
= ∂_{1} (∑ n_{i} ⊗ a_{i}) = ∂_{1} (fμ′ (n′ ⊗ 1)) ;
(f ⊗ 1) (μ′ ⊗ 1) ∂_{1} (n′ ⊗ 1) = (fμ′ ⊗ 1) (n′ ⊗ 1 ⊗ 1) =
= n_{i} ⊗ a_{i} ⊗ 1 = ∂_{2} (fμ′ (n′ ⊗ 1))

Por la conmutatividad del diagrama queda que

∂_{1} (fμ′ (n′ ⊗ 1)) = ∂_{2} (fμ′ (n′ ⊗ 1))

y por lo tanto fμ′ (n′ ⊗ 1) ∈ N (por la observación del principio). Esto completa la demostración.□

8. Apéndice

Sea R ⟶ S un morfismo de álgebras.

Definición 49 Sean M, M′ y M′′ S−módulos a derecha. Decimos que la sucesión

0 ⟶ M′ ⟶ M ⟶ M′′ ⟶ 0

es exacta (corta) relativa a R ⟶ S si es exacta como sucesión de S−módulos y se escinde como sucesión de R−módulos. En tal caso decimos que M ⟶ M′′ y M′ ⟶ M son respectivamente un epimorfismo relativo y un monomorfismo relativo.

Definición 50 Decimos que la sucesión larga de S−módulos

⋯ ⟶ M_{n−1} ⟶^{δ_{n−1}} M_{n} ⟶^{δ_{n}} M_{n+1} ⟶^{δ_{n+1}} M_{n+2} ⟶ …

es exacta relativa a R ⟶ S si cada una de las sucesiones

0 ⟶ Im (δ_{n−1}) ⟶ M_{n} ⟶^{δ_{n}} ker (δ_{n+1}) ⟶ 0

es exacta relativa a R ⟶ S.

Ahora definiremos el concepto de S−módulo proyectivo relativo a R ⟶ S y veremos sus equivalencias.

Definición 51 Un S−módulo a derecha P se dice proyectivo relativo a R ⟶ S si cada vez que se tiene un morfismo de S−módulos α : P ⟶ M y un epimorfismo relativo de S−módulos π : N ⟶ M, existe un morfismo β : P ⟶ N que hace conmutar el siguiente diagrama

P
β ↙ ↓ α
N ⇄^{π} M ⟶ 0

Por ejemplo si N es un S−módulo, el S−módulo N ⊗_{R} S es proyectivo relativo a R ⟶ S. Esto es porque si tenemos el siguiente diagrama

N ⊗_{R} S
β ↙ ↓ α
N ⇄^{π}_{j}  M  ⟶ 0

donde j es un morfismo de R−módulos que es sección de π y el resto de los morfismos es de S−módulos, podemos definir β : N ⊗_{R} S ⟶ N como β (n ⊗ s) = j (α (n)) s. Como j es sección de π tenemos que πβ = πjα = α, por lo tanto el diagrama conmuta. Además β es de S−módulos porque β (n ⊗ 1) s = j (α (n)) s = β (n ⊗ s) . Los módulos de la forma N ⊗_{R} S, con N un S−módulo, se llaman inducidos por R ⟶ S.

Lema 52 Las siguientes condiciones son equivalenteṡ 1)P es proyectivo relativo a R ⟶ S; 2)Para cada sucesión exacta corta relativa a R ⟶ S

0 ⟶ M′ ⟶ M ⟶ M′′ ⟶ 0

la sucesión inducida

0 ⟶ hom (P, M′) ⟶ hom (P, M) ⟶ hom (P, M′′) ⟶ 0

es exacta corta relativa a R ⟶ S; 3) P es sumando directo de un S−módulo inducido.

Definición 53 Sea M un S−módulo. Una resolución de M es un complejo P, con P_{i} = 0 para i < 0, con un morfismo de S−módulos f : P_{0} ⟶ M tal que la siguiente sucesión es exacta relativa a R ⟶ S

⋯ ⟶^{δ} P_{2} ⟶^{δ} P_{1} ⟶^{δ} P_{0} ⟶^{f} M ⟶ 0

Por comodidad notamos a esta sucesión P. ⟶ M. Si cada P_{i} es proyectivo relativo a R ⟶ S, decimos que la resolución es proyectiva relativa.

Definición 54 Un S−módulo a derecha N es playo relativo a R ⟶ S si para toda sucesión exacta relativa a R ⟶ S de S−módulos a izquierda

0 ⟶ M′ ⟶ M ⟶ M′′ ⟶ 0

se tiene que la sucesión de grupos abelianos

0 ⟶ N ⊗_{S} M′ ⟶ N ⊗_{S} M ⟶ N ⊗_{S} M′′ ⟶ 0

es exacta.

Observación 55 Si N es un S−módulo a derecha proyectivo relativo, entonces N ⊗_{S} () preserva sucesiones exactas relativas de módulos a izquierda. Para ver esto supongamos primero que N = M ⊗_{R} S. Entonces N ⊗_{S} () = M ⊗_{R} () y por tanto tiene la propiedad antedicha. Si ahora N ⊕ N′=M ⊗_{R} S, entonces N ⊗_{S} () ⊕ N′ ⊗_{S} () = M ⊗_{R} () , por lo tanto N ⊗_{S} () preserva sucesiones exactas relativas.

El siguiente teorema se usará para poder definir los grupos T or^{S/R}.

Teorema 56 (de comparación). Sean M, N S−módulos a erecha, γ : M ⟶ N morfismo de S−módulos. Sean P. ⟶ M una resolución proyectiva de M y Q. ⟶ N un complejo relativo?? de módulos. Entonces hay un morfismo de complejos f : P ⟶ Q que hace conmutar el siguiente diagrama

\begin{matrix}P. & ⟶^{f} & Q. \\ ↓ & & ↓ \\ M & ⟶_{γ} & N \end{matrix}

Dos transformaciones de este tipo son homotópicas.

Definición 57 Dados un S−módulos a derecha M y un S−módulo a izquierda N, definimos T or_{n}^{S/R} (M, N) = H_{n} (P ⊗_{R} N) , donde P es una resolución proyectiva de M.

El T or_{n}^{S/R} (M, N) está bien definido porque el teorema de comparación garantiza que no depende de la resolución que se tome. También se verifica que si tenemos un morfismo de S−módulos f : M ⟶ M′, tenemos para cada n el morfismo T or_{n}^{S/R} (f, N) : T or_{n}^{S/R} (M, N) ⟶ T or_{n}^{S/R} (M′, N) . Además esto preserva las composiciones y si M = M′ y f = id_{M,} el morfismo T or_{n}^{S/R} (f, N) da la identidad de T or_{n}^{S/R} (M, N) .

Observación 58 T or_{0}^{S/R} (M, N) = M ⊗_{R} N

Si tenemos g : N ⟶ N′, podemos definir 1 ⊗ g : P ⊗ N ⟶ P ⊗ N′, y esto da un morfismo de T or_{n}^{S/R} (M, N) en T or_{n}^{S/R} (M, N′) . Este morfismo como el anterior preserva composiciones y la identidad.

Corolario 59 Sea 0 ⟶ N′ ⟶ N ⟶ N′′ ⟶ 0 una sucesión exacta relativa a R ⟶ S. Entonces tenemos la sucesión exacta larga relativa a R ⟶ S

⋯ ⟶ T or_{n+1}^{S/R} (M, N′′) ⟶ T or_{n}^{S/R} (M, N′) ⟶ T or_{n}^{S/R} (M, N) ⟶
⟶ T or_{n}^{S/R} (M, N′′) ⟶ ⋯

Teorema 60 Dada una sucesión exacta relativa a R ⟶ S

0 ⟶ M′ ⟶ M ⟶ M′′ ⟶ 0

y dos resoluciones proyectivas relativas P′. ⟶ M′ y P′′. ⟶ M′′, hay una resolución proyectiva P. ⟶ M tal que para cada n la sucesión

0 ⟶ P′_{n} ⟶ P_{n} ⟶ P′′_{n} ⟶ 0

es exacta relativa y el siguiente diagram conmuta

0 ⟶ P′. ⟶ P. ⟶ P′′. ⟶ 0
↓  ↓
0 ⟶ M′ ⟶ M ⟶ M′′ ⟶ 0

Corolario 61 Dada una sucesión exacta relativa a R ⟶ S de S−módulos a derecha

0 ⟶ M′ ⟶ M ⟶ M′′ ⟶ 0

tenemos la sucesión exacta larga

⋯ ⟶ T or_{n+1}^{S/R} (M′′, N) ⟶ T or_{n}^{S/R} (M′, N) ⟶ T or_{n}^{S/R} (M, N) ⟶
⟶ T or_{n}^{S/R} (M′′, N) ⟶ ⋯

Lema 62 Un S−módulo a derecha P es playo relativo a R ⟶ S si y sólo si T or_{n}^{S/R} (P, M) = 0 para todo n > 0 y para todo S−módulo M.

La construcción de los grupos Ext_{n}^{S/R} (M, N) es análoga a la de los grupos T or relativos.

Bibliografía

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